2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次质量检测数学（理）试题及答案

gmPAGE试卷第=2页，总=sectionpages44页高三试题2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据解一元二次不等式的方法、解分式不等式的方法，结合集合补集和交集的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以又，所以，故选：C2．在欧拉公式(其中是自然对数的底，是虚数单位)中令得到，这个等式把数学中最重要的0，1，，，联系在一起，被誉为世界上最优美的公式若复数满足，则()A．B．1C．D．【答案】B【分析】求出，用方程的思想求出z，进而得解.【详解】由欧拉公式得：，，.故选：B3．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据双曲线离心率可求出关系，即可得出渐近线方程.【详解】因为，所以渐近线方程为.故选：A4．下列命题中，真命题是（）A．，，使得B．(，)C．函数有两个零点D．，是的充分不必要条件【答案】D【分析】对于ABD三个选项可以通过赋值法来判断，对于C，可以通过把函数零点问题转化为函数图像交点问题，由数形结合易知零点个数.【详解】时，没有正整数的平方小于0，A错误；当时，，B错误；把方程转化为函数与的交点问题，如图所示有三个零点，除，4外，还有一个小于0的交点，C错误，当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确.故选：D.5．1742.年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“”.1966年我国数字派陈景润证明了“”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过20的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过20的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】解：共有不超过20的所有质数行2，3，5，7，11，13，17，19共8个，从中选取2个不同的数有种，和超过20的共有(2，19)，(3，19)，(5，17)，(5，19)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)12种，所以两数之和不超过20的概率是·故选：B.【点睛】方法点睛：解决古典概率的问题，运用列举法列出所有事件，再运用古典概型公式解决问题是常用的方法.6．已知的三边，，构成等差数列，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据的三边，，构成等差数列，设三边为，，，再结合最大内角是最小内角的2倍，利用正弦定理化简得到，再利用余弦定理得到，建立方程求解.【详解】设三边为，，，最小角为A，所以，化简得，由余弦定理，解得，所以三边为，，，所以.故选：B7．函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性可排除CD，然后根据，，可知结果.【详解】由题可知函数定义域为，则，又所以是奇函数，且时，，故选项A正确.故选：A8．二项式的展开式中的系数是A．84B．-84C．126D．-126【答案】B【详解】试题分析：：由于二项式的通项公式为令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3•故答案为-84．【解析】二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数9．已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题设，两边平方可得，明确向量间的夹角，即可得到结果.【详解】由题设，两边平方可得，所以，，构成直角三角形.，夹角，，夹角，.故选：A10．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体内切球的表面积（单位：）是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由三视图还原原几何体如图，计算出几何体的体积，利用等积法得到内切球的半径，从而得到内切球的表面积.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面.则，又，所以面，.∴该几何体的表面积.体积.设内切球半径为，则，，因此表面积等于，故选：B.【点睛】方法点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11．在平面直角坐标系中，第一象限内点在直线：上，，以为直径的圆与直线交于另一个点，若，则点的横坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得为直角三角形，且，从而可求出的长，进而可求出的长，从而可求得点的横坐标【详解】解：由题意得，直线倾斜角为，因为以为直径的圆与直线交于另一个点，所以，所以，，因为，所以.得，所以点横坐标.故选：D12．已知函数满足，则下列结论正确的个数是（）①若是上的增函数，则也是上的增函数；②若，则存在极值；③对任意实数，直线：与曲线有唯一的公共点.A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】利用可构造方程求得，由此得到；由的对称性可知在和上符号相同，知①正确；由为开口方向向上的二次函数，结合和的大小关系知不单调，知②正确；由对称中心为，结合知与对称中心处的切线平行，知③正确.【详解】，，解得：，，则，对于①，图象关于对称，在和上符号相同，在和上有相同的单调性，①正确；对于②，，为开口方向向上的二次函数，在上一定变号，在上不单调，一定存在极值，②正确；对于③，，是的对称中心，又，直线：与对称中心处的切线平行，与曲线有唯一的公共点，③正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，解题关键是能够熟练应用导函数与原函数之间的关系，同时能够灵活应用对称性对函数性质进行分析.二、填空题13．在“成都大运会”知识问答竞赛中，“四川”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为____________.【答案】【分析】去掉93和79后，代入方差公式求方差即可.【详解】最高93，最低79，其余5个数平均值85.方差.14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】【分析】画出可行域，令，结合图形求解的最大值，代入计算即可得到的最小值.【详解】画出不等式组表示的区域如图，令，结合图形可知，直线经过点时，，由指数函数性质可知，此时取最小值，.故答案为：.15．已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则___________.【答案】【分析】设，，直线方程，然后由直线方程与抛物线方程联立，消去，利用根与系数关系，表示出，从而可表示出，进而可表示，列方程可求出斜率的值【详解】解：抛物线标准形式，焦点坐标，设，，直线方程，代入抛物线方程得，所以，，，，所以，代入得.故答案为：16．已知正数，满足，则的最大值是______.