PAGE黑龙江省大庆第一中学2020学年高一数学下学期第二次阶段考试
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文（含解析）一、选择题（共12小题；共60分）1.( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】＝2－i.故选D.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．2.在极坐标系中，曲线是（）A.过极点的直线B.半径为2的圆C.关于极点对称图形D.关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：,表示圆心为半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标3.设，则（）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数【答案】B【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．考点：函数的奇偶性和单调性．4.已知点P的极坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用点P的直角坐标是，过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程，得到答案．详解：点P的直角坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程为，即，故选：C．点睛：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，是解题的关键．5.可以将椭圆变为圆的伸缩变换是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圆x2+y2＝4化为，设伸缩变换为，代入椭圆方程，对应项系数相等，求出即可得到该伸缩变换。【详解】解：圆x2+y2＝4化为，令代入圆方程可得，即，由，故，，所以．故选：D．【点睛】本题考查了椭圆化为圆的伸缩变换MATCH_
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_1714104247779_1，考查了计算能力，属于基础题．6.在极坐标系中，直线与圆的位置关系为（）A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离【答案】B【解析】【分析】首先把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步可利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】解：直线l：，转换为直角坐标方程为：．圆C：ρ＝2cosθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x，整理得：（x﹣1）2+y2＝1，所以圆心（1，0）到直线的距离d＝＝r，所以直线与圆相交。又由于直线不经过点（1,0）故：直线与圆相交但不过圆心．故选：B．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化．点到直线的距离公式的应用，以及直线与圆的位置关系．7.已知函数，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】f(x)的定义域是(0,+∞)，，故f(x)在(0,+∞)递减，而，∴，即c
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方程为：（a＞b＞0），由抛物线E：y2＝16x，可得焦点F（4，0），可得a=4．又2×＝2，a2＝b2+c2，联立解出即可．【详解】解：由题意可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由抛物线E：y2＝16x，可得抛物线的焦点F（4，0），则a＝4．又2×＝2，，∴e＝．故选：D．【点睛】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数，若对任意，存在，使，则实数b的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：函数，若为増函数，若或为减函数，在上有极值，在处取极小值也是最小值，对称轴当时，在处取最小值，当时，在处取最小值，当时，在上是减函数，因为对任意存在,使所以只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，解得故无解；当时,无解；当时，解得综上考点：1、利用导数求最值；2、二次函数在闭区间上的最值．【方法点睛】本题主要考查利用导数求最值及二次函数在闭区间上的最值，属于难题．二次函数在区间上的最小值的讨论方法：①当时，②当时，③时，．本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的．二、填空题（共4小题；共20分）13.函数的单调减区间为．【答案】【解析】试题分析：因为函数的定义域为，且，由，所以函数的单调递减区间为.考点：函数单调性与导数.14.在极坐标系中，点到直线的距离是________________．【答案】1【解析】【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【详解】解：在极坐标系中，点（2，）化直角坐标为（，1），直线ρsin（θ﹣）＝1化为直角坐标方程为x﹣y+2＝0，（，1）到x﹣y+2＝0的距离d＝，所以，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）＝1的距离为：1。故答案为：1.【点睛】本题考查直角坐标和极坐标的互化，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想．15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】函数单调递增，等价为f′（x）≥0在恒成立，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．【详解】解：因为函数f（x）＝x3﹣ax2+2x+3在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥0在恒成立，f′（x）＝x2﹣2ax+2，二次函数开口向上，只需判别式△＝4a2﹣4×2≤0，即a2≤2，﹣≤a≤，故实数a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数单调递增转化为f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．16.已知定义域为R的函数满足，且的导数，则不等式的解集为．【答案】【解析】试题分析：令，则，即，，因为，所以，所以为上的减函数，的解集是，的解集为考点：导数的应用，函数单调性的应用三、解答题（共6小题；共70分）17.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，分别为与轴，轴的交点．（1）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；（2）设的中点为，求直线的极坐标方程．【答案】（1）；，.（2）.【解析】试题分析：（1）原极坐标方程可化为，再利用，即可得直角坐标方程，令即可求得的极坐标；（2）先求出圆心与半径。即可求得圆的参数方程.试题解析：（1）由得，从而的直角坐标方程为，时，，所以，时，，所以；（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，所以点的直角坐标为，且，所以所求圆的参数方程为（为参数）．18.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）求在上的单调区间；（3）求在上的最大值．【答案】（1）a=2,b=-4；（2）的增区间为；减区间为；（3）13．【解析】【分析】（1）先对f(x)求导，把x=1代入导数式即可解出曲线在处的斜率k;把x=1代入原函数即可解出切点纵坐标，建立一个关于a和b的二元一次方程组，解方程可得a，b的值；（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（3）分别求出f（x）在区间[﹣3，1]上的极值和区间端点处的函数值，比较大小找出最大的值，即为函数在该闭区间上的最大值。【详解】（1）函数的导数为，曲线在点处的切线斜率为，切点为，由切线方程为，可得，，解得． （2）函数的导数，由，可得或；由，可得．则f(x)的增区间为，；减区间为．（3）由(2)可得f(x)的两极值点-2,，，，又，．故y=f(x)在上的最大值为13．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查方程思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器．（1）若这个容器的底面边长为，容积为，写出关于的函数关系式并注明定义域；（2）求这个容器容积的最大值．【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）根据已知中箱子的制作方法，由正三棱柱的底面边长为x,可得正三棱柱的高以及底面积，由，可求出容积V（x）的解析式；（2）先求容积的导函数，分析单调性，可得到函数在上的极大值点，代入解析式可得最大值．【详解】（1）由正三棱柱的底面边长为x，可得正三棱柱的高为．所以容积，即．（2）由，可得，则．令，得；令，得．所以函数在(0,4)上是增函数，在(4,6)上是减函数．所以当x=4时，y有最大值4，即这个容器容积的最大值为4．【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键．20.在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线与圆交于点，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入，得到，所以.试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.（2）将代入，得，∴，，∴.21.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程；（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围；（3）由方程联立可得到两根之和、两根之积，从而可求直线MA，MB斜率之和，化简可得结论．【详解】（1）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为．（2）将y=x+m代入并整理得，，解得-5
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