华章文化电子导学案(编辑部)027-877789161.4等腰三角形第1课时角平分线的性质定理及其逆定理1.探索并理解角平分线的性质和判定.2.能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问
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.阅读教材P28-P29“随堂练习”之前的内容,理解角平分线性质及判定。自学反馈学生独立完成下列问题:1、(1)角平分线性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)请同学们自己尝试着证明上述结论已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证:PD=PE.证明:∵∠1=∠2,OP=OP,∠PDO=∠PEO=90°,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).2、(1)你能写出这个定理的逆命题吗?角平分线性质定理的逆命题:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.(2)它是真命题吗?你能证明它吗?[来源:学科网]证明如下:已知:在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在么AOB的角平分线上.证明:PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。活动1小组讨论例1已如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴△DCF和Rt△DEB中,∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD=DF,,DC=DE,))∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL).∴CF=EB;(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴△ADC与△ADE中,∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD=DE,,AD=AD,))∴△ADC≌△ADE(HL),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等例2如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.解析:先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等,得出DE=DF,再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线.证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE=CF,,BD=CD,))∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC的平分线.证明一条射线是角平分线的方法有两种:一是利用三角形全等证明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.活动2跟踪训练1.如图(1),AD平分∠BAC,点P在AD上,若PE⊥AB,PF⊥AC,则PE__=___PF.2.如图(2),PD⊥AB,PE⊥AC,且PD=PE,连接AP,则∠BAP__=___∠CAP.3.如图(3),∠BAC=60°,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,若AD=,则PE=__1__.图(1)图(2)图(3)4.已知,如图(4),∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,若CD=CE,则∠COD+∠AOB=__90___度.5.如图(5),已知:OM是角POQ的平分线,MP⊥OP于P,MQ⊥OQ于Q,S△QOM=3cm2,OP=3cm,则MQ=____2______cm.图(4)图(5)6.如下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于(B)A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如下图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上,以上结论中,正确的是(D)①②①和②D.①、②与③图(6)图(7)活动3课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理,在有角的平分线(或证明是角的平分线)时,过角平分线上的点向两边作垂线段,利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。教学至此,敬请使用《名校课堂》相应课时部分。