2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三五模数学（文）试题及答案

gmPAGE试卷第=2页，总=sectionpages44页高三试题2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三五模数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的子集个数为（）A．4B．8C．16D．32【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】B【分析】本题首先可根据交集的相关性质得出，然后根据集合中元素的个数与集合的子集个数之间的关系即可得出结果.【详解】因为，，所以，则中元素的个数为，的子集个数为，故选：B.2．已知，那么（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据诱导公式得，代入二倍角公式即可．【详解】因，所以．故选：D．3．已知双曲线：，则双曲线的一条渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，所以渐近线方程为，即，所以B选项符合.故选：B4．设，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由，由不一定能推出，但是由一定能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C5．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明.相传它是在商代由商高发现，故又人有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数､弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如勾为21，则弦为（）A．217B．219C．221D．223【答案】C【分析】根据“弦与股长相差为1”列方程，解方程求得弦.【详解】设弦为，则股为，.故选：C6．已知数列是等差数列，若，，则（）A．5B．4C．9D．7【答案】A【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据、求出，最后通过即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，则，，故，故选：A.7．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作出原几何体对应的直观图，可知该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，结合题中的数据以及台体、柱体的体积公式可求得的值.【详解】作出原几何体对应的直观图如下图所示：由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，则其体积为，由题设知，，，故选：B．【点睛】方法点睛：求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．在直角梯形中，，，，为边上中点，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出以及，然后根据为边上中点得出，最后将转化为，通过计算即可得出结果.【详解】因为，，所以，因为，所以，，因为为边上中点，所以，则，故选：D.9．下列说法正确的有（）①评委给跳水运动员打分，去掉一个最高分和一个最低分后，运动员得分的中位数不变；②在内任取一实数，则使的概率为；③若一组数据，，…，的方差为5，则另一组数据，，…，的方差为6；④把六进制数转换成十进制数为：.A．①②B．①④C．③④D．①③【答案】B【分析】对于①：根据中位数定义即可求解.对于②：根据求得的范围，从而求得概率；对于③：利用方差公式求解即可；对于④：利用进制转换计算即可.【详解】对于①：位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，中位数不变，①正确；对于②：在内任取一实数，则使，得，故概率为，②错误；对于③：根据方差公式，得，故③错误；对于④：把六进制数转换成十进制数为：，正确.故选：B.10．已知为等比数列，，则.若为等差数列，，则的类似结论为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】将乘法类比为加法，将等比中项类比为等差中项，由此可得出结论.【详解】已知为等比数列，，则.将乘法类比为加法，将等比中项类比为等差中项.对应地，在等差数列中，，则.故选：D.【点睛】方法点睛：在处理类比推理的问题中，常见的有平面与空间的类比，等差数列与等比数列的类比.在平面与空间中的类比中，常见的有：长度类比为平面图形的面积，平面图形的面积类比为空间几何体的体积.在等差数列与等比数列的类比中，加法类比为乘法，减法类比为除法，类比为，算术平均数类比为几何平均数.所以，在处理这些对象的类比中，需要抓住两者之间的相似性，同时也注意相应量之间的对应关系，将关系式中相应的量进行替换，可能有些时候相应的数值需要作出适当的改变.11．已知抛物线上一点到焦点F的距离，则（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】由抛物线的定义可知，与已知条件结合得，把点M的坐标代入抛物线方程即可得解.【详解】由抛物线的定义可知，∵，∴，即,∵点在抛物线上，解得：或（舍去）,故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线定义写出，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.12．设是定义在R上的偶函数，且时，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据已知条件判断函数周期性，结合函数性质画出函数图象，把方程根的问题转化为两个函数图象的交点问题，再利用数形结合的思想求得参数取值范围即可.【详解】∵是偶函数，∴，又，∴对于任意的，都有，所以，所以函数是一个周期函数，且，又因为当时，，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和的图象，如图所示，需，又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法：（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组）解出参数取值范围即可.二、填空题13．若复数满足，则___________.【答案】【分析】先求得，然后求得.【详解】，.故答案为：14．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的形状为_____________.【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理边角互化思想求得的值，可求得角的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，，则，，，.因此，为直角三角形.故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题.15．已知直线与圆：相交于，两点，则面积为___________.【答案】【分析】计算出，结合圆心到直线的距离求得三角形的面积.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以，所以.故答案为：16．对于正整数，设，如，对于正整数和，当，时，设，，则___________.【答案】【分析】利用错位相减法求出，进一步可求得的表达式，由此可求得的值.【详解】，令，则，上述两式作差得，所以，，故，所以，，因此，.故答案为：.三、解答题17．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简解析式，由此求得函数的最小正周期.（2）利用三角函数值域的求法，求得的值域.【详解】（1），所以的最小正周期为.（2），所以.18．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）利用等体积法求得到平面的距离.【详解】（1）∵平面，平面，∴，∵，，∴，，又平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）依题意平面，,，，，由（1）知，所以，设A到平面的距离为，则.19．2021年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房已突破50亿元，影片的感人情节引起同学们广泛热议.开学后，哈三中团委在高二年级中(其中男生200名，女生150名)，对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为组，各班女生观看人数统计记为组，得到如图的茎叶图.（1）根据茎叶图补全列联表；观看没观看合计男生200女生150合计350（2）判断是否有的把握认为观看该影片与性别有关？0.050.0250.0050.0013.8415.0247.87910.828，.【答案】（1）列联表答案见解析；（2）没有的把握认为观看该影片与性别有关.【分析】（1）根据已知条件填写列联表.（2）计算的值，由此作出判断.【详解】（1）依题意得观看没观看合计男生14060200女生12030150合计26090350（2），所以没有的把握认为观看该影片与性别有关.20．已知椭圆的短轴长与焦距均为4．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题可直接求出，即可得出方程；（2）联立直线与椭圆方程，可表示出坐标，代入圆的方程即可求出的值.【详解】解：（1）设焦距为，由已知得解得，，故椭圆的方程为．（2）设，，线段的中点为，由得，，∴，∴，，∵点在圆上，∴，∴，满足（），∴的值为．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）或.【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得的取值范围.【详解】（1），当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；当时，在单调递增.（2），，由（1）知当时，在处，有极大值，且，此时函数有一个零点；当时，在单调递增，且，此时函数有一个零点；当时，，单调递增，单调递减，在处，有极小值，在处，有极大值，则当，或时函数有一个零点，有或.综上：或.22．在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；（2）若点，分别是曲线和上的点，且，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得的极坐标方程，然后根据是的中点求得的极坐标方程.（2）设出的坐标，结合以及同角三角函数的基本关系式证得为定值.【详解】（1）由得，即，所以极坐标方程：，设，，则，的轨迹方程：.（2）设，，，，，.23．已知函数，.（1）解不等式；（2）若，且恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）最小值为2.【分析】（1）利用零点分段法求得不等式的解集.（2）先求得的最大值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.【详解】（1）,，，当时，不等式转化为，无解.当时，不等式转化为，故，当时，不等式转化为，恒成立，故.所以不等式的解集为.（2），当且仅当时成立，∴，，的最小值为2.