PAGE甘肃兰州一中2020学年度高二（下）期中考试数学试题第Ⅰ卷注意：考试时间100分钟，满分100分，选择
答案
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填入答题卡内，交卷时只交第Ⅱ卷。一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分）1、集合其中，且，把满足上述条件的一对有序整数对作为点，这样的点的个数是（）A、9B、14C、15D、212、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量的概率是（）A、B、C、D、3、若，且，则…（）A、B、C、D、4、已知矩形的一边在平面内，与平面所成角为，若，，则到平面的距离为（）A、B、C、D、5、设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”，命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么甲是乙的（）A、充分必要条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、既非充分又非必要条件6、将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的
方案
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种数是（）A、360B、300C、180D、1507、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A、B、C、600D、8、在半径为3的球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离为（）A、B、C、D、9、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙、…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则射击停止时，甲射击了两次的概率是（）A、B、C、D、10、（理）如图，棋盘式街道中，某人从A地出发到达B地，若限制行进方向只能向右或向上，那么不经过E地的概率为（）A、B、C、D、10、（文）教师想从52名学生中抽取10名
分析
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期中考试情况，一孩子在旁边随手拿了两支签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生，则其中的“学生甲”被教师抽到的概率为（）A、B、C、D、第II卷二、填空题（本大题包括5小题，每小题4分，共20分）11、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有192个.12、某公司有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率均为，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，那么作出正确的决策的概率.13、甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，其中每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数336（用数字作答）。14、（理）在棱长为2的正方体中，、分别为棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为.14、（文）若一个正六棱柱的体积为，底面周长为3，则它的外接球的体积为.15、（理）有3张都标着字母R，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于500（用数字作答）.15、（文）在5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片中，任取其中3张卡片，和3张都标着字母R的卡片一同组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于1200（用数字作答）.三、解答题（本大题包括5小题，共40分）16、（本小题8分）
书
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架上有10本不同的书，其中语文书4本，数学书3本，英语书3本，现从中取出3本书.求：(1)3本书中至少有1本是数学书的概率;(2)3本书不全是同科目书的概率.解：（1）3本书中至少有1本是数学书的概率为(4分)或解(4分)（2）事件“3本书不全是同科目书”的对立事件是事件“3本书是同科目书”，而事件“3本书是同科目书”的概率为（7分∴3本书不全是同科目书的概率（8分）17、（理）（本小题8分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，以的中点为球心、为直径的球面交于点.(1)求证:平面平面；（2）求点到平面的距离.证明：（1）由题意，在以为直径的球面上，则平面，则又，平面，∴，平面，∴平面平面.（3分）（2）∵是的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，由（1）知，平面于，则线段的长就是点到平面的距离.（5分）∵在中，∴为的中点，（7分）则点到平面的距离为（8分）（其它
方法
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可参照上述评分标准给分）17、（文）（本小题8分）如图，在四棱锥中，平面，，，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离.证明：（1）平面，又平面（4分）（2）设点到平面的距离为，，，求得即点到平面的距离为（8分）（其它方法可参照上述评分标准给分）18、（本小题8分）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.解：(1)令，则二项式各项系数的和为又展开式中各项的二项式系数的和为，∴,∴（舍）或，解得（2分）∵是奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是：（5分）（2）展开式的通项为设项的系数最大，则有即∴∴展开式中系数最大的项为(8分)19、（本小题8分）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱，是延长线上一点，且（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小.证明：（1），又，∴四边形是平行四边形，∴又平面，平面，∴直线平面（3分）（2）过作于，连结，∵平面是二面角的平面角。（5分）∵是的中点，在中，∴即二面角的大小为（8分）（其它方法参照上述评分标准给分）20、（理）（本题8分）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.（1）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；（2）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；（3）求甲取得比赛胜利的概率.解：（1）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：（2分）（2）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：（4分）（3）甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙、甲胜丙，则概率为；若甲胜乙、甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为；若甲负乙、乙负丙，则甲胜丙，甲胜乙，概率为；∴甲获胜的概率为（8分）20、（文）（本小题8分）甲、乙两人做定点投篮，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次甲投篮，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为、，且甲、乙投篮是否命中互不影响.（1）求第三次由乙投篮的概率；（2）求前4次投篮中各投两次的概率.解：（1）第3次由乙投篮分两种情况：甲第一次命中，第二次不中的概率为；甲第一次不中，第二次乙中的概率为；第三次由乙投篮的概率为（4分）（2）前4次各投两次有以下三种情况：第一次甲不中、第二次乙不中、第三次甲不中、第四次乙投；第一次甲不中、第二次乙中、第三次乙不中、第四次甲投；第一次甲中、第二次甲不中、第三次乙中、第四次乙投所以所求概率（8分）
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