2021高考数学课下练兵 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)两角和与差的公式1、23、5、8、9角的变换4、76、1011、12一、选择题1.定义运算ab＝a2－ab－b2，则sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝(　　)A.－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),4)　　　　　B.－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4)C.1＋eq\f(\r(3),4)D.1－eq\f(\r(3),4)解析：sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝sin2eq\f(π,6)－sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)－cos2eq\f(π,6)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4).答案：B2.sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：B3.若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α的值是(　　)A.－eq\f(14,5)B.－eq\f(7,5)C.－2D.eq\f(4,5)解析：∵点P在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.答案：C4.已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α－β)的值等于(　　)A.－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f(1,3)D.eq\f(23,27)解析：∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴2α∈(0，π).∵cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，而α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－eq\f(7,9))×(－eq\f(1,3))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).答案：D5.若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝(　　)A.eq\f(1,2)　　　　　　　B.2C.－eq\f(1,2)D.－2解析：将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，则(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.答案：B6.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：原式＝eq\f(2cos(30°－20°)－sin20°,sin70°)＝eq\f(2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案：C二、填空题7.在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是　　　　.解析：法一：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞eq\f(π,2)，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴cosAcosB＜sinAsinB，即y＜x.法二：特殊值法：令A＝60°，B＝45°x＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4)，y＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴x＞y.答案：y＜x8.设f(x)＝eq\f(1＋cos2x,2sin(\f(π,2)－x))＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))的最大值为eq\r(2)＋3，则常数a＝　　　　.解析：f(x)＝eq\f(1＋2cos2x－1,2cosx)＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＋a2sin(x＋eq\f(π,4))＝(eq\r(2)＋a2)sin(x＋eq\f(π,4)).依题意有eq\r(2)＋a2＝eq\r(2)＋3，∴a＝±eq\r(3).答案：±eq\r(3)9.已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(eq\f(π,2)，π)，若a·b＝eq\f(2,5)，则tan(α＋eq\f(π,4))的值为　　　　.解析：由a·b＝eq\f(2,5)，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝eq\f(2,5)，即1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝eq\f(2,5)，即sinα＝eq\f(3,5).又α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)三、解答题10.(2020·天津调研)已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈(0，eq\f(π,4))，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)).(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值.解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，即1＋sin2α＝eq\f(9,5)，∴sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈(0，eq\f(π,2))，∴cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)∵β∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，β－eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,4))，∴cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)，于是sin2(β－eq\f(π,4))＝2sin(β－eq\f(π,4))cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(24,25).又sin2(β－eq\f(π,4))＝－cos2β，∴cos2β＝－eq\f(24,25).又2β∈(eq\f(π,2)，π)，∴sin2β＝eq\f(7,25).又cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(2,\r(5))，sinα＝eq\f(1,\r(5))(α∈(0，eq\f(π,4))).∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝eq\f(2\r(5),5)×(－eq\f(24,25))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(7,25)＝－eq\f(11\r(5),25).11.(2020·苏州模拟)已知函数f(x)＝－1＋2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标.解：f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，(1)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)，(2)由sin(2x＋eq\f(π,6))＝0，得2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z).∴f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标是(－eq\f(π,12)，0).12.已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M(eq\f(π,3)，eq\f(1,2)).(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(α－β)的值.解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1.∵f(x)的图象经过点M(eq\f(π,3)，eq\f(1,2))，∴sin(eq\f(π,3)＋φ)＝eq\f(1,2).∵0＜φ＜π，∴φ＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx.(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝eq\f(3,5)，f(β)＝cosβ＝eq\f(12,13).已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，所以sinα＝eq\r(1－(\f(3,5))2)＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\r(1－(\f(12,13))2)＝eq\f(5,13).故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).