单级移动倒立摆建模及串联PID校正精要

单级移动倒立摆建模及串联PID校正精要 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 学 号: 0121311371232 题 目 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 自动化学院 学 院 班 级 姓 名 指导教师 2015 年 12 月 31 日 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 课程设计任务书 学生姓名: 专业班级: 指导教师: 工作单位: 自动化学院 题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 初始条件: 图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小 车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小 车在水平方向可适当移动，因此，控制小车 的移动可使摆杆维持直立不倒。 2 Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/ 要求完成的主要任务: (包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明 书撰写等具体要求) 1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立 该装置的线性数学模型,传递函数(以u为输入，,为输出); ,%,4.3%,t,1.5s,2、要求系统输出动态性能满足试设计串联PIDs 校正装置。 3、 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线 性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说 明原因。 时间安排: 任务 时间(天) 审题、查阅相关资料 2 分析、计算 3 编写程序 2 撰写 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 2 论文 答辩 答辩ppt下载中国建筑转正答辩ppt下载民事答辩状范文下载毕业答辩毕业答辩模板 1 指导教师签名: 年 月 日 系主任(或责任教师)签名: 年 月 日 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 目录 1单级移动倒立摆系统的建模 .................................................. 1 1.1倒立摆系统建模 ...................................................... 1 1.2单级移动倒立摆的传递函数 ............................................ 2 2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 ...................................... 3 2.1绘制Bode图 ......................................................... 3 2.2绘制Nyquist图 ...................................................... 4 3单级移动倒立摆系统的PID校正 .............................................. 6 3.1设计PID控制器装置 .................................................. 6 3.2确定PID控制装置参数 ................................................ 7 4 用MATLAB对校正后的系统进行仿真分析 ...................................... 9 4.1 绘制校正后系统的Bode图 ............................................ 9 4.2 绘制校正后系统的Nyquist图 ........................................ 10 4.3 系统校正前后的比较 ................................................ 11 心得体会 .................................................................. 12 参考文献 .................................................................. 13 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 摘要 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题:如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。近年来智能控制技术得到了飞速发展，以倒立摆作为研究对象，用各种智能控制技术解决非线性系统的稳定控制问题成为了诸多学者不断用来研究和验证的手段。因此对其进行 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 化应用研究和更深度理论基础研究意义重大。倒立摆系统利用牛顿运动定律建立直线型一级倒立摆系统模型，基于PID控制的思想，运用试探法整定PID参数，设计PID控制器控制倒立摆系统的稳定。由MATLAB仿真验证设计的控制器是合理的。 关键词: 倒立摆 PID控制 参数整定 MATLAB I 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 1单级移动倒立摆系统的建模 1.1倒立摆系统建模 在惯性参考系的光滑水平平面上，放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180?的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能够保持竖直向上的状态。 对于单级倒立摆系统,由于存在空气阻力和各种摩擦力的影响，致使该系统为非线性系统。为了建立数学模型我们得忽略一部分对系统影响较小的力，如系统运行时空气对其的阻力，杆与小车之间的静摩擦力，小车与地面的滑动摩擦力等,倒立摆系统就能等效为一个典型运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。 