【答案】【分析】设，则，同时根据均为正数确定的取值范围，利用基本不等式可求得，解不等式可求得结果.【详解】设，则，均为正数，，解得：；则（当且仅当，即时取等号），又，当，时，取得最小值；，即，解得：，满足，的最大值为.故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式的应用，解题关键是能够利用换元法配凑出符合基本不等式的形式，从而构造出关于的不等式.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，，，数列的项和为.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2021项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意建立方程组求解即可得，由数列的项和利用递推关系求通项即可；（2）分为奇数、偶数求解，即可求出数列的前2021项和.【详解】（1）设的公差为，由，得.解得，，所以.时，，，也符合上式，所以.（2），注意取偶数时，，所以【点睛】关键点睛：当为偶数时，，当为奇数时，，利用等比数列求和即可，属于中档题.18．微信语音正成为手机一族重要的联系方式，为了解某市微信语音的使用情况，某公司随机抽查了100名微信语音用户，得到如下数据：每天使用微信语音次数123456及以上30岁及以下人数334783030岁以上人数4564620合计7810111450（1）如果认为每天使用超过3次微信语音的用户是“喜欢使用微信语音”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用微信语音”与年龄有关？不喜欢使用微信语音喜欢使用微信语音合计30岁及以下人数30岁以上人数合计①抽取的3名用户，既有30岁及以下的“微信语音达人”又有30岁以上“微信语音达人”的概率；②为鼓励30岁以上用户使用微信语音，对抽取的30岁以上“微信语音达人”，每人奖励100元话费，记奖励总金额为，求的数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，见解析；（2）①；②120.【分析】（1）先补充完整列联表，再由参考公式计算的观测值，并与附表对照，即可得出结论；（2）①该市“微信语音达人”有50人，30岁及以下的有30人，30岁以上的20人，再由组合数和古典概型，得解；②记抽出的30岁以上“微信语音达人”的人数为，根据二项分布知识可得结果．【详解】（1）由题中表格数据可得列联表如下：不喜欢使用微信语音喜欢使用微信语音合计30岁及以下人数10455530岁以上人数153045合计2575100将列表中的数据代入公式计算得：的观测值，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用微信语音”与年龄有关.①抽收的3名用户中，既有30岁及以下“微信语音达人”又有30岁以上“微信语音达人”的概率为.②记抽出的30岁以上“微信语音达人”的人数为，则.由题意得，∴，所以的数学期望.【点睛】方法点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19．如图在直三棱柱中，，，、分别是，的中点，点是的重心，过点作交于点，.（1）证明：平面；（2）如果锐二面角的大小是，求的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证平面，转证即可，；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（1）由已知平面，平面，所以.又，是的中点，得，又，故.因为，是平面内的2条相交直线，所以平面.（2）显然重心在中线上，且，又，所以，.由直棱柱性质和题设，，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，.设是平面的法向量，则，，取，，得.设是平面的法向量，则，取，，得因为锐二面角的大小是，所以，解得，所以.【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知过点，且与：内切，设的圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若轴上有两点，()，点在曲线上(不在轴上)，直线，的斜率分别为，，直线，分别与直线交于，两点.若是定值，求的值，并求出此时的最小值.【答案】（1）；（2），取最小值为.【分析】（1）设的半径为，根据过点，且与相切，得到，进而得到，再利用椭圆的定义求解；（2）设，结合，计算，由取定值时的t,写出，方程，分别与联立求得求解.【详解】（1）设的半径为，因为过点，且与相切，所以，即.因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.设椭圆的方程为()，则，且，所以，.所以曲线的方程为.（2）设，则，，，于是，显然，只有即时，取定值，此时方程为，方程为.联立及，得，，由知､异号.所以.当且仅当时，取最小值为.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有2个极值点，，证明.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）明确函数的定义域，求出导函数，对参数分类讨论，结合导函数与单调性的关系得到结果；（2）利用极值点满足的方程组，化简要证的不等式，转化为一元函数恒成立问题.【详解】（1）的定义域是，求导得.记，①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增；②当时，，（负根舍去），当时，单调递减，当时，单调递增；③当时，令得，则在恒成立，于是在恒成立，在定义域上单调递减.若，则，令，，有2个不相等正根，在上单调递减，在单调递增，在单调递减.综上，当时，函数增区间为，减区间为；当时，函数增区间为，减区间为；当时，函减区间为，无增区间；当时，函数增区间为，减区间为，；（2）由（1）知若有2个极值点时，有2个不相等正根，则，此时，，且满是，，，.所以，设，求导得，在上单调递增，所以.综上所述有2个极值点时，成立.【点睛】关键点点睛：证明不等式的关键是如何把多元问题一元化，利用极值点满足的二次方程是转化的关键.22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)（1）求曲线的参数方程和直线的普通方程；（2）设点是曲线上的动点，点，在直线上，且，求面积的最大值.【答案】（1）的参数方程为(为参数)，直线的普通方程；（2）最大值为.【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式直接化简，再利用直线的参数方程的参数可求出直线的普通方程；（2）设点，求出点到直线的距离，求出距离的最大值，从而可求出面积的最大值。【详解】解析：（1）因为，，所以的直角坐标方程是，即，因此参数方程为(为参数)，直线的普通方程.（2）设点，到直线的距离所以面积的最大值等于.23．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：对，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由于，然后分，和三种情况求出实数的取值范围；（2）不等式等价于，由于，，进而可得结论【详解】（1），当时，即，当时，即无解，当时，即.综上，实数的取值范围是.（2）不等式等价于，因为，，所以原不等式成立.