第五章正弦交流电路

第五章正弦交流电路第一节正弦交流电的基本概念第二节正弦量的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法第三节电路基本定律的相量形式第四节复阻抗与复导纳第五节正弦交流电路的相量分析法第六节正弦交流电路中的功率第七节谐振下一页第五章正弦交流电路实验七三表法测量电路等效参数实验八R、L、C元件阻抗特性的测定实验九正弦稳态交流电路相量的研究实验十串联谐振电路的研究上一页第一节正弦交流电的基本概念一、历史背景托马斯·A·爱迪生是一位才华横溢、意志坚定的发明家。他的创造发明很大地激发了公众对电能实际应用的想象。当然，他在照明电能的发电和分配方面，还有其他许多方面都是先驱。但爱迪生主要致力于直流电的应用研究。由爱迪生照明公司创建的发电厂，生产的就是直流电。事实上，爱迪生所在的 实验室 17025实验室iso17025实验室认可实验室检查项目微生物实验室标识重点实验室计划 是第一个工业研究实验室。在那里与爱迪生一同工作的还有很多年轻有为的发明家和科学家，NilolaTelsa就是其中的一位。这位来自克罗地亚的年轻工程师可能是第一个认识到交流电潜力的人。可以肯定，是他最先发明了交流异步电动机，但他未能使爱迪生认识到交流电的优点，最后他离开了实验室。下一页返回第一节正弦交流电的基本概念后来，Telsa去了一家与爱迪生竞争的公司。斗争仍在继续：直流电和交流电到底哪个更好？爱迪生的团队在报纸上登载警告性的声明，声称交流电不安全。今天看来这些危险警告显得有些滑稽，但在当时，这曾引起了一场大争论。事实证明，爱迪生是错误的，Telsa是正确的。今天大量的电力系统都是以交流电的形式发电、配电和用电。第二次世界大战之前，电气工程师们就开始着手 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 交流发电机、电动机、变压器、传输线和有关的设备。现在，交流电工业采用的技术已经非常成熟，它已经成为了现代文明中的重要组成部分。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念本章，将学习如何分析交流电路，以及如何研究交流电的波形。掌握了交流分析法，不仅可以有效地求解问题，还能加强对电路的理解。二、交流电的概念在直流电路中，电压、电流的大小和方向都是不随时间变化的，属稳恒直流电，如图5−1（a）所示。但在生产实际和日常生活中，所用的绝大部分是大小和方向都随时间作周期性变化的电压和电流，属交流电，如图5−1（b）、（d）所示。如果电压或电流的大小随时间作周期性变化，而方向始终不变的，属脉动直流电，如图5−1（c）所示。综上所述，我们将电进行综合分析如下：上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念由上述可知，交流电是指方向随时间作周期性变化的电动势（或电压、电流），是交变电动势、交变电压和交变电流的总称。交流电的电动势、电压或电流在变化过程中的任一瞬间，都有确定的大小和方向，是交流电在该时刻的瞬时值，分别用小写字母e(t)、u(t)和i(t)表示，也可简写为ｅ、u、i。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念如果这个周期性变化的规律是正弦规律，如图5−1（b）所示，则称为正弦交流电。我们日常生活和生产实践中，接触的大都为正弦交流电，它是一种最简单而又最基本的交流电，是目前供电和用电的主要形式，与直流电相比，它具有更广泛的应用范围。其主要优点是：（1）容易产生，并能用变压器改变电压，便于远距离传输、分配和使用。（2）交流电机比直流电机结构简单，工作可靠，成本低廉，维护方便。特别是近年来，交流调速技术有长足发展，使交流电机的性能直追直流电机。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念（3）采用整流设备可以方便地将交流电变换成直流电，以满足各种直流设备的需要。（4）正弦交流电是最简单的周期函数，计算测量容易，同时又是分析非正弦周期电路的基础。因此，对正弦交流电路的分析，具有重要的意义。而按非正弦规律变化的交流电，称为非正弦交流电。想一想：我们日常生活中常说的“直流电”是指稳恒直流电还是脉动直流电？大小和方向都随时间变化的电压，一定是交流电压吗？交流电压一定是大小和方向都随时间变化的吗？上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念三、表征正弦交流电的物理量正弦交流电是随时间按正弦规律作周期性变化的，比直流电要复杂得多，因此，描述交流电所需要的物理量也比较多。凡按照正弦规律变动的电压、电流等统称为正弦量。如图5−2所示是一段正弦交流电路，电流i在图示参考方向下，其数学表达式为i=Imsinθ=Imsin(ωt+ψi)（5−1）式中，i为电流的瞬时值；Im为其最大值（也称振幅、幅值）；ω称为角频率；ψi称为初相。通常把Im、ω、ψi称为正弦量的三要素。如果这三要素确定了，对应的正弦量也就确定了。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念1.频率与周期图5−3是式（5−1）所示正弦交流电流的波形。横坐标可以用t表示，也可以用ωt表示。正弦量变化一周所需的时间称为周期，用T表示（见图5−3），单位是秒（s）。