（课堂设计）2020高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

PAGE1.4.3　正切函数的性质与图象自主学习知识梳理正切函数的图象和性质(1)图象：如下图所示．(2)性质：如下表所示函数性质y＝tanx定义域值域周期奇偶性________函数单调性增区间______________(k∈Z)减区间无自主探究仔细观察正切函数的图象，完成下列问题．(1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．(2)正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有______个，它们的坐标是__________(k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴．(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.对点讲练知识点一　与正切函数有关的定义域问题例1　求函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域．回顾归纳　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．变式训练1　求下列函数的定义域．(1)y＝eq\f(1,1＋tanx)；(2)y＝lg(eq\r(3)－tanx)．知识点二　正切函数的单调性及周期性例2　求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间及周期．回顾归纳　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法即是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．变式训练2　求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调区间及周期．知识点三　正切函数单调性的应用例3　利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6π,5)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,7)))；(2)tan2与tan9.回顾归纳　比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z.故在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上都是增函数．变式训练3　比较下列两组函数值的大小．(1)tan(－1280°)与tan1680°；(2)tan1，tan2，tan3.1．正切函数y＝tanx在每段区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．正切函数无单调减区间．2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)为渐近线.课时作业一、选择题1．函数y＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))的最小正周期是(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)2．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是(　　)3．下列函数的最小正周期为eq\f(2π,3)的函数是(　　)A．y＝tan3xB．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x－\f(π,7)))C．y＝eq\r(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－1))D．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,3)))4．下列函数中，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，且以π为周期的偶函数是(　　)A．y＝tan|x|B．y＝|tanx|C．y＝|sin2x|D．y＝cos2x5．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,4)所得线段长为eq\f(π,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是(　　)A．0B．1C．－1D.eq\f(π,4)二、填空题6．不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))≥－1的解集是____________．7．函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的对称中心的坐标是_____________________________________________________________________．8．函数y＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))－5的单调递增区间是________________．三、解答题9．判断函数f(x)＝lgeq\f(tanx＋1,tanx－1)的奇偶性．10．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定义域、周期、单调区间和对称中心．1.4.3　正切函数的性质与图象答案知识梳理(2)函数性质y＝tanx定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，x∈R))，(k∈Z)值域R周期π奇偶性奇函数单调性增区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)减区间无自主探究(1)无数　kπ＋eq\f(π,2)　(2)无数　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))　(3)eq\f(π,|ω|)对点讲练例1　解　由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0,1－tanx>0))，即－1≤tanx<1.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又y＝tanx的周期为π，所以所求x的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．即函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．变式训练1　解　(1)要使函数y＝eq\f(1,1＋tanx)有意义，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋tanx≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)).(2)由eq\r(3)－tanx>0，得tanx<eq\r(3).根据正切函数图象，得－eq\f(π,2)＋kπ0，得tanx>1或tanx<－1.∴函数定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ－\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)关于原点对称．f(－x)＋f(x)＝lgeq\f(tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq\f(tanx＋1,tanx－1)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－tanx＋1,－tanx－1)·\f(tanx＋1,tanx－1)))＝lg1＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．10．解　①由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z.∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R且x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)).②T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，∴函数的周期为2π.③由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,2)－eq\f(π,3)