第五节高阶导数公式

第五节高阶导数公式*第五节高阶导数公式一、高阶导数公式二、柯西不等式与刘维尔定理三、小结与思考*定理设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D=D+C上连续，则f(z)在D内有各阶导数，且证即证对D内任一点z,有由柯西积分公式得一、高阶导数公式*从而*即存在正由于f()在D上连续，所以在D上有界，数M,使得|f()|M.则有|z|d(C).d*则有z+zD.从而对于C上任一点，有所以*所以当z0时，即因为z为D内任一点，所以n=1时，定理成立.*利用数学归纳法可证推论：设f(z)在复平面上的区域...

*第五节高阶导数公式一、高阶导数公式二、柯西不等式与刘维尔定理三、小结与思考*定理设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在D=D+C上连续，则f(z)在D内有各阶导数，且证即证对D内任一点z,有由柯西积分公式得一、高阶导数公式*从而*即存在正由于f()在D上连续，所以在D上有界，数M,使得|f()|M.则有|z|d(C).d*则有z+zD.从而对于C上任一点，有所以*所以当z0时，即因为z为D内任一点，所以n=1时，定理成立.*利用数学归纳法可证推论：设f(z)在复平面上的区域D内处处解析，则f(z)在D内具有各阶导数，并且它们也在D内解析.*例1解**例2解**根据多连通区域的柯西积分定理**例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得**课堂练习答案*例4解*圆|z|=r内有z=0,z=1两个奇点，在C内分别以z=0,z=1为心作小圆C1和C2,则*在C内分别以z=0,z=1以及z=2为心，作小圆C1，C2，C3，则*例5证明其中C是围绕原点的闭曲线.证由于f()在复平面上解析，则*而所以*二、柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式设f(z)在圆|za|R内解析,|f(z)|M(R),则有且证由高阶导数公式有*即*刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数.证设|f(z)|的上界为M,z0为复平面上的任意一点，f(z)在C:|z-z0|R上解析，上式对一切R均成立,让R+,而z0是复平面上任一点,故f(z)在复平面上的导数为0.所以f(z)必为常数.R为任意正整数，则整个复平面上解析*高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式作业：P4611,14三、小结与思考*思考：用刘维尔定理证明代数学基本定理.代数学基本定理在复平面上,非常值n次多项式至少有一个零点.提示：用反证法，假设p(z)在复平面上无零点，然后证明1/p(z)是有界整函数.*放映结束，按Esc退出.证明1/p(z)是有界的:(1)|z|r，(2)|z|>r，1/p(z)连续又1/p(z)无零点，所以在整个复平面上解析，即1/p(z)是有界整函数，从而使常值函数，矛盾.

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