PAGE第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析 全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.答案 D2．(2012·山东卷)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真解析 命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．答案 C3．(2013·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B解析 全称命题的否定为特称命题，故选D.答案 D4．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可
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示为( )A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析 “至少有一位学员没有降落到指定范围”意思是“甲没落到指定范围或乙没有落到指定范围”故用逻辑联结词表示为(綈p)∨(綈q)，选A.答案 A5．已知命题p1：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A．(綈p1)∧(綈p2)B．p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2D．p1∧p2解析 ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．答案 C6．(2014·唐山市期末)已知命题p：∀x∈R，x3＜x4；命题q：∃x∈R，sinx－cosx＝－eq\r(2)，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧qB．綈p∧qC．p∧綈qD．綈p∧綈q解析 当∵x＝0时，x3＝x4，∴命题p为假命题，綈p为真命题．又∵当x＝eq\f(5π,4)时，sinx－cosx＝－eq\r(2)，∴q为真命题．∴綈p∧q为真命题，故选B.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．解析 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根．”答案 存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根8．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：eq\f(1,3－x)>1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是______________________．解析 因为“綈q且p”为真，即p真q假，而q为真命题时，eq\f(x－2,x－3)<0，即2
0，解得x>1或x<－3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<－3，,x≥3或x≤2，))得x≥3或10.解 (1)綈q：∃x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．11．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0.))(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤3，,x<－4或x>2，))即23，))解得1
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