PAGE黑龙江省牡丹江市第三高级中学2020学年高二数学上学期期末考试试题理考试时间:120分钟分值:150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z＝eq\f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )A．10B．5C．－1D．－eq\f(3,7)3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②③B．①③C．①D．②③4．函数y＝x3－3x2－9x(－2
2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________ 象限．14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq\f(27,4)，则a的值为________．16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则eq\f(1,h2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝eq\f(1,PO2)，N＝eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)，那么M，N的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、
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过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5eq\r(x)，求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．20．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.2020学年度第一学期期末试题答案高二理科
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考试时间:120分钟分值:120分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z＝eq\f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析： ∵z＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,2＋i2－i)＝eq\f(4－4i－1,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，∴复数z对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，在第四象限．答案： D2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )A．10B．5C．－1D．－eq\f(3,7)解析： f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－eq\f(3,7).答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②③B．①③C．①D．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y＝x3－3x2－9x(－20；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值．答案： C5．函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的单调递增区间是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(1，＋∞)解析： 令y′＝8x－eq\f(1,x2)＝eq\f(8x3－1,x2)>0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>eq\f(1,2).答案： C6．下列计算错误的是( )A．eq\a\vs4\al(\i\in(,π,－π))sinxdx＝0B．eq\a\vs4\al(\i\in(,1,0))eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)C．cosxdx＝2cosxdxD．eq\a\vs4\al(\i\in(,π,－π))sin2xdx＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案： D7．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．8.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i9.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( D )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)10.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（A）A．B．C．D．11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析： 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(A)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：记函数g(x)＝eq\f(f（x）,x)，则g′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2)，因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________ 象限．解析： z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．解析： 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入到y＝x3＋3x2－5，得b＝－3，即P(－1，－3)，y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.答案： 3x＋y＋6＝015．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq\f(27,4)，则a的值为________．解析： 由题意可知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝0∴b＝0，∴f(x)＝x2(x＋a)，有eq\f(27,4)＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(－a,0))[0－(x3＋ax2)]dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)＋\f(ax3,3)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(－a,0)＝eq\f(a4,12)，∴a＝±3.又－a>0⇒a<0，得a＝－3.答案： －316．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则eq\f(1,h2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝eq\f(1,PO2)，N＝eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)，那么M，N的大小关系是________．解析： 在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2①，由等面积法得ch＝ab，∴c2·h2＝a2·b2②，①÷②整理得eq\f(1,h2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2).类比得，Seq\o\al(2,△ABC)＝Seq\o\al(2,△PAB)＋Seq\o\al(2,△PBC)＋Seq\o\al(2,△PAC)③，由等体积法得S△ABC·PO＝eq\f(1,2)PA·PB·PC，∴Seq\o\al(2,△ABC)·PO2＝eq\f(1,4)PA2·PB2·PC2④，③÷④整理得M＝N.答案： M＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5eq\r(x)，求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．解析： (1)设切点为(x0，y0)，由y＝5eq\r(x)，得y′|x＝x0＝eq\f(5,2\r(x0)).∵切线与y＝2x－4平行，∴eq\f(5,2\r(x0))＝2，∴x0＝eq\f(25,16)，∴y0＝eq\f(25,4)，则所求切线方程为y－eq\f(25,4)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(25,16)))，即2x－y＋eq\f(25,8)＝0.(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5eq\r(x)上，故需设切点坐标为M(x1，y1)，则切线斜率为eq\f(5,2\r(x1)).又∵切线斜率为eq\f(y1－5,x1)，∴eq\f(5,2\r(x1))＝eq\f(y1－5,x1)＝eq\f(5\r(x1)－5,x1)，∴2x1－2eq\r(x1)＝x1，得x1＝4.∴切点为M(4,10)，斜率为eq\f(5,4)，∴切线方程为y－10＝eq\f(5,4)(x－4)，即5x－4y＋20＝0.18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．[解析] ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋bx＋c)dx，取F(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2＋cx，则F′(x)＝ax2＋bx＋c，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝F(1)－F(0)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．解析： (1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－3)得a＋b＋1＝－3，∵f′(x)＝3ax2＋b，又f′(1)＝3a＋b＝0，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－4,3a＋b＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－6))，∴f(x)＝2x3－6x＋1.(2)∵f′(x)＝6x2－6，∴由f′(x)>0得x>1或x<－1，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，又SB⊂平面SAB，∴AC⊥SB．（Ⅱ）以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系，则A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，，∴，∴，令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），cos＜，＞＝＝＝即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，，，，，即，；轴面，面的法向量取0，，设直线AM与平面所成角为，，直线AM与平面所成角的正弦值为．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f'(x)=,f'(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.所以当02时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.
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