PAGE\*MERGEFORMAT#＜一＞求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1•函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f：为A到B的一个函数。2•由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③｛y|y=f(x),xWA｝。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：自变量放在一起构成的集合，成为定义域。数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4•值域：是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：｛y|y=f(x),x£A｝。明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0(非负数)。③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有X,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0＜底数＜1;底数＞1)表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.(f(x)=log(x2-1))x注：(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形如：f(x)=a)x练习1、求下列函数的定义域：1、(1){xIx>5或x<—3或xh—6}⑵{xIx>0}1⑶y=厂1x一1+(2x-1)0+413）{xI-2
分析
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：由题目可以看出g(x)是由y=x+l、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为(-2,3),则f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2)的定义域为(0,4)；「—3vxv2•••de，，解得0〈x〈2[0vxv4所以，g(x)的定义域为(0,2).(一)求函数值域方法和情形总结直接观察法(利用函数图象)一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。练习(1)y二x2+2x-3xe[1,2]求值域。ye[0,5]配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内(以a<0为例)，此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：(1)含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；(2)a不为0时，讨论开口方向；(3)注意区间，即讨论对称轴。例1：求f(x)=x2-4x+6在［1,5］上的值域•解：配方：f(x)二(x-2)2+2f(x)的对称轴为x=2在［1,5］中间y-f(2)=2min(端点5离x=2距离较远，此时为最大值)y二f⑸二11max所以，f(x)的值域为［2,11］.练习(2)y=x2+2x-3(xeR)求值域。分式型(1)分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量X的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观d察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为y二a+bx+c例2：求f(x)二圧1的值域.4x+2解：f(x)=4(4x+2)—1—罟544_572(4x+2)由于分母不可能为0则意思就是函数值不可能取到；4即：函数f(x)的值域为｛yIy丰二｝.4练习⑶y=3^求值域(3){yIy丰3}（2）利用x2>0来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现X2形式，此时由于为平方形式大多时候X可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。X2一1例3：求函数f（X）=—的值域.x2+2解：由于x2+2不等于0,可将原式化为yx2+2y=3x2一1即（y-3）x2=一1一2y（由于x2>0）只需y丰3，则有X2二^1^>04(y-3)(-1-2y)>0y―3所以，函数值域y丘［-2,3'_2丿练习4)5x2+9x+4X2一1求值域{yIy丰5且y丰2}(3)方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现x2混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。2x例4：求函数y=的值域X2+1解：由于函数的定义域为R，即x2+1丰0原式可化为yx2-2x+y二0（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，A二4-4y2>0所以，函数值域为ye[-1,1]练习：求值域1（5）y二1+x2换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注:换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5：求函数f(x)二2x—、；x-1的值域解：令t=、-R,t>0,贝吐二t2+1，带入原函数解析式中得TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark116"\o"CurrentDocument"115HYPERLINK\l"bookmark124"\o"CurrentDocument"y—2(t2+1)—t—2t2—t+2—2(t—)2+-HYPERLINK\l"bookmark80"\o"CurrentDocument"8因为，t>0所以，函数的值域为ye—,_8丿练习：求值域(6)y—x一\/1-2x{yIy<|}一．选择题（共10小题）（2007•河东区一模）若函数f（x）=JF_2葢-呂的定义域为A,函数TOC\o"1-5"\h\z的定义域为B,则使AaB=0的实数a的取值范围是（）A(-1,3)B[-1,3]C(-2,4)D[-2,4]若函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(x+1)的定义域是()A[-1,1]B[0,2]C[-2,0]D[0,1]（2010•重庆）函数尸;-4赛的值域是（）A[0，+x)B[0,4]C[0,4)D(0,4)4.（2009•河东区二二模）函数f（Q二；匸+「1-工的值域是（)A(0,+x)B[1，,©]C(0,2)D(0,P)5.已知函数y=x2+4x+5,xG[-3,3)时的值域为（)A(2,26)B[1,26)C(1,26)D(1,26]6.函数y=在区间［3,4］上的值域是（）K-1A[1,2]B[3,4]C[2,3]D[1,6]7.函数f(x)=2+3x2-x3在区间[-2,2］上的值域为（)A[2,22]B[6,22]C[0,20]D[6,24]函数的值域是（x4-3x4-2TOC\o"1-5"\h\zA{y|yGR且yHl}B{y|-4WyVl}C{y|y^-4且DR...yHl}.函数y=x2-2x（-1VxV2）的值域是（）A[0,3]B[l,3]C[-l,0]D[-l,3）函数F（迟）二工J（*€玄＜刀的值域为（）A[2,+*）B[£+co〕C[2,5]D（O,2]二．填空题（2013•安徽）函数y=ln（1+g）的定义域为__.（2012•四川）函数f&）二L_的定义域是.（用区VI-2s间表示）13.求定义域：尸可14.函数y=x2+2x-l,xG[-3,2]的值域是15.函数y=10_J的值域是
浙公网安备 33021202002483