每秒内变化的周数称为频率，用f表示，单位是赫（Hz）。显然频率和周期互为倒数，即（5−2）上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念我国采用50Hz作为电力标准频率（有些国家和地区，如美国、日本等采用60Hz），这种频率在工业上广泛应用，习惯上也称工频。在其他不同的技术领域使用各种不同的频率。正弦量每秒钟内变化的弧度数称为角频率，用ω表示，单位是弧度每秒（rad/s）。因为正弦交流电一个周期变化了2π弧度（即360度），所以角频率为（5−3）式（5−3）表明正弦量的角频率、周期和频率三者之间的关系。引入ω后，就把随时间按正弦规律变化的函数转变为随角度按正弦规律变化的函数。所以又常把ωt称为电角度。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念T、f、ω都是用来表示正弦量变化快慢的物理量。2.振幅与有效值正弦量的大小和方向随时间作周期性变化，最大瞬时值称为振幅，也叫幅值、最大值，用大写字母加下标m表示，如电压振幅Um、电流振幅Im等。有效值是用来表征交流电的大小及衡量交流电做功能力的物理量。交流电有效值是从电流的热效应等效的角度来定义的。当某一交流量通过电阻R所产生的热量，与某一对应直流量通过同一电阻在同样的时间内所产生的热量相等时，则这一直流量的数值就称为该交流量的有效值。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念在图5−4中有两个相同的电阻R，其中一个通以周期电流i，另一个通以直流电流I，在一个周期内电阻消耗的电能分别为若消耗的电能相等，则上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念式中，I称为周期电流i的有效值，又称方均根值。当周期电流为正弦量时，i=Imsinωt（令ψi=0），则（5−4）式（5−4）也适用于其他交流量。同理可得正弦电压的有效值U和电动势有效值E（5−5）（5−6）上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念通常我们所指的用电器的额定值，如电灯的额定电压、交流电动机的额定电流，均指其有效值。通常交流电气仪表的测量值也是有效值。3.相位、初相、相位差正弦电流一般表示为ii=Imsin(ωt+ψ)其中ωt+ψi叫做相位（或相位角），反映了正弦量随时间变化的进程。t=0时的相位叫做初相，用ψ表示，如上式中的ψi即为初相。它是波形图中时间起点（即ωt=0）与波形的零值点之间的角度。若波形零值点在时间起点的左边，上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念则ψ为正；若波形零值点在时间起点的右边，则ψ为负；若两者重合，则ψ为零。一般选择|ψ|≤π。在图5−1（b）中，初相ψ<0；而在图5−3中，初相ψi>0。两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用ϕ表示。假定两个同频率的正弦量u和i分别为u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)它们的相位差ϕ为上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念此式表明，两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，即等于它们的初相之差，与计时起点无关。当ϕ>0时，反映出电压u的相位超前电流i的相位一个角度ϕ，简称电压u超前电流i，也可以反过来说电流i滞后电压u。按照习惯，相位差ϕ在|ϕ|≤π的主值范围内取值。所以，若正弦量u的相位超前电流i200°，就应该说电流i滞后电压u160°，此时ϕ=−160°。当ϕ=0时，称电压u和电流i同相。当ϕ=π/2时，则称电压u和电流i正交。当ϕ=π时，称电压u和电流i反相。以上情况如图5−5所示。上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念在正弦交流电路中，研究多个同频率正弦量的关系时，为了方便起见，可以选其中某一正弦量作为“参考正弦量”，令它的初相ψ=0，其他各正弦量的初相位，即为各个正弦量与参考正弦量的相位差。例5−1已知三个正弦交流量上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念试以电压u为参考正弦量重新写出电压u、电流i1和i2的瞬时值表达式，画出波形图，并说明其相位关系。解若以电压u为参考量，则电压u的表达式为u=310sinωtV由于i1与u的相位差故电流i1的瞬时值表达式i1=14.1sin(ωt+25)A上一页下一页返回第一节正弦交流电的基本概念同理，电流i2的瞬时值表达式i2=28.2sin(ωt−45°)A可见：i1超前u25°，或者说，u滞后i125°；i2滞后u45°，或者说，u超前i245°。波形图如图5−6所示。思考题：周期（或频率、或角频率）变大时，交流电的波形会发生什么变化？上一页返回第二节正弦量的表示法我们已经看到，可以利用解析式来描述正弦量，如i=Imsin(ωt+ψi)表示了正弦电流的变化规律。