第四章第1节daoshuDseveralgroupnumber,thenwithb±a,=c,cisismethylbtwoverticalboxbetweenofaccuratesize.Per-2~3measurement,suchasproceedsofcvaluesareequalandequaltothedesignvalue,thentheverticalinstallationaccurate.Forexamplea,b,andcvalueswhileonhorizontalverticalerrorsformeasurement,Generalinironanglecodebitatmeasurementlevelpointsgriderrors,specificmethodisfrombaselinetomethylverticalboxcenterlinedistancefora,,tobverticalboxdistanceforb,listcanmeasuredseveralgroupnumber,thenwithb±a,=c,cisismethylbtwoverticalboxbetweenofaccuratesize.Per-2~3measurement,suchasproceedsofcvaluesareequalandequaltothedesignvalue,thentheverticalinstallationaccurate.Forexamplea,b,andcvalueswhileonhorizontalverticalerrorsformeasurement,Generalinironanglecodebitatmeasurementlevelpointsgriderrors,specificmethodisfrombaselinetomethylverticalboxcenterlinedistancefora,,tobverticalboxdistanceforb,listcanmeasuredseveralgroupnumber,thenwithb±a,=c,cisismethylbtwoverticalboxbetweenofaccuratesize.Per-2~3measurement,suchasproceedsofcvaluesareequalandequaltothedesignvalue,thentheverticalinstallationaccurate.Forexamplea,b,andcvalueswhileonhorizontalverticalerrorsformeasurement,Generalinironanglecodebitatmeasurementlevelpointsgriderrors,specificmethodisfrombaselinetomethylverticalboxcenterlinedistancefora,,tobverticalboxdistanceforb,listcanmeasured么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的__________.由三角函数的定义知，点P的坐标为__________，即__________，其中cosα＝________，sinα＝________，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝__________.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的__________、__________、__________.三角函数线(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ) (Ⅳ)有向线段________为正弦线；有向线段________为余弦线；有向线段________为正切线[难点正本 疑点清源]1.对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α
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示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负.(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在.(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.1.已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则x的值为________.2.若点P在角eq\f(2π,3)的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________.3.若4π<α<6π且α与－eq\f(2,3)π终边相同，则α＝________.4.(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.5.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或4题型一 求与已知角终边相同的角例1 已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)×180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)×180°＋45°，k∈Z))，那么两集合的关系是什么？探究提高 1.第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z.2.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论.(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合；(3)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，求在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角.题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα＋eq\f(1,tanα)的值.探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值.题型三 三角函数值的符号及判定例3 (1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.(2)若θ是第二象限角，试判断eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符号是什么？探究提高 (1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角.已知sin2θ<0，且|cosθ|＝－cosθ，问点P(tanθ，cosθ)在第几象限？题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 探究提高 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的
方法
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确定相应最值.(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积.若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 9.数形结合具体体现三角函数线的应用
试题
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：(12分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小.审题视角 (1)求定义域，就是求使3－4sin2x>0的x的范围.用三角函数线求解.(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，eq\f(θ,2)是第几象限角？首先应予以确定.②sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)不能求出确定值，但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小.规范解答解 (1)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)
制度
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必须一致，不可混用.3.注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示.§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(时间：60分钟)A组 专项基础训练题组一、选择题1.若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( )A.2kπ＋β(k∈Z)B.2kπ－β(k∈Z)C.kπ＋β(k∈Z)D.kπ－β(k∈Z)2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.83.有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正确的命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题4.若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形为________.5.已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.6.设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)m，则sinα的值为________.三、解答题7.已知sinθ＝eq\f(1－a,1＋a)，cosθ＝eq\f(3a－1,1＋a)，若θ是第二象限角，求实数a的值.B组 专项能力提升题组一、选择题1.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为( )A.－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)二、填空题4.函数y＝eq\r(2cosx－1)的定义域为________.5.若β的终边所在直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，则sinβ＝________，tanβ＝________.6.一扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.三、解答题7.角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
要点梳理1.(1)①正角 负角 零角 ②象限角 轴线角 (2)α＋k·360°(k∈Z) (3)①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 eq\f(l,r) ③无关 角的大小 ④2π π⑤l＝|α|r eq\f(1,2)lr eq\f(1,2)|α|r22.(1)eq\f(y,r) eq\f(x,r) eq\f(y,x) 自变量 函数值3.正射影 (cosα，sinα) P(cosα，sinα) OM MP AT 余弦线 正弦线 正切线 MP OM AT基础自测1.eq\f(5,2) 2.(－1，eq\r(3)) 3.eq\f(16π,3) 4.－8 5.C题型分类·深度剖析例1 解 (1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－eq\f(765,360)≤k≤－eq\f(45,360)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.变式训练1 解 (1)由α是第三象限的角得π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)⇒－eq\f(3π,2)－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，即eq\f(π,2)＋2kπ<－α<π＋2kπ(k∈Z).∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z).∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.(2)在(0，π)内终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为{α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}.(3)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z).依题意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π⇒－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)相同的角为eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).例2 解 ∵P(x，－eq\r(2))(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝eq\r(x2＋2).又cosα＝eq\f(\r(3),6)x，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋2))＝eq\f(\r(3),6)x.∵x≠0，∴x＝±eq\r(10).∴r＝2eq\r(3).当x＝eq\r(10)时，P点坐标为(eq\r(10)，－eq\r(2))，由三角函数的定义，有sinα＝eq\f(－\r(2),2\r(3))＝－eq\f(\r(6),6)，eq\f(1,tanα)＝eq\f(\r(10),－\r(2))＝－eq\r(5)，∴sinα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(\r(6),6)－eq\r(5)＝－eq\f(6\r(5)＋\r(6),6)；当x＝－eq\r(10)时，同理可求得sinα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(6\r(5)－\r(6),6).变式训练2 解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，当t>0时，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；当t<0时，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).综上可知，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)或sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).例3 解 (1)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0,cosθ<0))，所以θ为第二象限角.(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－10.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)<0.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符号是负号.变式训练3 解 方法一 由sin2θ<0，得2kπ＋π<2θ<2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋eq\f(π,2)<θ0,cosθ<0))因此θ在第二象限，P(tanθ，cosθ)在第三象限.例4 解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，l＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×sineq\f(π,3)＝eq\f(50,3)π－eq\f(50\r(3),2)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2).(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))2＝eq\f(C2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16).当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值eq\f(C2,16).变式训练4 解 设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件eq\f(1,2)lR＝S扇，则扇形的周长为：l＋2R＝eq\f(2S扇,R)＋2R≥4eq\r(S扇)，当且仅当eq\f(2S扇,R)＝2R，即R＝eq\r(S扇)时等号成立，此时l＝2eq\r(S扇)，α＝eq\f(l,R)＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值.课时规范训练A组1.B 2.C 3.A 4.钝角三角形 5.eq\f(2,5) 6.eq\f(\r(10),4)7.解 ∵θ是第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0
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