高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 例析空间直角坐标系下的距离问题素材 北师大版选修2-1（通用）PAGE例析空间直角坐标系下的距离问题PABCXYZH空间直角坐标系是计算空间几何体数量关系的一个有效工具，特别是在计算空间两点距离上有着重要的应用。主要的应用有“根据空间几何体求空间距离”和“根据空间距离求轨迹”这两类，下面举例分析：一、根据空间几何体求空间距离例1如图，在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=，求点P到平面ABC的距离。分析：此题涉及到点到面的距离问题，根据已有知识，结合PA，PB，PC两两垂直，本题可通过建立空间直角坐标系求解。解：如图，建立空间直角坐标系，，则...
PAGE例析空间直角坐标系下的距离问题PABCXYZH空间直角坐标系是计算空间几何体数量关系的一个有效工具，特别是在计算空间两点距离上有着重要的应用。主要的应用有“根据空间几何体求空间距离”和“根据空间距离求轨迹”这两类，下面举例分析：一、根据空间几何体求空间距离例1如图，在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=，求点P到平面ABC的距离。分析：此题涉及到点到面的距离问题，根据已有知识，结合PA，PB，PC两两垂直，本题可通过建立空间直角坐标系求解。解：如图，建立空间直角坐标系，，则过P作交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。，为正三角形，可得H点的坐标为，，即点P到平面ABC的距离。点评：此题借助于特殊的正四面体这一载体，因三边两两垂直，建立空间直角坐标系，依据空间直角坐标系这一工具，便可求解距离问题。空间直角坐标在求较为复杂的坐标问题时常用此法。二、根据空间距离求轨迹。xyzOA例2点P在坐标平面内，A点的坐标为，问满足条件的点P的轨迹是什么？分析：此题是一个与空间两点距离有关的轨迹问题，也需通过建空间直角坐标系求解。P解：设点P的坐标为，点P在平面内，，又，，即，因为点P在以A为球心，半径为5的球面上，点P的轨迹是坐标平面与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面内的圆，且此圆的圆心即为A点在平面上的射影，因点A到坐标平面的距离为4，球面半径5，所以在坐标平面内的圆的半径为3，因此点P轨迹是圆。点评：此题是一个已知距离求轨迹问题，属于较难题，难点在于要根据空间图形研究出载面图形圆的半径。这题易错点是所求的圆的半径仍为5，即轨迹是。这在解题时需注意。空间直角坐标在解决立体几何的数量关系时起到举足轻重的作用，借助于空间直角坐标系可以求空间两点之间的距离，运用距离又可求有关轨迹问题。因而有关空间直角坐标系的问题需要引起足够的重视。
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