这种方法是正弦量的基本表示方法，表达式中包含了正弦量的三要素：角频率、振幅和初相；另一种正弦量的表示方法，是采用波形图来表述，波形图表示法直观、形象地描述各正弦量的变化规律。但是，这两种表示法都不能方便地进行运算。为了简化交流电路的计算，可以将正弦量用相量表示，按复数的运算规律进行运算，然后再将计算结果表示成正弦量。前两种方法在前面已介绍过，这里只作简要归纳，复数的概念和运算在阅读材料中讨论。下一页返回第二节正弦量的表示法一、解析式表示法正弦交流电的电动势、电压和电流的瞬时值表达式就是交流电的解析式。如果知道了交流电的有效值（或最大值）、频率（或周期、角频率）和初相，就可以写出它的解析式，便可算出交流电任何瞬间的瞬时值。例5−2已知某正弦交流电压的最大值Um=311V，频率f=50Hz，初相ϕ0=30°，求它的解析式及0.01s时刻的电压值。解ω=2πf=2π×50=100πrad/s因此，该正弦交流电的电压解析式为u=Umsin(ωt+ϕu)V=311sin(100πt+30°)V上一页下一页返回第二节正弦量的表示法t=0.01s时刻，电压瞬时值为u=311sin(100π×0.01+30°)V=311sin210°V=−155.5V思考题：求0.01s时刻该电压的相位。二、波形图表示法按图5−7连接电路，接通电源，闭合开关S，示波器就可以显示出正弦交流电的波形图。例5−3画出正弦交流电i=15sin（3.14t+π/4）A的波形图。上一页下一页返回第二节正弦量的表示法解由解析式可知交流电的电流最大值Im=15A，角频率ω=314rad/s，初相位ϕ0=π/4rad=45°。按以上数据画出交流电的波形，如图5−8所示三、相量表示法对于任意一个正弦量，都能找到一个与之相对应的复数。在图5−9中有复数Im∠ψi，以不变的角速度ω旋转，在纵轴上的投影等于Imsin(ωt+ψi)。图中复数Im∠ψi与正弦量i=Imsin(ωt+ψi)是相互对应的关系，模Im表示了正弦量的幅值，ψi表示正弦量的初相。我们把表示正弦量的复数称作相量，记为上一页下一页返回第二节正弦量的表示法上一页下一页返回（5−7）相量符号是在大写字母上加一点来表示，以区别于普通的复数。式（5.7）表示的相量称为最大值相量。为了方便，人们也常采用有效值相量I，其表达式如下：（5−8）第二节正弦量的表示法注意：相量既然是正弦量的复数表示，那就和复数一样，可用三角函数表示为，可以看出这表明，相量只是表示正弦量的有效值（或振幅）和初相的大小，它并不等于正弦量。研究多个同频率正弦量的关系时，可按各正弦量的大小和初相，用矢量图画在同一坐标的复平面上，称为相量图，可参见后面有关相量运算中的各图。上一页下一页返回第二节正弦量的表示法画相量图时，要注意以下几点：（1）有相同单位的各相量，其矢量的长度要按同一比例尺画，如I1=10A，I2=20A，那么I2的长度就必须为I1长度的两倍。而不同量纲下的各相量间则无此要求，其矢量的长度间不存在什么比例关系，只要看起来方便，1A电流的矢量可以画得比10kV电压的矢量还长，但10kV电压矢量的长度必须是2kV电压矢量的长度的5倍。（2）同一相量图中，各相量的矢量长度不允许有的为有效值，有的为最大值，要统一。（3）画相量图时，要注意各相量间的相位关系，可先确定一个相量作为参考相量，画在横轴正方向上，再按各相量间的相位差的大小、正负画出其他相量。上一页下一页返回第二节正弦量的表示法把正弦量表示成相量的真正价值在于简化正弦交流电路的计算。因为同频率正弦量经加减后仍为同频率的正弦量，所以几个同频率正弦量的和（差）的相量等于它们相量的和（差）。例5−4已知求i=i1+i2解法一变换为相量求和。先写出i1和i2的相量形式上一页下一页返回第二节正弦量的表示法然后最后按和的相量写出总电流i的正弦函数形式i=102sin(ωt++23.1)A上一页下一页返回第二节正弦量的表示法解法二用相量图求几何解。画出i1、i2的相量I1和I2，如图5−10所示，根据平行四边形法则得到由此得到上一页下一页返回第二节正弦量的表示法写出总电流的瞬时表达式思考题：正弦交流电可以用以上方法表示，每种表示方法都有其特点。试从正弦交流电的表示及计算来分析各种表示法的优缺点。上一页返回第三节电路基本定律的相量形式一、基本元件电压、电流关系的相量形式电阻、电感、电容作为电路组成的基本元件，它们在电路中所反映的性质与结果有较大的关系，特别是在交流电路中，了解它们的基本性质有着重要的意义。严格地说，任何实际电路元件都同时具有电阻R、电感L、电容C三种参数。然而在一定条件下，如某一频率的正弦交流电作用时，某一参数的作用最为突出，其他参数的作用微乎其微，甚至可以忽略不计时，就可以近似地把它视为只具有单一参数的理想电路元件。例如：一个线圈，在稳恒的直流电路中可以把它视做电阻元件；在交流电路中，当其电感的特性大大超过其电阻的特性时，就可以近似地把它看做一个下一页返回第三节电路基本定律的相量形式理想的电感元件；但如果交流电的频率较高，则该线圈的匝间电容就不能忽略，它也就不能只看做一个理想的电感元件，而应该当做电感和电容两个元件的组合。各种实际电路，都可以用单一参数电路元件组合而成的电路模型来模拟。这就是我们研究单一参数电路元件在电路中的作用的意义所在。1.电阻元件交流电路中如果只有线性电阻，这种电路就叫做纯电阻电路。如白炽灯、电炉、电烙铁等属于电阻性负载，它们与交流电源连接组成纯电阻电路，如图5−11（a）所示。