PAGE/NUMPAGES2019-2020年高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与探究新人教A版必修典题精讲例1已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路解析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|；当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出图形辅助解答；关键是准确、恰当地进行分类，分别处理.变式训练已知向量a，b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.思路解析：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；（2）当a，b为非零向量，且a，b不共线时，有|a|+|b|＞|a-b|＞||a|-|b||；（三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量
表
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示）当a，b为非零向量，且a，b同向共线时，|a|+|b|＞|a+b|=||a|-|b||；当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，|a|+|b|=|a+b|＞||a|-|b||.答案：|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||，结合|a|+|b|≥|a+b|≥||a|-|b||因此有|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||.例2化简下列各式：（1）；（2）［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.思路分析：对于（1），可以利用三角形法则对向量进行分解；对于（2）利用向量线性运算的运算法则化简.解：（1）++=+++(=+)=+++=0+2=2.（2）［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=(4a-3b+b-a+b)=［（4-）a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.变式训练(xx全国高考卷Ⅰ，理9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3，满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则（）A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0思路解析：向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.向量a1、a2、a3顺时针旋转30°后与b1、b2、b3同向，且|bi|=2|ai|，∴b1+b2+b3=0.答案：D例3已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2是共线向量，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.∵e1和e2不共线，∴∴k=±1.绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.变式训练若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m+2n=a①m-3n=b②3×②，得3m-9n=3b.③①-③，得11n=a-3b.∴n=a-b.④将④代入②,有m=b+3n=a+b.例4一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解：如图2-2-6，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，∠AOC=30°，||=5km/h，图2-2-6∵四边形ABCD为矩形，∴||=||cot30°=，||==10.绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤为：(1)用向量表示物理量；(2)进行向量运算；(3)回扣物理问题，解决问题.变式训练一架执行救灾任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行.已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离.思路分析：首先根据题意作出图形，如图2-2-7，然后由A地确定B、C两地的方位与距离.图2-2-7解：根据题意和图形，可知∠BAC=90°，||=||=300km，则可得||=300km；又由于∠ABC=45°,A地在B地东偏南60°的方向处，可知C地在B地东偏南15°的方向处.所以飞机从B地向C地飞行的方向为C地在B地东偏南15°的方向处.B、C两地的距离为300km.问题探究问题1已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连.以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.试探究A1、A2、A3是平面内不共线的三点，则等于什么？对于平面上不共线的四点A1、A2、A3、A4上述结论是否成立？等于什么？导思：求多个向量的和，需要连续使用三角形法则，这也可以看作是应用了多边形法则.对向量求和的多边形法则应明确：（1）多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算，三角形法则是多边形法则的特殊情形；（2）n个向量的和的结果仍是一个向量；（3）法则的要领是“头尾相接，头是头，尾是尾”，与向量加法的三角形法则相同.探究：由平行四边形法则可知,∴=0.类似的，根据向量求和的多边形法则有，即=0.对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了,即=0.问题2三人夺球的游戏的规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为aN，试探究丙需要多少力量小球才静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球有可能静止吗？导思：互为相反向量的两个向量的和为0,在物理中可以理解成两个力的合力为0.解决本题首先要审好题，能从题目中提炼出数学模型，进而利用数学知识解决，这是解决文字题或应用题最关键的一个环节.探究：本题主要考查向量加法法则及相反向量的定义.设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a、b、c,根据题意，可知a、b、c三个向量两两夹角为120°，可先计算a+b，由于|a|=|b|，易求|a+b|=|c|，且a+b平分a、b所成的角，即方向与c相反，要使小球不动，则c=-（a+b），所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球就会静止.若甲、乙两人力量不等，根据向量加法的平行四边形法则，a+b的方向不可能与c相反，也就是说a+b与c不可能是相反向量，所以小球不可能静止.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！
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