图1-1为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。 2Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/ 图1-1 倒立摆装置示意图 在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m;摆杆的长度为l，在某一瞬间时刻的摆角为θ，在水平方向施加控制力u，此时小车在水平方向的 1 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 位移为x，此时的摆心瞬时位置为(x + l)。 sin,系统组成的框图如图1-2所示: 图1-2单级倒立摆系统组成框图 在水平方向，由牛顿第二定律 22 dxdMmxlu，，,(sin),22dtdt 即 2，，，，，()cossinMmxmlmlu，，,,,,,, 在垂直方向:惯性力矩与重力矩平衡 2，，dmxllmgl(sin)cossin,,,，, ,,2dt，， 即 22 ，，，，，xllgcoscossincossin,,,,,,,，,, 1.2单级移动倒立摆的传递函数 ,, 为了避免复杂的求解微分方程运算以，考虑到摆角很小，且在操作点=00 ,,附近的微小变化，根据倒立摆的垂直位置可以近似等效为:?sin?0， ?1， cos, 2 ，,很小时,忽略,,项 故可得系统运动方程式的简化公式为: ，，，，(Mmxmlu，，,), ，，，，xlg，,,, 将上式进行拉普拉斯变换得式的简化公式为: 22(M，m)X(s)s，ml,(s)s,U(s) 22X(s)s，l,(s)s,g,(s) (s)1,联立求解: ,2u(s)(m，M)g,Mls 2 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 代入M(小车的质量)=1.2kg，m(倒立摆的质量)=0.3kg，l(倒立摆的长 2度)=0.8m，g(重力加速度)=10m/s到上式得 ,()1s ,,,Gs()2,Uss()0.9615 2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 2.1绘制Bode图 伯德(Bode)图也称为对数频率特性曲线，是用对数幅频特性和对数相频特 ,性表示频率特性的曲线。它的横坐标为，按常用对数分度。对数幅频特性lg,的纵坐标为，单位为分贝;而对数相频特性的纵坐标表示L()20lg(),,,,()dB 为，单位为度。 ():,,() 应用MATLAB绘制系统的Bode图，编程如下: num=[-1]; den=[0.96 0 -15]; bode(num,den) -1所示 得到系统Bode图如图2 3 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 图2-1 校正前系统bode图 由波特图可知，该系统不是稳定系统。 2.2绘制Nyquist图 奈奎斯特(Nyquist)图也称福相频率特性曲线或极坐标图。它是以复平面的矢量表示G(jω)的一种方法。 开环系统Nyquist图绘制的方法为:当ω从0??变化时，可由幅频和相频 G(j,)特性公式计算出各点所对应的||和。在复平面逐点描绘可以画出开,(,)k 环系统的幅相频特性曲线。但是这种方法计算十分麻烦，实际中常采用概略绘图的方法。概略绘图法:由某些特殊的幅相频特性来绘制开环系统的幅相频特性曲 ,,,线，一般常采用=0起点，= ?终点，=1/T转折频率及过负实轴的点。 运用MATLAB来作出系统的Nyquist图，编程如下: num=[-1]; 4 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 den=[0.96 0 -15 0]; w = [ 0:0.1:10 ]; %确定频率范围 e = exp(j*w); %给出指数函数ejw r = real(e); %求指数函数的实部，结果不显示 i = imag(e); %求函数ejw的虚部，结果不显示 [ a,b ] = nyquist(num,den,w); %求指定频率范围内的奈氏值，不显示结果 plot(r,i,a,b),grid %绘出:r，i;a，b;的对应图形并加上栅格。 得到系统Nyquist图如2-2所示 图2-2 校正前系统Nyquist图 由图可知，N=0，由奈奎斯特稳定判据可知，Z=P-2N=1-0=1，故该系统不稳定。 5 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 3单级移动倒立摆系统的PID校正 设计PID控制器来控制系统，要求系统输出动态性能满足，,,4.3% 。 t,1.5ss 3.1设计PID控制器装置 从所得倒立摆线性化后的传递函数模型可以看出, 该系统因为含有右半平面的极点, 所以是一个不稳定的非最小相位系统 。该方法的主要思想是:根据给定值 r与系统的实际输出值 c构成控制偏差 e,然后将偏差的比例 ( P)、 积分 ( I)和微分 (D)三项通过线性组合构成控制量 ,对被控对象进行控制 ,故称为 P I D控制。则PID控制用于倒立摆系统的原理如下图: r(k) c(k) PID控制器 倒立摆系统 , 图3-1 PID控制器原理图 PID控制器各环节的特点:比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统振荡次数会增加，调节时间变长，甚至会不稳定。积分控制可消除系统稳态误差，但会使系统滞后增加稳定性变差，反应速度变慢。微分控制可提高系统动态特性(减少超调量和反应时间)，使系统稳态误差减小。 其控制规律为: ，，det，，1，，，，，，，，ut,ket，T，etdt pd,,,dtTi，， 设PID控制器的传递函数为: KiG,K，，Ks cpds 即: 2KsKKs，，PidG ,cs 而倒立摆系统的传递函数为: ，，,s1 G,,,02，，Us0.96s,15 6 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 则校正后系统的开环传递函数为: 2Ks，Ks，Kdpi GG,,0c30.96s,15s 3.2确定PID控制装置参数 KKK,,应用MATLAB对倒立摆系统进行仿真来确定PID控制器的参数。pid编程如下: num=[Kd,Kp,Ki]; den=[-0.96 0 15 0]; bode(num,den) sys=tf(num,den) sysc=sys/(1+sys); t=0:0.05:2; step(sysc,t) %校正后系统单位阶跃响应图 impulse(sysc,t) %校正后系统的单位脉冲响应图 KKK,,(其中为待定PID参数) pid PID具体说明经验法的整定步骤: KKpi由倒立摆系统的传递函数可知系统为不稳定的非最小相位系统，故、、Kd均为负值。 