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式当电阻R通入正弦电流时，其端电压为同频率正弦量在关联参考方向下根据欧姆定律有（5−9）电压uR和电流iR的正弦波形如图5−11（b）所示。式（5−9）的相量形式为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式或（5−10）这就是电阻元件伏安关系的相量形式。它与欧姆定律表示式相似，但它是一个复量关系式，既表示了电压、电流有效值之间的大小关系，又表示了电压、电流之间的相位关系。由上述关系式可得可见，正弦交流电阻电路中，电压与电流的瞬时值、最大值、有效值以及电压相量和电流相量之间的关系都服从欧姆定律。电阻两端的正弦电压与流过电阻的正弦电流同相位。图5−12（a）是电阻元件的相量模型，电压、电流的相量图如图5−12（b）所示。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式例5−5已知某白炽灯的额定参数为“220V、100W”，其两端所加电压为u=311sin314tV。试求：（1）白炽灯的工作电阻；（2）电流有效值及解析式。解（2）由u=311sin314tV，可知电压有效值为（与白炽灯的额定电压相符，安全）上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式白炽灯可视为纯电阻，电流与电压同相，所以2.电感元件我们把一线圈与小灯泡串联后先后接到直流电源和交流电源上，观察现象：接直流的亮些，接交流的暗些。可得出结论：接交流的电路中电流小，间接表明电感对交流有阻碍作用。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式为什么电感对交流有阻碍作用？交流通过线圈时，电流时刻在改变。由于线圈的自感作用，必然要产生感应电动势，阻碍电流的变化，这样就形成了对电流的阻碍作用。电感对交变电流阻碍作用的大小用感抗来表示。接下来我们就来讨论这个问题。电感元件可以看做是电感线圈的理想化模型。例如当线圈（图5−13）通以电流时，其周围便有磁场，即有磁通Φ。设线圈有N匝，每匝线圈都与相应的磁通Φ交链，则整个线圈交链的磁通总和称为磁通链，用Ψ表示，Ψ=ΝΦ。并 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ，磁通Φ和磁通链Ψ的参考方向与流过线圈的电流i的参考方向之间满足右手螺旋定则。对于线性媒质，物理学依据毕奥−沙伐定律已经证明，磁通链Ψ与流过线圈的电流i成正比。并据此来定义电感元件。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式线性时不变电感元件是一个二端元件，它的电路符号如图5−14所示。磁通链Ψ(t)与电流i(t)有以下关系Ψ(t)=Li(t)（5−11）为了得到电感元件的伏安关系，在电压u和电流i的参考方向关联，也就是电压u的与磁通链Ψ的参考方向也满足右手螺旋定则时，依据法拉第电磁感应定律和楞次定律，有从式（5−12）可以看出，电感元件上的电压与该时刻电流的变化率成正比。如果电感元件通以恒定电流（直流电流），则有u(t)=0，这时电感元件相当于短路。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式电感元件两端的电压和通过电感元件的电流为关联参考方向时，瞬时功率为从t0到t时间内，电感元件吸收的磁场能量为当电流从0增大到i时，电感元件所储存的磁场能量为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式可以看出，磁场能量只与最终的电流值有关，而与建立的过程无关。当电感元件中的电流增大时，磁场能量增大，此过程为电感元件从电源取用电能，并转化为磁能形式储存；当电感元件中的电流减小时，磁场能量减小，此过程为电感元件释放其磁能。可见，电感元件本身不耗能，是一个储能元件。当正弦电流通过如图5−15（a）所示的电感元件L时，电感两端感应出正弦电压。设上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式由式（5−12）可得（5−13）可以看出正弦量uL超前iL=π/2，即ψu=ψi+π/2；电压与电流有效值之间成正比，UL=ωLIL。正弦波形如图5−15（b）所示。式（5−13）的相量形式为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式即（5−14）这就是电感元件伏安关系的相量形式。其相量模型如图5−16（a）所示。根据上述关系式，可见，电感端电压的初相等于电流的初相加上π/2，亦即电感电压总是比电流超前90°，或者说，电流比电压滞后90°。电感的电压、电流相量图如图5−16（b）所示。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式电压的有效值（或最大值）和电流的有效值（或最大值）之比定义为电感的电抗XL，简称感抗，单位为欧（Ω）。因此，式（5−14）也可以写成必须指出，感抗表示线圈对通过的交流电所呈现的阻碍作用。引入感抗XL，目的是把关系式UL=ωLIL写成上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式UL=XLIL，使之与电阻电路的欧姆定律表达式一致。