函数对称性知识点讲解典型习题分析

函数对称性MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713881069264_0讲解及典型习题解析函数对称性知识点讲解及典型习题解析函数对称性知识点讲解及典型习题解析函数的对称性知识点讲解及典型习题解析新课标 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学教材上就函数的性质侧重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测试甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的观察。特别是对称性，由于教材上对它有零散的介绍，比方二次函数的对称轴，反比率函数的对称性，三角函数的对称性，因此观察的频率向来比较高。对称性的看法及常有函数的对称性1、对称性的看法：①函数轴对称：假如一个函数的图像沿一条直线对折，直线双侧的图像可以完好重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：假如一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完好重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。常有函数的对称性（全部函数自变量可取有意义的全部值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，此中直线上的全部点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。②一次函数：既是轴对称又是中心对称，此中直线上的全部点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为abx2。④反比率函数：既是轴对称又是中心对称，此中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。⑦幂函数：明显幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其余的幂函数不具备对称性。⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，此中（kπ，0）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标自然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是假如图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，此中x=kπ是它的对称轴，)0,2(k是它的对称中心。（11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，此中)0,2(k是它的对称中心，简单犯错误的选项是可能有的同学会误认为对称中心不过（kπ,0）。对号函数：对号函数y=x+a/x(此中a>0)由于是奇函数因此是中心对称，原点是它的对称中心。但简单犯错误的选项是同学们可能误认为最值处是它的对称轴。三次函数：明显三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其余的三次函数能否具备对称性得因题而异。绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者明显是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，能否依旧具备对称性，这也没有必定的结论，比方y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却依旧是轴对称。二、函数的对称性猜想：详尽函数特别的对称性猜想①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，由于一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x轴对称的。例1、判断曲线xy42②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3④函数关于y=x对称例4、判断函数xy1⑤函数关于y=-x对称例5、判断函数xy4总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，假如（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；假如（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；假如（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；假如（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；假如（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜想①轴对称例6、假如函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的全部对称轴。（任意取值代入比方x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称）例7、假如函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的全部对称轴。（按上例相同的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特别的轴对称）例8、假如f(x)为偶函数，而且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的全部对称轴。（由于f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又由于它以2为周期，因此x=k是它全部的对称轴，k∈Z）②中心对称例9、假如函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（由于自变量加起来为7时函数值的和一直为6，因此中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）例10、假如函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的全部对称中心。（按上例相同的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特别的中心对称）例11、假如f(x)为奇函数，而且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的全部对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，因此x=-1+2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，此中k∈Z）总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时就是对称性,此中的对称轴为多少可以用特别值代入来猜想,这里其实不主张记结论，由于很简单与后边的结论相混淆。②而当x前面的符号相同时就是周期性。比方f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。③当x前面的符号相同，同时告诉奇偶性时也可以推出对称性，由于奇偶性有制造负号的能力。3、两个抽象函数之间的对称性猜想例12、求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。（当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x一定取-1才也对应那么多，他们的正中间为-1.5，因此猜想对称轴为x=-1.5）总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，此中的对称为多少依旧可以用特别值代入来猜测,依旧不主张记结论，由于很简单与前面的结论相混淆。②而当x前面的符号相同时告诉的是图像平移。比方y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位获取。三、对称性的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 假如在解答大题时不过猜想出结论是不够的，我们要辅以完好的证明才行。1、一个函数的对称性证明例13、证明若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数关于直线2bax证明：在y=f(x)上任取点（m，n），则n=f(m)，而点（m，n）关于2bax对称点为（a+b-m，n）,又由于f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,这正表示（a+b-m，n）也在原函数图像上，从而原函数关于直线2bax对称。总结为：核心是相关点法，即在函数上任取一点，对称点假如仍在函数图像上，就可以下结论该函数关于它对称。2、两个函数之间的对称性的证明例13、证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线2abx对称。（注意不是2bax,证明的方法近似于上例方法）总结为：还是相关点法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点假如在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，才可以下结论该函数关于它对称。取两次的原由是省得两个图像一个不过另一个对称过来图像的一部分。3、特别地关于y=x对称性的证明例15、证明2312xxy关于y=x对称。（只需求出它的反函数是自己即可）总结为：①一个函数自己关于y=x对称不需要用上边的相关点法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。②两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上边那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个就可以了。③反过来这句话也成立，假如需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。四、对称性的运用1、求值例16、已知144)(xxxf,f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)值的和能否为定值，考据果真。而这里明显隐含的是函数的对称性）总结为：“配对”，对称性主若是观察一对函数值之间的关系。的值。（只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数2、“对称性+对称性”可以推导出周期性例17、假如函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的最小正周期。（由于f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)因此周期为4）总结为：两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性这在前面已经提到，还是由于奇偶性有制造负号的能力。4、三角函数的奇偶性例18、假如函数)42sin(3xy（此中0<θ<π）是奇函数，求θ的值。(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，因此θ+π/4=kπ，在要求的范围上只有θ=3π/4)总结为：几乎全部的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出全部的对称轴，而后y轴是此中的一条（也许先求出全部的对称中心，而后原点是此中的一个）。5、关于y=x对称的应用例19、求函数1)(xexf与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。（由于f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位获取，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位获取，因此对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1）6、对称性的本意例20、假如y=asinx+bcosx关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。（既然关于x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)代入求出a和b的关系即可）总结为：对称性的本意就是关于对称中心（或对称轴）对称的两个自变量的函数值的密切关系。