猜测任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半?你准备怎么去做?猜测想,做,悟挑战“自我〞小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍〞,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半〞
要求
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,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.猜测小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍〞,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半〞要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.想,做,悟挑战“自我〞如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半?如果矩形的长和宽分别为3和1,是否还有一样的结论?如果矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢?挑战“自我〞由特殊到一般想,做,悟解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得x(1.5-x)=1.即2x2-3x+2=0.如果这个方程有解,那么说明这样的矩形存在.由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.想,做,悟挑战“自我〞由特殊到一般结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半.解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求矩形的长为x,根据题意所得的方程均有没有实数根解,那么说明这样的矩形不存在.挑战“自我〞结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半.想,做,悟由特殊到一般挑战“自我〞由特殊到一般我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半.这个结论是否具有一般性?如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和宽满足什么条件时,才存在一个新的矩形,它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半?你能再找出这样的一个例子吗?想,做,悟挑战“自我〞由特殊到一般解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和面积分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分别为7和3.设所求矩形的长为x,那么它宽为3.5-x,其面积为x(3.5-x).根据题意,得x(3.5-x)=3.即2x2-7x+6=0.由b2-4ac=72-4×2×6=1>0,知道这个方程有实数根:想,做,悟结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半.挑战“自我〞由特殊到一般解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根据题意,得x[(m+n)/2-x]=mn/2.即2x2-(m+n)x+mn=0.由Δ=b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn.知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根:想,做,悟结论:如果矩形的长和宽满足m2+n2≥6mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半.超越自我:等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3.ΔABC的高为h.假设点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论:“h1+h2+h3=h〞，请直接应用上述信息解决以下问题：当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立?假设成立,请给予证明;假设不成立,h1,h2,h3与h又有怎样的关系,请写出你的猜测,并证明你的猜测.NQ证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.由题意得:h1+h2=AKK∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC,∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900∴四边形KMFP是矩形∴KM=PF=h3∵AK=AM-KM∴h1+h2=h-h3即h1+h2+h3=h图3又有怎样的关系呢?解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h〞仍然成立.证明:设等边ΔABC的边长为a.连结PA、PB、PC，∵SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC=SΔABC对于图3,又有怎样的关系?又如何证明?
总结
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反思，拓展升华思考：对于图1，为什么会成立？对于图2呢？对于图2,证明如下:
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