但它与电阻R对电流的阻碍作用有着本质的区别。线圈的感抗表示线圈中产生的自感电动势对通过线圈的交变电流有阻碍作用，它只有在正弦交流电路中才有意义。感抗XL本身是频率的函数。当L为常数时，频率愈高，感抗愈大；当ω→∞时，XL→∞，电感相当于开路。频率为零（即直流情况），感抗为零，这是因为直流电流不随时间而变化，它通过电感元件所产生的磁通也不随时间而变。因而电感两端就不会出现感应电压，这时电路相当于短路。电感线圈的这种“通直流、阻交流；通低频、阻高频”的性能被广泛应用于电子技术中。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式例5−6电路如图5−16（a）所示，频率f=50Hz，已知电感的端电压L=0.1H，求电感的电流i。解用相量法按以下步骤求解。（1）写出已知正弦电压u的相量（2）计算感抗X=ωL=2πfL=2π×50×0.1=31.4Ω（3）根据式（5−15）进行计算上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式(4）由电流相量I写出i的瞬时值表达式思考题：上题中如果频率加倍，感抗为多少？3.电容元件我们把白炽灯和电容器串联起来分别接在交流和直流电路里，观察现象：接通直流电源，灯泡不亮，接通交流电源，上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式灯泡能够发光。可得出结论：直流不能通过电容器，交流能通过电容器。直流不能通过电容器是容易理解的，因为电容器的两个极板被绝缘介质隔开了。电容器接到交流电源时，实际上自由电荷也没有通过两极间的绝缘介质，只是由于两极板间的电压在变化，当电压升高时，电荷向电容器的极板上聚集，形成充电电流；当电压降低时，电荷离开极板，形成放电电流。电容器交替进行充电和放电，电路中就有了电流，表现为交流“通过”了电容器。在上面的实验中，如果把电容器从电路中取下来，使灯泡直接与交流电源相连，观察现象：灯泡要比接有电容器时亮得多。表明：电容也对交流有阻碍作用。电容对交流的阻碍作用，用容抗来表示。接下来我们讨论这个问题。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式线性时不变电容元件是一个二端元件，它的电路符号如图5−17所示。图中+q和−q分别是电容元件正极板和负极板上的电荷量。若电容元件上电压的参考方向由正极板指向负极板，则电荷q和电压u有以下关系q(t)=Cu(t)（5−16）当电容两端的电压u与流进正极板的电流i为关联参考方向时，电容元件的伏安关系可由式（5−16）导出为（5−17）从式（5−17）可以看出，电流与该时刻电压的变化率成正比。如果电压恒定（直流电压），则有i(t)=0，这时电容元件相当于开路。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式电容元件两端的电压和通过电容元件的电流为关联参考方向时，瞬时功率为从t0到t时间内，电容元件吸收的电场能量为当电压从0增大到u时，电容元件所储存的电场能量为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式可以看出，电场能量只与最终的电压值有关，而与建立的过程无关。当电容元件上的电压增大时，电场能量增大，此过程为电容器储能过程；反之，当电容元件上的电压减小时，电场能量减小，此过程为电容器放能过程。当正弦电压施加于电容C两端时，如图5−18（a）所示，电容将存在充电和放电现象，并在电容电路中产生正弦电流。设正弦电压为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式由式（5−17）得（5−18）可以看出正弦量iC超前uC(π/2)，即ψi=ψu+π/2；电压与电流有效值之间的关系为IC=ωCUC。正弦波形如图5−18（b）所示。式（5−18）的相量形式为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式即或（5−19）这就是电容元件伏安关系的相量形式。其相量模型如图5−19（a）所示。根据上述关系式，显然有上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式或可见，在正弦电容电路中，电流的初相等于电压的初相加上Π/2，即电容的电流超前电压90°，或者说，电压滞后电流90°。电容的电压、电流相量图如图5−19（b）所示。电压的有效值（或最大值）和电流的有效值（或最大值）之比定义为电容的电抗XC，简称容抗，单位为欧（Ω）。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式因此，式（5−19）也可以写成（5−20）容抗表示电容器对通过的交流电所呈现的阻碍作用。当电容C一定的情况下，容抗XC与频率成反比。频率愈高，容抗愈小；当ω→∞时，CX→0，电容相当于短路。频率→0（即直流情况）时，XC→∞，电容相当于开路。这是因为直流电压施加于电容达到稳定状态后，电压保持在某一数值上，不存在充电或放电现象，因而电路中不会出现上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式电流，这时可认为电容具有无限大的容抗。