KKKpid(1)、分别置零,让扰动信号作阶跃变化，从小调到大观察控制过程，直到仿真图上出现稳态振荡，即波形在实轴上下作等幅振荡。 KK?取比例系数为当前的值乘以0.83，由小到大增加积分系数，同样让pi扰动信号作阶跃变化，直至求得满意的控制过程。 KK(3)积分系数保持不变，改变比例系数，观察控制过程有无改善，如pi K有改善则继续调整，直到满意为止。否则，将原比例系数增大一些，再调整p KK积分系数，力求改善控制过程。如此反复试凑，直到找到满意的比例系数pi K和积分系数为止。 i K?引入适当的实际微分系数和实际微分时间TD(微分增益和微分时间常d 7 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 数的乘积,TD=Kd*TD,在阶跃信输入信号的作用下实际PD调节器的输出信号)， Kp此时可适当增大比例系数和积分系数K。和前述步骤相同，微分时间的整定i 也需反复调整，直到控制过程满意为止。 KKK最后，初步定下、、参数-400、-108、-90，对应的单位阶跃响 pid 应曲线如图3-2所示: 图3-2 校正后系统单位阶跃响应图 根据图3-2可以得出系统校正后: 1.05,1.03,%,，100%,1.94%超调量 1.03 t调节时间 =0.0969s s ,%,4.3%,t,1.5s满足设计要求指标: s 经过验证，校正后的系统超调量和调节时间远远小于设计要求的指标，PID控 制器参数整定正确，符合课程设计的要求。 8 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 4 用MATLAB对校正后的系统进行仿真分析 校正后系统的开环传递函数为: 290s，400s，108 G(s),30.96s,15s 下面应用MATLAB绘制校正后的系统Bode图和Nyquist图 4.1 绘制校正后系统的Bode图 调出MATLAB，编写程序: num=[90,400,108]; den=[0.96,0,-15,0]; bode(num,den) 得到校正后系统的Bode图如图4-1所示: 图4-1 校正后系统的Bode图 从波特图可以看出相角裕度良好并且系统稳定 9 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 4.2 绘制校正后系统的Nyquist图 打开MATLAB，编写程序: num=[90 400 108]; den=[0.96 0 -15 0]; w = [ 0:0.1:10 ]; %确定频率范围 e = exp(j*w); %给出指数函数ejw r = real(e); %求指数函数的实部，结果不显示 i = imag(e); %求函数ejw的虚部，结果不显示 [ a,b ] = nyquist(num,den,w); %求指定频率范围内的奈氏值，不显示结果 plot(r,i,a,b),grid %绘出:r，i;a，b;的对应图形并加上栅格。 得到校正后系统的Nyquist图如图4-2所示: 图4-2 校正后系统的Nyquist图 由乃奎斯特曲线可知，Z=P-2N,P=1 N=1/2,Z=0,故系统稳定。 10 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 4.3 系统校正前后的比较 校正前，系统为不稳定系统，加入串联PID校正环节后，增大比例系数一般将加快系统的响应速度，在有静态误差的情况下有利于减小静差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调量，并产生震荡，是稳定性变坏;增大积分系数有利于减小超调，减小震荡，使系统稳定性增加，但是系统静态误差消除时间变长;增大微分系数有利于加快系统的响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。 经过适当的PID参数整定，可以使得校正后的系统动态性能满足设计要求指标:,%,4.3%,t,1.5s。从图,4-1和4-2可看出经过校正后系统的动态特性s 得到了明显的改善，系统是稳定的。 11 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 心得体会 通过这次的自控原理课程设计，让我受益匪浅。上课时，老师重点讲的是超前校正，滞后校正，超前滞后校正。PID上课时没有完全理解，偏偏抽到了这个题目，使我不得不到处去找资料去了解PID。 经过各种途径的了解，PID控制是一个比例、积分和微分三项通过线性组合构成控制量。比例项一般将加快系统的响应速度，在有静态误差的情况下有利于减小静差;积分项有利于减小超调，减小震荡，使系统稳定性增加;微分项有利于加快系统的响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。通过了这次的设计使得我对PID控制器的理解加深，不是仅仅只知道它们的名字而已。 在自动控制原理课堂上，我们学的是一些理论知识，虽然我们看上去搞懂了，也会做题了。通过课程设计时我们才知道，原来我们只是对理论略知一二，要是谈到实际应用我们真是无从下手。在网上查资料时发现，确定PID的参数时基本上没有固定的公式都是试出来的，这个有些麻烦，需要一个一个的试。再加上老师上课基本没有提过matlab的使用方法。虽然早在开学的时候就下了matlab，但是一直没有时间去研究，这次课设要求一定要matlab，还得重头来过，自己学习matlab。近过几天的学习matlab，只是学习了一些很少的语言，发现了matlab是非常有用，有了这个软件基本上就不用自己分析画图了，提高了我们工作的效率。学会了matlab感觉非常有用，以后分析问题就会简便许多。 通过这课设，我学到了很多，比如上课没有特别理解的PID控制，现在通过自己寻找资料、自己理解，留下了深刻的影响，也很有成就感，毕竟是第一次的课设。虽然过程很累，并且时间也很不够，在做课设时还要复习备考，但是我们还是通过种种考验，顺利完成课设，感觉自己非常的开心。并且做课程设计使自己更加充实，而且在此基础上学习到了自动控制系统设计的基本思想和方法，培养了认真严谨的学习作风和实事求是的学习态度。 12 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 参考文献 [1] 王孝武.自动控制原理.北京:机械工业出版社出版社，2012 [2] 胡寿松.自动控制原理第五版.北京:科学出版社,2007 [3] 薛定宇.MATLAB语言应用.北京:清华大学出版社，2000 [4] 绪方胜彦.现代工程控制.北京:科学出版社，1978 [5] 刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真.北京:电子工业出版社，2004 13