（新课程）2020高中数学 第3章章末综合检测 苏教版必修4

PAGE（新课程）2020 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学第3章章末综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上)1.eq\f(tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝__________.解析：原式＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝eq\f(1,2)taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)2．已知sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)，那么sinθ＝__________，cos2θ＝__________.解析：将sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)两边平方可求出sinθ，再用余弦二倍角公式求得cos2θ.答案：eq\f(1,3)　eq\f(7,9)3．若sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(4,5)，则cos2β＝________.解析：由已知得：sin[(α－β)－α]＝eq\f(4,5)，所以sinβ＝－eq\f(4,5)，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝－eq\f(7,25).答案：－eq\f(7,25)4．设α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))等于__________．解析：∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα＝eq\f(4,5)，∴eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα)＝cosα－sinα＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)5．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为__________．解析：原式＝sin(180°－17°)·sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)·sin(270°＋43°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．已知sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(3,5)，则sin2x的值为__________．解析：sin2x＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝cos2(eq\f(π,4)－x)＝1－2sin2(eq\f(π,4)－x)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．解析：由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanA＋tanB＝\f(5,3)，,tanAtanB＝\f(1,3)，))∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(5,3),1－\f(1,3))＝eq\f(5,2).在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq\f(5,2)＜0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．答案：钝角8．化简2eq\r(1＋sin4)＋eq\r(2＋2cos4)的结果是__________．答案：2sin29．在△ABC中，若sin2B＝sinAsinC，则cos2B＋cosB＋cos(A－C)的值为__________．解析：cos2B＋cosB＋cos(A－C)＝cos2B－cos(A＋C)＋cos(A－C)＝1－2sin2B＋2sinAsinC＝1.答案：110．当0＜x＜eq\f(π,4)时，函数f(x)＝eq\f(cos2x,cosxsinx－sin2x)的最小值是__________．解析：f(x)＝eq\f(1,－tan2x＋tanx)＝eq\f(1,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx－\f(1,2)))2＋\f(1,4))，当tanx＝eq\f(1,2)时，f(x)有最小值为4.答案：411．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2020，则eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝__________.解析：∵eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2020，∴eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)＋eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(1＋tanα2,1－tan2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2020.答案：202012．化简eq\f(sin4x,1＋cos4x)·eq\f(cos2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)＝__________.解析：原式＝eq\f(2sin2xcos2x,2cos22x)·eq\f(cos2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)＝eq\f(sin2x,1＋cos2x)·eq\f(cosx,1＋cosx)＝eq\f(2sinxcosx,2cos2x)·eq\f(cosx,1＋cos)＝eq\f(sinx,1＋cosx)＝taneq\f(x,2).答案：taneq\f(x,2)13.eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2)＝__________.解析：原式＝eq\f(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin12°－\r(3)cos12°,cos12°))),sin12°×22cos212°－1)＝eq\f(\r(3)sin12°－\r(3)cos12°,2sin12°cos12°cos24°)＝eq\f(2\r(3)sin12°cos60°－cos12°sin60°,sin24°cos24°)＝eq\f(2×2\r(3)sin12°－60°,2sin24°cos24°)＝eq\f(－4\r(3)sin48°,sin48°)＝－4eq\r(3).答案：－4eq\r(3)14．在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(B,2)))＋cos2B.当f(B)－m＜2恒成立时，实数m的取值范围是__________．