直角三角形的边角关系

数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 却隐藏极深.——高斯从梯子的倾斜程度谈起在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.正切直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?结论:在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的三角函数.ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边sinA=cosA=结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:sinA越大,梯子越陡;cosA越小,样子越陡.如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?例1如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.200ACB┌求:AB,sinB.怎样思考？10┐ABC如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.求:△ABC的周长.556ABC┌D2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,┐ABC3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinAsinB;(2)若sinA=sinB,则∠A∠B.ABC┌5.如图,∠C=90°CD⊥AB.6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.┍┌ACBD()()()()()()7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的四个三角函数值.8.在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB(2)BC=3,sinA=,求AC和AB.┌ACB34┌ACB34(1)(2)10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=,求AC和BC.11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.ACB┌D12.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA,cotA和sinB,cosB,tanB,cotB.(2)BC=3,sinA=0.6,求AC和AB.(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.13.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.求:sinB,cosB,tanB,cotB.ACBDF┌E┌定义中应该注意的几个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :小结拓展1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.小结拓展1.锐角三角函数定义:请思考:在Rt△ABC中,sinA和cosB有什么关系?tanA=ABC∠A的对边∠A的邻边┌斜边sinA=cosA=30°、45°、60°角的三角函数值例1计算：（1）sin30°+cos45°；（2）（3）（4）例2填空（1）已知∠A是锐角，且cosA=，则∠A=°，sinA=；（2）已知∠B是锐角，且2cosA=1，则∠B=°；（3）已知∠A是锐角，且3tanA=0，则∠A=°例3一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。例4在Rt△ABC中，∠C=90°，，求，∠B、∠A。四、反馈练习1．已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（）A.30°B.45°C.45°D.30°3.三角函数的有关计算(2)由三角函数值求角的度数直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900.直角三角形的边角关系直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2.回顾与思考1驶向胜利的彼岸bABCa┌c互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.特殊角300,450,600角的三角函数值.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.数学源于生活的需求如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?想一想P172那么∠A是多少度呢?要解决这问题,我们可以借助科学计算器.请与同伴交流你是怎么做的?如图,在Rt△ABC中,知识在于积累已知三角函数值求角度,要用到键的第二功能和键.做一做P183例如,驶向胜利的彼岸由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 使用.sincostantanA=56.78tanA=0.1890CosA=0.8607SinA=0.9816显示结果按键的顺序2ndfSin0.Sin-1=0.9816=78.991840392ndfcos0.coS-1=0.8607=30.604730072ndftan0.tan-1=0.1890=10.702657492ndftan56.78tan-1=56.78=88.99102049981=Sin-1cos-1tan-12ndf816=607=890=熟能生巧1根据下列条件求∠θ的大小:(1)tanθ=2.9888;(2)sinθ=0.3957;(3)cosθ=0.7850;(4)tanθ=0.8972.随堂练习P204驶向胜利的彼岸怎么解?老师提示:上表的显示结果是以度为单位的,再按键即可显示以“度,分,秒”为单位的结果.dms洞察力与内秀例1如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10).例题欣赏P195驶向胜利的彼岸咋办∴∠ACD≈27.50.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.数学化呀!∴V型角的大小约550.真知在实践中诞生2一辆汽车沿着一山坡行驶了1000m,其铅直高度上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.随堂练习P207驶向胜利的彼岸咋办?老师期望:你具有成功的把握.行家看“门道”例2如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体,求射线的入射角度.例题欣赏P195驶向胜利的彼岸解:如图,在Rt△ABC中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,?怎样解答∴∠B≈32044′13″.因此,射线的入射角度约为32044′13″.知识的运用随堂练习P206怎样做？驶向胜利的彼岸1.已知sinθ=0.82904,求∠θ的大小.老师期望:先将实际问题数学化,然后运用所学知识予以解答.2.一梯子斜靠在一面墙上,已知梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.真知在实践中诞生3.图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都以点O为一顶点.(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)已知∠An-1OAn,是一个小于200的角,求n的值.随堂练习P207驶向胜利的彼岸咋办?老师期望:你能独立获得成功.回味无穷由锐角的三角函数值反求锐角小结拓展填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)驶向胜利的彼岸∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=4.船有触礁的危险吗(1)三角函数的应用直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900.直角三角形的边角关系直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2.回顾与思考1驶向胜利的彼岸bABCa┌c互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.特殊角300,450,600角的三角函数值.直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.船有无触礁的危险如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.想一想P212驶向胜利的彼岸要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?ABCD北东真知在实践中诞生解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20海里.设AD=x,则随堂练习P213驶向胜利的彼岸数学化?答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.D┌ABCD北东550250古塔究竟有多高如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).想一想P214驶向胜利的彼岸要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?行家看“门道”这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:例题欣赏P225驶向胜利的彼岸?这样解答DABC┌50m300600答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,老师期望:这道题你能有更简单的解法.楼梯加长了多少某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).做一做P226现在你能完成这个任务吗?驶向胜利的彼岸请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?ABCD┌联想的功能随堂练习P227这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.ABCD┌4m350400答:调整后的楼梯会加长约0.48m.联想的功能随堂练习P228这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2)AD的长.ABCD┌4m350400答:楼梯多占约0.61m一段地面.钢缆长几何如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).随堂练习P229驶向胜利的彼岸怎么做?我先将它数学化!EBCD2m4005m真知在实践中诞生解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.随堂练习P2210驶向胜利的彼岸就这样?∴∠BDE≈51.12°.EBCD2m4005m答:钢缆ED的长度约为7.97m.大坝中的数学计算2如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).随堂练习P2211驶向胜利的彼岸咋办先构造直角三角形!ABCD解答问题需要有条有理解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;随堂练习P2212驶向胜利的彼岸有两个直角三角形先做辅助线!ABCD6m8m30m1350过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.E┐F┌∴∠ABC≈13°.答:坡角∠ABC约为13°.计算需要空间想象力解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).随堂练习P2213驶向胜利的彼岸再求体积!先算面积!答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.100mABCD6m8m30m1350E┐F┌回味无穷由锐角的三角函数值反求锐角小结拓展填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)驶向胜利的彼岸∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=P24习题1.61,2,3题独立作业1如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.驶向胜利的彼岸2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).3.如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mm).ABC┌ABCD知识的升华独立作业P20习题1.51,2,3题;祝你成功！驶向胜利的彼岸结束寄语悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考,去发现.下课了!