电容器的这种“通交流、隔直流；通高频、阻低频”的性能也被广泛应用在电子技术中。例5−7电路如图5−19（a）所示，C=0.5μF，已知电容上的端电压求电容上的电流i。解（1）写出正弦电压u的相量（2）计算容抗上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式（3）根据式（5−20）进行计算（4）由电流相量I可得正弦电流i的瞬时值表达式思考题：（1）上题中如果频率加倍，容抗为多少？（2）串联电容的等效电容C为多少？并联电容的等效电容C为多少？上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式二、基尔霍夫定律的相量形式1.KCL的相量形式基尔霍夫电流定律（KCL）适用于电路的任一瞬间，与元件的性质无关。在正弦电流电路中，任一瞬间，流过电路任一节点（或闭合面）的各支路电流瞬时值的代数和为零，即Σi=0（5−21）既然KCL对每一瞬间都适用，那么对表达瞬时值随时间按正弦规律变化的解析式也适用，即连接在电路任一节点的各支路正弦电流的解析式代数和为零。上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式正弦电流电路中，各电流、电压都是与激励同频率的正弦量，将这些正弦量用相量表示，便有：连接在电路任一节点的各支路电流相量的代数和为零，即ΣI=0（5−22）式（5−22）就是适用于正弦交流电路中KCL的相量形式。2.KVL的相量形式同KCL适用于正弦交流电路一样，基尔霍夫电压定律（KVL）也适用于正弦交流电路。将正弦交流电压用相量表示，则有：在正弦交流电路中，沿任一闭合回路绕行一周，各元件电压相量的代数和为零，即上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式ΣU=0（5−23）这就是适用于正弦交流电路中KVL的相量形式。例5−8正弦交流电路如图5−20（a）所示，已知电流表A1、A2的读数（有效值）均为10A，问电流表A的读数是多少？解法一解题时，不要误认为电流表A的读数是10+10=20A，因为IR和IL之间有相位差。用相量表示的电路图如图5−20（b）所示。因为题目只要求读数（有效值），而不涉及具体的初相角，所以在这种情况下，可设上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式则A1、A2的读数分别为正弦电流i1、i2的有效值，即I1=10A，I2=10A，因此上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式由KCL，得即电流表A的读数为14.14A。解法二用相量图求解。电路的相量图如图5−20（c）所示。先在复平面上的水平方向作相量U，其初相为零，称为参考相量。因电阻的电压、电流同相，故I1和U的方向相同；电感的电流落后电压90°，故I2垂直于U，且处于落后位置。然后用平行四边形法则确定相量I。由此得I的值为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式即电流表A的读数为14.14A。如果是串联电路，作相量图时则以电流I作为参考相量，并设I=I∠0°。例5−9正弦电流电路如图5−21（a）所示，已知R=10Ω，C=0.01F，求电压u，并绘出相量图。解（1）电流相量I=10∠120°A上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式（2）用相量表示的电路图如图5−21（b）所示。其中，容抗（3）电阻和电容的电压相量分别为（4）根据KVL，有u=uR+uC，其相量形式为上一页下一页返回第三节电路基本定律的相量形式（5）由U写出正弦电压u的表达式相量图如图5−21（c）所示。思考题：把一只几百毫亨的电感与一只几百欧姆的电阻串联接至6V的交流电源上，用万用表测量U、UR、UL，结果U会等于UR加上UL吗？为什么？返回上一页第四节复阻抗与复导纳一、复阻抗1.复阻抗定义如图5−22（a）所示无源二端网络中，在电压、电流关联参考方向下，复阻抗定义为端口电压相量与端口电流相量的比值，即（5−24）式中的复阻抗Z也简称阻抗，单位是欧（Ω），它是电路的一个复数参数，而不是正弦量的相量。由式（5−24）可将图5−22（a）所示二端网络等效为图5−22（b）所示电路模型。由阻抗定义式（5−24）可得阻抗Z的极坐标形式为下一页返回第四节复阻抗与复导纳（5−25）上式中|Z|称为阻抗模，它等于电压有效值与电流有效值之比。ϕZ称为阻抗角，它等于电路中电压与电流的相位差，即上一页下一页返回第四节复阻抗与复导纳归纳三种基本元件伏安关系的相量形式，即显然，电阻、电感和电容的复阻抗分别为（5−26）注意：复阻抗虽然是复数，但它不与正弦量相对应，所以不是相量。阻抗这个问题，或者说与其非常相似的一个问题，在很早以前就引出了一个思想，这个思想引出了交流电路分析的最终捷径——阻抗思想。这个思想是：既然只研究正弦电压和上一页下一页返回第四节复阻抗与复导纳电流，而它们又可以表示为复数，那么为什么不能将电阻、电感和电容也用复数来表示呢？这一思想提示人们可以转换欧姆定律，在频域内定义电感和电容，并用复方程表示它们。2.RLC串联电路的阻抗图5−23（a）是由电阻、电感和电容元件串联组成的正弦交流电路。