PAGE甘肃省永昌县第一中学高中数学4.1.2圆的一般方程学案新人教A版必修2学习目标：(1)在掌握圆的
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方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及
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解决问
题
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的实际能力。学习重点圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．学习难点对圆的一般方程的认识、掌握和运用教学
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
一、目标展示二、自主学习1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F＞0表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))为圆心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆D2＋E2－4F＝0表示一个点(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))D2＋E2－4F＜0不表示任何图形2．圆的一般方程(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当时，该方程叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程下的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为，半径长3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．4．轨迹方程点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．三、合作探究1．圆的一般方程的结构有什么特征？2．圆的标准方程和一般方程如何相互转化？3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具备什么条件才能表示圆？四、精讲点拨[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径：(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.———————————————————————————————1．判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．2．圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．—————————————————————————————————————1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[例2] 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．———————————————————————————————应用待定系数法求圆的方程应注意以下两点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.—————————————————————————————————————2．求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．[例3] 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．———————————————————————————————解决此类问题，常用的
方法
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有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．—————————————————————————————————————3．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．五、达标检测1．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )A.eq\r(2)πB．2πC．2eq\r(2)πD．4π3．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝04．圆心为(2，－4)，半径为4的圆的一般方程为________．5．(2020·洛阳检测)点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M为OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．6．求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．六、课堂小结1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹。课后作业习题4.1第2、3、6题教后反思
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