黑龙江省海林市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元综合测试卷 新人教A版选修1-1（通用）

PAGE第二章圆锥曲线与方程单元综合测试时间：120分钟　　分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)　　　　　　　　　　　1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2,3)解析：∵a＝1，b＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故选A.答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1解析：∵F(3,0)，AB的中点N(－12，－15)，∴kAB＝eq\f(－15－0,－12－3)＝1.又∵F(3,0)，可设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，易知a2＋b2＝9①再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1②eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1③由②－③可得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝kAB＝1.*又∵eq\f(x1＋x2,2)＝－12，eq\f(y1＋y2,2)＝－15，∴*式可化为eq\f(b2,a2)×(eq\f(－12,－15))＝1，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)④由①和④可知b2＝5，a2＝4，∴双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，故选择B.答案：B3．双曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.∵e∈(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(4－k,4)∈(1,4)，k∈(－12,0)．答案：B4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：设M(2,0)，由题设可知，把直线x＝－1向左平移一个单位即为直线x＝－2，则点P到直线x＝－2的距离等于|PM|，所以动点P的轨迹为抛物线，故选D.答案：D5．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且eq\f(1,2)|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解析：依题意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作图可知点P的轨迹为线段，故选D.答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解析：不妨设双曲线C为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，并设l过F2(c,0)且垂直于x轴，则易求得|AB|＝eq\f(2b2,a)，∴eq\f(2b2,a)＝2×2a，b2＝2a2，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)，故选B.答案：B7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B8．已知(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，则l的方程是(　　)A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4＝0D．x＋2y－8＝0解析：设l与椭圆的两交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则得eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq\f(9,36)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).故方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：D9．过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率e为(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：A(eq\r(2)，1)，B(eq\r(2)，－1)，设双曲线为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，因为A、B在渐近线上，所以1＝eq\f(b,a)·eq\r(2)，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\f(\r(6),2).答案：C10．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则m＋n的值为(　　)A．3B．2C．1D．以上都不对解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，故双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1中m>0，n>0，且m＋n＝c2＝1.答案：C11．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b<0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2ac(c＝eq\r(a2＋b2))，则双曲线的离心率为(　　)A.eq\f(1＋\r(5),2)B.eq\f(1＋\r(3),2)C．2D.eq\f(1＋\r(2),2)解析：由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0可知△PF1F2为直角三角形，则由勾股定理，得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝4c2，①由双曲线的定义，得(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2＝4a2，②又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2ac，③由①②③得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．答案：A12．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，eq\r(3)]D．(1,3]解析：eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(2a＋|PF2|2,|PF2|)＝eq\f(4a2,|PF2|)＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当eq\f(4a2,|PF2|)＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得6a≥2c，即e＝eq\f(c,a)≤3，得e∈(1,3]，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，它的一个焦点是(eq\r(10)，0)，则双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，知eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，它的一个焦点是(eq\r(10)，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是eq\f(x2,9)－y2＝1.答案：eq\f(x2,9)－y2＝114．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________，∠F1PF2的大小为________．解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×3＝6，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝－eq\f(1,2).∴∠F1PF2＝120°.答案：2　120°15．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP|＝|F1P|，∴|PF1|＋|PF2|＝|MF2|＝2a.∴点M到点F2的距离为定值2a.∴点M的轨迹是以点F2为圆心，以2a为半径的圆，其方程为(x－eq\r(a2－b2))2＋y2＝4a2.答案：(x－eq\r(a2－b2))2＋y2＝4a216．(2020·浙江高考)设F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，则点A的坐标是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)且eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))得x2＝eq\f(1,5)(x1＋6eq\r(2))，y2＝eq\f(1,5)y1.