选择流过三个元件的电流作为参考正弦量，设为根据基尔霍夫电压定律，有上一页下一页返回第四节复阻抗与复导纳u=uR+uL+uC其相应的相量形式为（5−27）得到（5−28）式中，Z是RLC串联电路的总阻抗。它既反映了阻抗的大小，又体现了电压与电流的相位关系。其中，X=XL−XC称为电路的电抗。由式（5−28）可得，阻抗的模为（5−29）上一页下一页返回第四节复阻抗与复导纳阻抗角为（5−30）由式（5−29）可见阻抗模Z、电阻R和电抗X可以构成一个直角三角形，称为阻抗三角形，如图5−24所示。由图5−24可得，阻抗的实部和虚部分别为由式（5−30）可知上一页下一页返回第四节复阻抗与复导纳（1）当XL>XC时，则Zϕ>0，此时电压超前电流，电路呈电感性；（当0<ϕZ<90时，电路可视为电阻、电感负载）（当ϕZ=90时，电路可视为纯电感负载）（2）当XLBL时，则ϕY>0，此时电流超前电压，电路呈电容性；（2）当BC0时，表明网络吸收有功功率；cosϕ<0时，网络发出有功功率。可以看出，正弦交流电路的有功功率不但与电压、电流的有效值有关，还与功率因数有关。如果网络为纯电阻性、电感性或电容性电路时，其有功功率及功率因数分别为：上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率电阻R：ϕ=0，P=UI，cosϕ=1；cosϕ=100%=1，表明输入网络的功率全部变为有功功率。电感L：ϕ=90°，P=UIcos90°=0，cosϕ=0。电容C：ϕ=−90°，P=UIcos(−90°)=0，cosϕ=0。可见，输入到电感和电容电路的功率完全没有变为有功功率，即电感、电容吸收的平均功率为零。例5−18R、L串联电路中，已知f=50Hz，R=300Ω，电感L=1.65H，端电压的有效值U=220V。试求电路的功率因数和消耗的有功功率。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率解电路的阻抗由阻抗角ϕ=60，得功率因数为cosϕ=cos60°=0.5电路中电流的有效值为有功功率为上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率三、无功功率由于电路中存在的电感、电容元件实际不消耗能量，而只有电源与电感、电容元件间的能量互换，这种能量交换规模的大小，用无功功率Q来表示。Q=UIsinϕ（5−45）虽然P和Q的量纲都是［伏安］，但无功功率Q并不表示单位时间平均做功的多少（一周的平均值为零），而是表示网络端口的内部和外部之间往返交换能量的情况，故Q的单位为无功伏安，用var表示，简称为乏。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率例如，单个电感元件，ϕ=π/2，LQL=ULILsinϕ=ULIL>0；单个电容元件，ϕ=−π/2，QC=UCICsinϕ=−UCIC<0。即电容性无功功率取负值，而电感性无功功率取正值，以资区别。无功功率是电源在正弦稳态下“借给”无功器件能量的量度。对于电感，无功功率为正，对于电容无功功率为负，包含有几个电感和电容的电路的无功功率是各元件的无功功率之和。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率因此，电感和电容的无功功率可能会抵消。这也是功率因数校正的基础。例5−19日光灯电路通常被看做R、L串联电路。已知日光灯的功率为100W，在额定电压U=220V下，其电流I=0.91A。求该日光灯的功率因数及无功功率。解日光灯的有功功率为P=100W则上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率无功功率为Q=UIsinϕ=220×0.91×sin60°=173.4var思考题：工业用电的测量过程中，既有有功电能表又有无功电能表。既然“无功”是指“交换”而不表示“消耗”，可又为什么要计算无功电能呢？四、视在功率二端网络端口上的电压、电流有效值的乘积定义为视在功率，用大写字母S表示，即S=UI（5−46）视在功率又称为表观功率，单位为伏安（VA）。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率电机和变压器等设备，都是按照一定的额定电压U和额定电流I来设计和使用的。电气设备的功率额定值称为容量，它是由额定电压和额定电流来决定的。因此，电气设备都用额定的视在功率来表示它的容量。例如，一台变压器的容量是1000kVA（即视在功率为1000kVA），这并不意味着它输出的平均功率为1000kW，只表明它具有输出1000kW平均功率的能力。变压器输出的平均功率的多少，完全取决于与之相连接的外部电路（负载）的性质及运行情况。如果是电阻性负载（cosϕ=1），则它输出的平均功率就是1000kW；如果负载既含电阻，又含电抗，例如cosϕ=0.8，则它输出的平均上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率均功率P=UIcosϕ=1000×0.8=800kW；如果负载为纯电抗（cosϕ=0），则P=0。因此，变压器的铭牌只能标以额定的视在功率（伏安）值，而不能确定地给出平均功率的额定值（瓦）。由于二端网络的有功功率P=UIcosϕ、无功功率Q=UIsinϕ、视在功率S=UI，所以，P、Q和S构成了如图5−40所示的直角三角形，称为功率三角形。