例1.已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的a、b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a)⑴求f(0)及f(1)的值⑵判断f(x)的奇偶性,并
证明
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你的结论抽象函数:无函数具体表达形式,仅知道一些函数性质去解决相关的问题(1).令a=b=0,则f(0)=0.令a=b=1,则f(1)=0(2).令a=b=x,有f()=2f(x),再另a=b=-x有f()=-2f(-x)因为对任意的x∈R都满足,所以f(x)=-f(-x),故为奇函数(4)若f(x)f(2x)>1求x的取值范围;例2:定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时.f(x)>1,对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求证:f(0)=1(2)求证:定义在R上的函数y=f(x)恒有f(x)>0(3)求证:是R上的增函数。解:(1)令a=b=0,f(0)=f2(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1(2)x∈R,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1,∴f(x)≠0(4)∵f(x)·f(2x)=f(x+2x)>f(0),∴3x>0解:(3)设任意实数x1,x2,且x1
0由已知f(x2-x1)>1,f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)f(x)>0有f(x1)>0(4)若f(x)·f(2x)>1求x的取值范围;例2.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时.f(x)>1对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b)(3)求证:是R上的增函数。→f(x2)>f(x1),所以函数是R上的增函数∴00时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3-m-2)<3.思维启迪问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值.练习2:已知y=f(x)定义域是R+,且y=f(x)是增函数,f(xy)=f(x)+f(y)(1)求证:f()=f(x)-f(y);(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围;证明(1)(2)由已知得练习3:已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证:f(x)是奇函数(2)如果x∈R+时,f(x)<0,并且f(1)=-0.5,求f(x)在区间[-2,6]上的最值