又A、B两点在椭圆上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),3)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(x1＋6\r(2)2－x\o\al(2,1),75)＋\f(y\o\al(2,1),25)＝1，))消去y1得eq\f(x1＋6\r(2)2－x\o\al(2,1),3)＝24，有x1＝0，从而y1＝±1，故点A的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，并且离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线方程．解：由椭圆方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，焦距的一半c1＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(5)，∴焦点是F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝4，求y0的值．解：(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知eq\f(1,2)×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b，,ab＝2，))得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由(1)可知A(－2,0)．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1.))由方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，得x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2).从而y1＝eq\f(4k,1＋4k2).设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－eq\f(8k2,1＋4k2)，eq\f(2k,1＋4k2))．以下分两种情况：①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2，－y0)．由eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝4，得y0＝±2eq\r(2).②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－eq\f(2k,1＋4k2)＝－eq\f(1,k)(x＋eq\f(8k2,1＋4k2))．令x＝0，解得y0＝－eq\f(6k,1＋4k2).由eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(x1，y1－y0)．eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝－2x1－y0(y1－y0)＝eq\f(－22－8k2,1＋4k2)＋eq\f(6k,1＋4k2)(eq\f(4k,1＋4k2)＋eq\f(6k,1＋4k2))＝eq\f(416k4＋15k2－1,1＋4k22)＝4，整理得7k2＝2，故k＝±eq\f(\r(14),7).所以y0＝±eq\f(2\r(14),5).综上，y0＝±2eq\r(2)或y0＝±eq\f(2\r(14),5).19．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：(1)x1x2为定值；(2)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)为定值．证明：(1)抛物线y2＝2px的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(k2p2,4)＝0.由根与系数的关系，得x1x2＝eq\f(p2,4)(定值)．当AB⊥x轴时，x1＝x2＝eq\f(p,2)，x1x2＝eq\f(p2,4)，也成立．(2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋eq\f(p,2)，|FB|＝x2＋eq\f(p,2).eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,\f(p,2)x1＋x2＋x1x2＋\f(p2,4))＝eq\f(x1＋x2＋p,\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,\f(p,2)x1＋x2＋p)＝eq\f(2,p)(定值)．当AB⊥x轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式仍成立．20．(12分)已知A(eq\r(2)，0)、B(－eq\r(2)，0)两点，动点P在y轴上的射影为Q，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))2.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设直线m过点A，斜率为k，当0b>0)，抛物线C2：x2＋by＝b2.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)设A(0，b)，Q(3eq\r(3)，eq\f(5,4)b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，eq\f(3,4)b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．解：(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，可得c2＝b2.由a2＝b2＋c2＝2c2，有eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，所以椭圆C1的离心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)由题设可知M，N关于y轴对称，设M(－x1，y1)，N(x1，y1)，(x1>0)，则由△AMN的垂心为B，有eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，所以－xeq\o\al(2,1)＋(y1－eq\f(3,4)b)(y1－b)＝0①由于点N(x1，y1)在C2上，故有xeq\o\al(2,1)＋by1＝b2②由①②得y1＝－eq\f(b,4)，或y1＝b(舍去)，所以x1＝eq\f(\r(5),2)b，故M(－eq\f(\r(5),2)b，－eq\f(b,4))，N(eq\f(\r(5),2)b，－eq\f(b,4))，所以△QMN的重心为(eq\r(3)，eq\f(b,4))，由重心在C2上得：3＋eq\f(b2,4)＝b2，所以b＝2，M(－eq\r(5)，－eq\f(1,2))，N(eq\r(5)，－eq\f(1,2))，又因为M，N在C1上，所以eq\f(±\r(5)2,a2)＋eq\f(－\f(1,2)2,4)＝1，得a2＝eq\f(16,3).所以椭圆C1的方程为：eq\f(x2,\f(16,3))＋eq\f(y2,4)＝1，抛物线C2的方程为：x2＋2y＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为eq\f(1,5).(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.由题意又有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(1,5)，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),5).(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5y2＝5b2,y＝x－c))得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(5c,2)，,x1x2＝\f(35b2,4).))①设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋x2，,y3＝λy1＋y2.))又C为双曲线上一点，即xeq\o\al(2,3)－5yeq\o\al(2,3)＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得λ2(xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1))＋(xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2))＋2λ·(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1)＝5b2，xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2)＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)·(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.