运用“几何直观”教学《正比例和反比例的意义》北京教育学院宣武分院郑卫红《正比例和反比例的意义》一直是六年级教学中的一个重要内容，这部分内容肩负了一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律
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述出来的意识和能力，就是函数思想在小学教学中的渗透。小学生的思维特点是从以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式过渡，因此对于较为抽象的“正比例和反比例的意义”理解起来较为困难，是学习上的一个难点。函数有三种
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表示方法：表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略，其中的图像更加直观，更有利于帮助小学生理解抽象的变化规律。如何借助直观形象的事物、借助图像，充分发挥几何直观的作用，帮助学生学习正比例和反比例的意义呢？充分利用函数的多重表示，在正反比例意义的教学中渗透函数思想呢？下面以北京实验一小郭雯砚老师上的一节《正比例和反比例的意义》一课为例进行说明。郭老师首先以学生熟知的数量关系引入本节课的学习：同学们，你们已经是六年级的学生了，通过这六年的学习，同学们掌握了很多组不同的数量关系。过去我们都是运用这些数量关系去解决实际问题，今天我们换一个角度来重新研究这些数量关系，看看每一组数量关系有什么变化规律。这样的引入不仅使学生对本节课的学习内容感觉亲切熟知，而且让学生明确了本节课的学习任务。新课的教学紧紧围绕着学生刚刚学习的圆柱的体积与底面积、高这三量关系展开研究学习，感受知识的延续性与内在的联系性。通过创设倒水的情境，让学生借助几何直观（这里指利用圆柱图形的底面积、高和体积的变化来描述和分析问题）、借助数据，观察、体验、感受在底面积不变的前提下，高和体积的变化规律。接下去让学生结合刚才的实验，猜想这三量之间还会有哪些变化情况。进而引出“圆柱的高一定，底面积和体积会有什么变化规律；体积一定，底面积和高会有什么变化规律。”围绕这两种不同的情况，教师让学生先猜想可能的变化规律，再借助几何直观自主设计实验进行验证。在实验中借助几何直观充分感受变与不变的变化规律，寻找与前一实验的相同之处。继续在实验中感受变与不变的变化规律，并寻找、发现、感受与前两次实验的不同之处。通过三次实验，让学生在猜测、实验、观察、验证的数学活动中，初步感受、体会成正比例的量和成反比例的量的变化规律。设计倒水试验的意图：一是体现课标要求“通过具体情境，认识成正反比例的量”；二是借助几何直观使抽象的变化规律直观化；三是借助几何直观使静止的图像连动起来；四是借助几何直观为正反比例图像的呈现初步建立表象。之后教师又出示了三组不同的数量关系：这里仍然借助几何直观配以现实的情境，让学生进一步深入体验、感受成正比例的量和成反比例的量，进而揭示课题，并让学生猜测哪种变化是成正比例，哪种变化成反比例？并尝试说一说什么叫正、反比例？进而引出概念。在课的最后，教师运用几何直观呈现出四幅图像，让学生猜想哪一幅会是正比例图像，哪一幅会是反比例图像？一些学生借助前面的实验分析的有根有据，进而为下节课学习正比例图像做好了孕伏。本节课借助几何直观发挥好函数多重表示的作用，有效地帮助学生更加深入地理解概念，感受变化关系。借助几何直观让抽象的变化关系变得具体、直观，变得让学生更容易有“感觉”了，悄然地实现对函数思想的感悟。教师在本节课的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，让学生有机会将已有的旧知识与新形式建立联系，让零散的连起来，让静止的动起来，让具体数变得抽象起来，这个过程就是渗透函数思想的重要过程。
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