解析：原式＝4sinB·eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B)),2)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m＜2恒成立，∴2sinB＋1－m＜2恒成立，即m＞2sinB－1恒成立．∵0＜B＜π，∴0＜sinB≤1.∴－1＜2sinB－1≤1，故m＞1.答案：m≥1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos2θ＝eq\f(7,8)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－sin2θ的值．解：∵cos2θ＝eq\f(7,8)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosθ＜0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(7,8)，∴cos2θ＝eq\f(15,16)，∴cosθ＝－eq\f(\r(15),4)，sinθ＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－sin2θ＝sinθ·coseq\f(π,6)＋cosθsineq\f(π,6)－2sinθcosθ＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(3),8)－eq\f(\r(15),8)＋eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(3),8).16．(本小题满分14分)已知tan(eq\f(π,4)＋θ)＋tan(eq\f(π,4)－θ)＝4，且－π＜θ＜－eq\f(π,2)，求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．解：由tan(eq\f(π,4)＋θ)＋tan(eq\f(π,4)－θ)＝4，得：eq\f(sin\f(π,4)＋θ,cos\f(π,4)＋θ)＋eq\f(sin\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)－θ)＝eq\f(sin\f(π,4)＋θ＋\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)＋θcos\f(π,4)－θ)＝eq\f(1,cos\f(π,4)·cosθ2－sin\f(π,4)sinθ2)＝eq\f(2,cos2θ－sin2θ)＝4.则cos2θ＝eq\f(3,4).∵－π＜θ＜－eq\f(π,2)，∴cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，sinθ＝－eq\f(1,2)，∴sin2θ－2sinθ·cosθ－cos2θ＝eq\f(1,4)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)－eq\f(3,4)＝－eq\f(1＋\r(3),2).17．(本小题满分14分)在△ABC中，已知tanB＝eq\f(cosC－B,sinA＋sinC－B)，试判断△ABC的形状．解：在△ABC中，A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，因为tanB＝eq\f(cosC－B,sinA＋sinC－B)，所以eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(cosC－B,sinB＋C＋sinC－B)＝eq\f(cosBcosC＋sinBsinC,2cosBsinC)，所以sinB＝eq\f(cosBcosC＋sinBsinC,2sinC)，整理得cos(B＋C)＝0.因为0＜B＋C＜π，所以B＋C＝eq\f(π,2).即△ABC为直角三角形．18．(本小题满分16分)求证：eq\f(2－2sinα＋\f(3π,4)cosα＋\f(π,4),cos4α－sin4α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα).证明：左边＝eq\f(2－2sinα＋\f(π,4)＋\f(π,2)cosα＋\f(π,4),cos2α＋sin2αcos2α－sin2α)＝eq\f(2－2cos2α＋\f(π,4),cos2α－sin2α)＝eq\f(1－cos2α＋\f(π,2),cos2α－sin2α)＝eq\f(1＋sin2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,cosα＋sinαcosα－sinα)＝eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝右边．19．(本小题满分16分)已知cos(α－eq\f(β,2))＝－eq\f(2\r(7),7)，sin(eq\f(α,2)－β)＝eq\f(1,2)且α∈(eq\f(π,2)，π)，β∈(0，eq\f(π,2))．求：(1)coseq\f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．解：(1)∵eq\f(π,2)＜α＜π，0＜β＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，∴sin(α－eq\f(β,2))＝eq\r(1－cos2α－\f(β,2))＝eq\f(\r(21),7)，cos(eq\f(α,2)－β)＝eq\r(1－sin2\f(α,2)－β)＝eq\f(\r(3),2).∴coseq\f(α＋β,2)＝cos[(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)]＝cos(α－eq\f(β,2))·cos(eq\f(α,2)－β)＋sin(α－eq\f(β,2))·sin(eq\f(α,2)－β)＝(－eq\f(2\r(7),7))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(21),14).(2)∵eq\f(π,4)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(3,4)π，∴sineq\f(α＋β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(7),14)，∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝－eq\f(5\r(3),3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(5\r(3),11).20．(本小题满分16分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，若eq\f(1＋sin2B,cos2B－sin2B)＝2＋eq\r(3)，求角B.解：因为eq\f(1＋sin2B,cos2B－sin2B)＝2＋eq\r(3)，所以eq\f(sin2B＋cos2B＋2sinBcosB,cos2B－sin2B)＝2＋eq\r(3)，所以eq\f(sinB＋cosB2,cosB＋sinBcosB－sinB)＝2＋eq\r(3).所以eq\f(sinB＋cosB,cosB－sinB)＝2＋eq\r(3)，所以eq\f(tanB＋1,1－tanB)＝2＋eq\r(3)，解得tanB＝eq\f(\r(3),3)，∵A，B，C是△ABC的三个内角，∴B＝eq\f(π,6).