带电摆球在磁场中正常摆动的条件
分析
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有很多教学参考资料中，常有这样一个电学问题： “摆长为L，摆球质量为m，带电量为+q，的单摆，置于垂直纸面向里的匀强磁场中，摆线最大偏角为θ，试分析：为使摆动能正常进行，对磁感强度B应限制在什么范围内？” 给出的解答如下：“图1中，在摆球从左向右摆动时，受到的洛仑兹力指向悬点．因此，若磁感强度足够大，将会出现洛仑兹力增大，使悬线处于自然状态时拉力恰好为零的情况，这就是维持单摆正常摆动的临界条件． 设摆线偏离竖直方向夹角为α时，摆球速度大小为v，则T＋qBv- 因洛仑兹力不作功，由机械能守恒定律知： 将②式代入①得 以上由④式提供的这个解答显然值得商榷：因为当θ很接近0°时，使摆动能够正常进行的磁感强度的取值应该趋于无穷大，而不应该像④式那样仅由某一个具体值来界定．为此不妨假设B恰好等于 时，将会出现cosα＞1的不合理情况，
说明
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此时根本不存在使①式T＝0成立的α角．这一矛盾现象的出现，反映了仅从数学角度给出的上述解答还存在着很多有待进一步研究的问题． 首先看θ＝90°的情况，这时对④式来说，使磁感强度B有意义的取值根本就不存在．事实上．如果初始摆角θ＝90°，尽管摆球原来可能是从右侧摆线水平位置处释放，但当其摆到左侧水平位置时，悬线必将立即松驰，使摆动无法正常进行，对此结论可用反证法证明如下： 假设摆球自左侧摆线水平位置处沿圆弧轨道下降某一高度时，摆线大，qB多小，必定存在着非常接近90°的α角满足上述不等式，故小球一旦离开左侧最高位置，将立即脱离圆弧轨道向内侧运动．因此，对本题小球释放的初始位置首先应强调指出不包括θ＝90°的情况． 此后还必须说明的是：只要摆球在向右摆动经过平衡位置之前能始终保持悬线张力T≥0，则在其通过平衡位置以后继续右摆的过程中，肯定可以维持正常摆动．如图2所示，考虑关于平衡位置左右对称的1、2两点：在位置1处悬线张力T1≥0，由于知v2＝v1，于是T1、T2表达式中对应的第一、三两项大小相等，而对称关系又指出两个第二项也彼此相等，因此必有T2＝T1≥0．的函数图象开口向上，且随着v的增大（即α角的减小）．T先减后增．图象与纵轴交点坐标为mgcosθ，顶点坐标为坐标却存在大于、等于、小于零的三种不同情况（图3）．（乙）所示，顶点在横轴正方向一侧．每一初始角度θ，都存在着一个较小的锐角α，使T在此位置取极小值且恰好为零．（例如当θ＝60°时，图（甲）的情况表明，对于同样范围内的每一初始角度θ．必定存在着使T在取值极小时仍大于零所对应的α角，（例如当θ＝60°时，若从左向右摆动经过平衡位置之前就出现了悬线拉力最小（但仍大于或等于零）的极值点，因此，如果要让摆动正常进行，就必须
要求
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当初始摆 而当θ＜41．4°时，由于是摆球在从左向右摆动经过平衡位置之前，将始终处于T值单调减小，极小值尚未出现的阶段，即（丙）图所示的情况，因此这时只要能保证摆球摆动到平衡位置处悬线张力T≥0，便肯定可以维持摆动的正常进行． 由于此时的①式应写成 就是当θ≤41.4°时，为使摆动得以正常进行对磁感强度B取值范围的要求． 在比较④、⑤两式皆取等号时的大小关系时，可令 这一表示两种取值范围大小关系的式子实际上说明当θ＜41．4°时可适当放宽对磁感强度B取值范围的要求．由于⑥式仅在 41.4°就是前面曾见到的摆球通过最低位置时悬线拉力恰好为零的那种情况，它指出在两种不同取值范围的衔接处，两个不同的表述形式实际上具有等价关系． 图4在同一坐标系中，画出了在④、⑤两式皆取等号时，B随θ角的取值不同而改变的情况，两曲线相切处的横坐标为41．4°．于是，分别取使④式等号成立的右段（不含端点θ＝90°）和使⑤式等号成立的左段所构成的连续曲线与横轴之间所围阴影部分（含边界），才是完整地表示这个问题中磁感强度B在不同初始摆角下允许的取值范围，即：
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