P、Q和S之间的数值关系为（5−47）上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率（5−48）（5−49）五、复功率定义复功率为=P+jQ=S∠ϕ=UI∠(ϕu−ϕi)（5−50）由式（5−50）可见，复功率的实部是有功功率，虚部为无功功率。复功率的模为视在功率。由于（I的共轭复数），所以复功率又可表示为上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率（5.51）当计算某一阻抗Z吸收的复功率时，可以把U=ZI代入式（5−51），即（5−52）若已知某一导纳Y，则可以把I=YU代入式（5−51），得复功率的计算式为（5−53）复功率与阻抗相似，它们都是一个计算用的复数量，并不代表正弦量，因此也不能作为相量对待。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率可以证明，对于任何复杂的正弦交流电路，总的有功功率等于电路各部分有功功率之和，总的无功功率等于电路各部分无功功率之和，所以总的复功率也等于电路各部分复功率之和。但视在功率并不等于电路各部分视在功率之和。六、功率因数的提高功率因数cosϕ是交流电网络的重要技术指标。提高功率因数是电力网中的一项重要技术 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 。为什么要提高功率因数呢？主要有以下两个原因。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率1.充分利用电气设备的容量通常，交流电源设备都是根据其额定电压和额定电流的乘积——额定容量（即额定视在功率）进行设计的，它与电气设备的体积、材料、结构等有关。那么交流电源对外输送的有功功率是多少呢？这就决定于负载的功率因数的大小，只有负载的功率因数等于额定值（一般为0.8～0.9）时，电源才能对外输出额定的有功功率PNPN=UNINcosϕ=SNcosϕΝ若负载的功率因数低于额定值，电源就发不出足够的额定的有功功率PN，无功功率Q=SNsinϕΝ的份量变大，这部分能量往返于电源与负载之间，占据了发电机的一部分容量。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率例如一台额定容量为356MVA的大型发电机，其额定负载功率因数为0.9，则发电机发出的有功功率为320MW；若负载的功率因数提高到1.0，则它可发出356MW的有功功率；若负载的功率因数只有0.8，则发电机只能发出284.8MW的有功功率，低于额定值，它的原动机（例如水轮机和汽轮机）、锅炉和附属设备容量都得不到充分的利用。2.减少输电线上的能量损耗和电压损失提高功率因数的另一个意义，就是可以降低输电线路的损耗和线路上的电压损失。输电线上的损耗为PL=I2RL（RL为输电线电阻），线路上电压降落为UL=RLI，而线路电流上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率提高功率因数cosϕ，可以使传输线上电流减小，从而降低传输线上的功率损耗和电压损失，提高传输效率，使负载端电压稳定，提高供电质量。由于传输线上电流变小，也使传输耗材减少（导线可以选细一些的），节约铜材。要提高功率因数cosϕ的值，必须减小用电网络的阻抗角，即减小用电网络的无功功率。常用的方法有：减少轻载和容载负荷，如空载变压器和异步电动机；适当选用电动机容量，避免大马拉小车，尽量使电动机的功率等于或接近负载功率；在感性负载两端并联电容器，这是提高cosϕ的主要措施。上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率例5−20当把一台功率P=1.1kW的感应电动机，接在220V，f=50Hz的电路中，电动机需要的电流为10A。求：（1）电动机的功率因数；（2）若在电动机的两端并联一只C=79.5μF的电容器，电路的功率因数为多少？电路如图5−41所示。解（1）P=UIcosϕ电动机的功率因数上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率（2）在并联电容器前，I1=I在并联电容器后，I=I1+IC以电压U为参考相量，画出电流相量图，如图5−42所示。电容中的电流上一页下一页返回第六节正弦交流电路中的功率可见，电动机在并联电容器后，整个电路的功率因数从0.5提高到0.845。注意：电动机本身的功率因数没有改变。我们可以通过并联电容器，减小阻抗角来提高整个电路的功率因数。思考题：在感性负载两端并联电容器提高功率因素，这个电容是不是越大越好？上一页返回第七节谐振在有电感和电容的正弦交流电路中，电路中的端电压和电流一般是不同相的，因电路的阻抗Z不仅有电阻R，还包含电抗X，即如果我们调节电路的参数或电源的频率使电压与电流同相，使电路的等效阻抗变为纯电阻，即电路呈电阻性，这时，我们就说电路发生了谐振。电路发生谐振时，往往产生一些特殊的现象。人们认识和掌握谐振现象的客观规律，已在电工和电子工程技术中获得广泛的应用，如信号发生器中的振荡器、选频网络等。但谐振又可能破坏电路和系统的正常工作状态，甚至造成电路严重损坏，因此，研究电路的谐振现象有重要的实际意义。下一