（课堂设计）2020高中数学 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)学案 新人教A版必修4

PAGE1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质如下：定义域R值域周期性T＝______奇偶性φ＝________时是奇函数；φ＝__________时是偶函数；当φ≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)时是__________函数单调性单调增区间可由__________________得到，单调减区间可由__________________得到2.简谐振动在物理学中，常用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πx－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(2π,ω)y0A0－A0所以，描点时的五个关键点的坐标依次是____________，____________，__________，____________，__________.若设T＝eq\f(2π,ω)，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一　利用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的简图例1　作出y＝2.5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．回顾归纳　“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，解出x，从而确定这五点．变式训练1　作出y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))一个周期上的图象．知识点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2　如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳　由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2　若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三　正、余弦函数的对称问题例3　如图为函数y1＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的一个周期的图象．(1)写出y1的解析式；(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，写出y2的解析式；(3)指出y2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0⇔ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于直线x＝x0轴对称⇔f(x0)＝A或f(x0)＝－A⇔ωx0＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．变式训练3　关于f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))；③y＝f(x)图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称；④y＝f(x)图象关于x＝－eq\f(π,6)对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A|.(2)因为T＝eq\f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数的条件是(　　)A．φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)B．φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)C．φ＝2kπ(k∈Z)D．φ＝kπ(k∈Z)2．函数图象的一部分如图所示，其函数为(　　)A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期是π，且f(0)＝eq\r(3)，则(　　)A．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝eq\f(π,3)4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则(　　)A．ω＝1，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,6)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)5．设函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,5)))，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)A．4B．2C．1D.eq\f(1,2)二、填空题6．函数y＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))(x≥0)的初相是________．7．函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))与y轴最近的对称轴方程是__________．8．函数y＝sin2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝eq\f(π,6)对称，则φ的最小值是________．三、解答题9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)写出f(x)的递增区间．10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\r(2)))，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)π，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)答案知识梳理1.定义域R值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,|ω|)奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得到2.振幅　最大距离　T＝eq\f(2π,ω)　eq\f(ω,2π)　次数　ωx＋φ　初相自主探究eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，A))　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)＋\f(π,ω)，0))　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)＋\f(3π,2ω)，－A))　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)＋\f(2π,ω)，0))－eq\f(φ,ω)　－eq\f(φ,ω)＋eq\f(T,4)　－eq\f(φ,ω)＋eq\f(T,2)　－eq\f(φ,ω)＋eq\f(3,4)T　－eq\f(φ,ω)＋T对点讲练例1　解　令X＝2x＋eq\f(π,4)，则x＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X－\f(π,4))).列表：X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)y02.50－2.50描点连线，如图所示．变式训练1　解　(1)列表：xeq\f(π,2)eq\f(3,2)πeq\f(5,2)πeq\f(7,2)πeq\f(9,2)πeq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2π3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))030－30描点、连线如图所示：例2　解　方法一　以N为第一个零点，则A＝－eq\r(3)，T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝π，∴ω＝2，此时解析式为y＝－eq\r(3)sin(2x＋φ)．∵点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,3)，所求解析式为y＝－eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).方法二　由图象知A＝eq\r(3)，以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))为第一个零点，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))为第二个零点．列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω·\f(π,3)＋φ＝0,ω·\f(5π,6)＋φ＝π))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2,φ＝－\f(2π,3).))∴所求解析式为y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))＝－eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).变式训练2　2，eq\f(π,6)解析　∵图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴sinφ＝eq\f(1,2).又|φ|<π，∴φ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).又由“五点法”可得ω×0＋φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是第五个点，∴ωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＋φ＝2π，即ωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＋eq\f(π,6)＝2π.∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝eq\f(π,6).例3　解　(1)由图知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4).∴y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).将点(－1,0)代入得0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)).∴φ＝eq\f(π,4).∴y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)设P(x，y)为函数y2图象上任意一点，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点P′为(4－x，y)．∵y1与y2关于直线x＝2对称．∴点P′(4－x，y)落在y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))上．∴y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)4－x＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)x＋π))即y2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))).(3)由(2)知y2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))).∴周期T＝eq\f(2π,\f(π,4))＝8；频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,8)；振幅A＝2；初相φ＝－eq\f(π,4).变式训练3　②③解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)．∴x＝eq\f(k,2)π－eq\f(π,6)，∴x1－x2是eq\f(π,2)的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))利用公式得：f(x)＝4coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∴②对；对于③，f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的对称中心满足2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq\f(k,2)π－eq\f(π,6)(k∈Z)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．∴④错．课时作业1．B2．D　[由图知T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.又x＝eq\f(π,12)时，y＝1.]3．D　[ω＝eq\f(2π,π)＝2，又f(0)＝2sinφ＝eq\r(3)，∴sinφ＝eq\f(\r(3),2).又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).]4．D　[由图象知eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，ω＝2.且2×eq\f(7π,12)＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)．又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6).]5．B　[∵对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.∴|x1－x2|min＝eq\f(T,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,\f(π,2))＝2.]6．－eq\f(π,3)解析　由诱导公式可知y＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故初相为－eq\f(π,3).7．x＝－eq\f(π,6)解析　令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．由k＝0，得x＝eq\f(π,3)；由k＝－1，得x＝－eq\f(π,6).∴与y轴最近的对称轴方程为x＝－eq\f(π,6).8.eq\f(5π,12)9．解　(1)由图象可知：A＝eq\r(2)，T＝2×(6＋2)＝16，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8).∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))由eq\f(π,8)×2＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，∴函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))的递增区间为[16k－k,16k＋2]，k∈Z.10．解　(1)由题意知A＝eq\r(2)，T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)π－\f(π,8)))＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×2＋φ))＝1，∴eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,4).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(2)列出x、y的对应值表：x－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3,8)πeq\f(5,8)πeq\f(7,8)π2x＋eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy0eq\r(2)0－eq\r(2)0描点，连线，如图所示：