实验4时域采样理论与频域采样定理验证

实验4时域采样理论与频域采样定理验证实验4时域采样理论与频域采样定理验证院系实验报告班级学号课程名称姓名实验成绩日期指导教师实验4时域采样理论与频域采样定理验证一一、实验目的 1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息;要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。二、实验原理及方法时域采样定理的要点是: ˆ(a)对模拟信号以间隔T进行时域等间隔理想采样...

实验4时域采样理论与频域采样定理验证院系实验报告班级学号课程名称姓名实验成绩日期指导教师实验4时域采样理论与频域采样定理验证一一、实验目的 1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息;要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。二、实验原理及方法时域采样定理的要点是: ˆ(a)对模拟信号以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱是x(t)X(j,)a 原模拟信号频谱以采样角频率()为周期进行周期延拓。公Xj(),,,,2,/Tssa 式为: ,1ˆˆ ,X(j,,jn,) X(j,),FT[x(t)],asaaTn,,, (b)采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 ,s 频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 ˆ 理想采样信号和模拟信号之间的关系为: x(t)x(t)aa , ˆx(t),x(t),(t,nT) ,aan,,, 对上式进行傅立叶变换，得到: ,,,j,tˆX(j,),[x(t),(t,nT)]edt ,aa,,,n,,, ,,,j,t ,x(t),(t,nT)edt ,a,,,n,,, 在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此: t,nT ,jnT,,ˆ X(j,),x(nT)e,aan,,, 上式中，在数值上,，再将代入，得到: x(n)x(nT),,,Ta ,jn,,ˆ X(j,),x(n)e,an,,, j,上式的右边就是序列的傅立叶变换，即 X(e) ,jˆ X(j,),X(e)a,,,T 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用代替即可。 ,T 频域采样定理的要点是: ωja) 对信号x(n)的频谱函数X(e)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到 j, XkXekN()() , 0,1,2,,1,,,2Nk,,,N 则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序Xk()N 列，公式为: , xnXkxniNRn()IDFT[()][()](),,，,NNNNi,,, (b)由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N?M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。Xk()xn()xn()NNN如果N>M，比原序列尾部多N-M个零点;如果N 表示。 x(n)x(n)x(n)123 ,,nT x(n),x(nT),Aesin(,nT)u(nT)0a 因为采样频率不同，得到的，，x(n)的长度不同，长度(点数)x(n)x(n)123用公式N,T，F计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。 ps X(k)=FFT[x(n)] ， k=0,1,2,3,-----,M-1 式中k代表的频率为 2,。 k,,kM 要求: 编写实验程序，计算、和x(n)的幅度特性，并绘图显示。观察x(n)x(n)123分析频谱混叠失真。 (2)频域采样理论的验证。给定信号如下: n，10,n,13, , x(n),27,n14,n,26, ,0其它, j,编写程序分别对频谱函数在区间上等间隔采样32 [0,2,]Xexn()FT[()], 和16点，得到: X(k)和X(k)3216 j, XkXek()() , 0,1,2,31,,322,,k,32 j, XkXek()() , 0,1,2,15,,162,,k,16 再分别对进行32点和16点IFFT，得到: X(k)和X(k)x(n)和x(n)32163216 xnXkn()IFFT[()] , 0,1,2,,31,,323232 xnXkn()IFFT[()] , 0,1,2,,15,,161616 j,分别画出、的幅度谱，并绘图显示x(n)、的波形，X(k)和X(k)x(n)和x(n)Xe()32163216 进行对比和分析，验证总结频域采样理论。提示:频域采样用以下方法容易变程序实现。 j,? 直接调用MATLAB函数fft计算就得到在的Xkxn()FFT[()],[0,2,]Xe()3232 32点频率域采样 j,? 抽取的偶数点即可得到在的16点频率域采样，即Xk()[0,2,]Xk()Xe()3216 。 XkXkk()(2) , 0,1,2,,15,,1632 3 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主? j,值区(16点)，再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是在的16点频率域采[0,2,]Xe()样Xk()。 16 四、思考题 j,如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱在[0,2,]上的N点等间隔采样，Xe() 当N 清单和有关曲线。六、程序清单和信号波形 1、时域采样理论的验证程序清单: % 时域采样理论验证程序 Tp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒 %产生M长采样序列x(n) % Fs=1000;T=1/Fs; Fs=1000;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; f=n*Fs/M; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xn,M);%M点FFT[xnt)] subplot(3,1,1); plot(f,abs(Xk)); xlabel('f/Hz'); ylabel('|x1(jf)|'); title('x1(n)的幅度特性'); %=============================================================== ===== %Fs=300Hz Tp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒 %产生M长采样序列x(n) % Fs=1000;T=1/Fs; Fs=300;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; f=n*Fs/M; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xn=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xn,M);%M点FFT[xnt)] subplot(3,1,1); plot(f,abs(Xk)); xlabel('f/Hz'); ylabel('|x1(jf)|'); title('x1(n)的幅度特性'); %=============================================================== ===== %Fs=200Hz Tp=64/1000; Fs=200;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1; A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xnt,M); yn='xa(nT)';subplot(3,2,5); tstem(xnt,yn); box on; title('(a) Fs=1000Hz'); k=0:M-1;fk=k/Tp; subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); 信号波形: 2、频域采样理论的验证程序清单: M=27;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n) xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)] x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K) x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; % subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200]) k=0:N/2-1; subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1; subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1; subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1; subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20]) 信号波形: 思考题简答先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列， , xnxniNRn()[()](),， ,NNi,,, 再计算N点DFT则得到N点频域采样: j, XkxnXekN()DFT[()] =() , 0,1,2,,1,,,2NNN,,k,N 七、实验总结 1由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小;当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重;当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。 2频域采样定理的图验证了频域采样理论和频域采样定理。对信号x(n)的 Xk()N频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N点IDFT[]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列:

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