工程力学之扭转

§3–1概述§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3–3薄壁圆筒的扭转§3–4等直圆杆在扭转时的应力·强度分析§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件§3–6等直圆杆的扭转超静定问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 §3–7等直圆杆在扭转时的应变能§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形§3–9开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第三章扭转材料力学讲义（扭转）§3–1概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA材料力学讲义（扭转）扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA材料力学讲义（扭转）工程实例材料力学讲义（扭转）§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS材料力学讲义（扭转）3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩mmmTx材料力学讲义（扭转）4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT材料力学讲义（扭转）[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2m3m1m4解：①计算外力偶矩材料力学讲义（扭转）nABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）材料力学讲义（扭转）③绘制扭矩图BC段为危险截面。nABCDm2m3m1m4材料力学讲义（扭转）xT4.789.566.37––(KN.m)§3–3纯剪切薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。材料力学讲义（扭转）2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。材料力学讲义（扭转）acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.φ与的关系：微小矩形单元体如图所示：材料力学讲义（扭转）二、薄壁圆筒剪应力大小：A0：平均半径所作圆的面积。材料力学讲义（扭转）三、剪应力互等定理：上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz材料力学讲义（扭转）四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。材料力学讲义（扭转）T=mφ剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。材料力学讲义（扭转）式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。材料力学讲义（扭转）§3–4圆轴扭转时的应力等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：材料力学讲义（扭转）二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。材料力学讲义（扭转）2.物理关系：虎克定律：代入上式得：材料力学讲义（扭转）3.静力学关系：OdA令代入物理关系式得：材料力学讲义（扭转）—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。材料力学讲义（扭转）单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO材料力学讲义（扭转）对于空心圆截面：dDOd材料力学讲义（扭转）④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。材料力学讲义（扭转）⑤确定最大剪应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：材料力学讲义（扭转）三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：材料力学讲义（扭转）[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmx材料力学讲义（扭转）§3–5圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角φ为材料力学讲义（扭转）二、单位扭转角φ：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为许用单位扭转角。材料力学讲义（扭转）刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。材料力学讲义（扭转）[例3]长为L=2m的圆杆受均力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[φ]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径材料力学讲义（扭转）40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度材料力学讲义（扭转）40NmxT③右端面转角为：材料力学讲义（扭转）[例4]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[φ]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)材料力学讲义（扭转）––由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)材料力学讲义（扭转）––综上：②全轴选同一直径时材料力学讲义（扭转）③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。Tx4.21(kNm)2.814材料力学讲义（扭转）–§3–6等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。材料力学讲义（扭转）[例5]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：材料力学讲义（扭转）②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。材料力学讲义（扭转）§3–7等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能与能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：应变比能：材料力学讲义（扭转）二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT材料力学讲义（扭转）2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。材料力学讲义（扭转）3.位移的计算(能量法）外力功：变形能：材料力学讲义（扭转）[例6]圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：材料力学讲义（扭转）②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）材料力学讲义（扭转）§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。材料力学讲义（扭转）一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力:h³bht1Ttmax注意！b1.剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）材料力学讲义（扭转）2.最大剪应力及单位扭转角h³bht1Ttmax注意！b其中：其中：It—相当极惯性矩。材料力学讲义（扭转）注意！对于Wt和It，多数教材与手册上有如下定义：查表求和时一定要注意，表中和与那套公式对应。h³bht1Ttmax注意！b材料力学讲义（扭转）[例8]一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶T=4000N·m的作用，钢的G=80GPa，[]=100MPa，[]=1º/m，试校核此杆的强度和刚度。解：①查表求、②校核强度材料力学讲义（扭转）③校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。材料力学讲义（扭转）一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。§3–9开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力材料力学讲义（扭转）三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。材料力学讲义（扭转）四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取单元体如图（d）。图（c）dxd2d1t1t2图（d）材料力学讲义（扭转）材料力学讲义（扭转）[例8]下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶T=5000N·m，试求此杆的最大剪应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：bat材料力学讲义（扭转）材料力学讲义（扭转）