高中数学 2.2.3两条直线的位置关系学案一 新人教B版必修2

PAGE空间两条直线的位置关系【复习目标】掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线；会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。【课前预习】空间两条直线位置关系的分类：分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？；两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的条件.两异面直线在一平面内射影的可能图形是（写出所有可能）。“a、b是两条异面直线”是指：（1），但不平行；（2）平面，平面；且；（3）平面，平面；且；（4）平面，平面；（5）不存在平面，能使平面，且平面.上述结论中，正确的是（）A．（1）（4）（5）B．（1）（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（5）设a、b是两条异面直线，下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 结论正确的是（）A．有且仅有一条直线与a、b都垂直B．过a有且仅有一个平面与b平行C．有且仅有一个平面与a、b都垂直D．过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交1.：空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：2.平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与a是异面直线三．例题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：【典型例题】例2如图，已知不共面的三条直线相交于点P，A，B，C，D，求证：AD与BC是异面直线。例3如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1B1D1=O1，B1D截面A1BC1=P，求证：①PBO1；②B1D被平面A1BC1截于三等分点。例4长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且，求：下列异面直线的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C；异面直线BD1与AC所成的角的余弦值。例3．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。【巩固练习】若a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则a与c（）A．只能是异面直线B．只能是平行直线C．只能是相交直线或平行直线D．可以是平行直线，也可以是相交直线或异面直线。在正四面体ABCD中，设棱长为a，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的大小为，AB与CD成的角为，AB、CD间的距离为。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC与B1D所成角的余弦值是。【本课小结】【课后作业】求证：每两条都相交，且不共点的四条直线必共面。在正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN分别为A1B1、BB1的中点，求AM、CN所成的角。a、b为异面直线，A、B在a上，C、D在b上，AB=8，CD=6，M、N分别为AD、BC中点，且MN=5，求a、b所成的角。在空间四边形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点。求证：EF是AB和CD的公垂线；求AB和CD间的距离。直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别为A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=C1C，求BD1与AF1所成角的余弦值。五、课后作业：课题：§9.02空间两条直线的位置关系日期：年月日星期一、选择题1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为（D）32102．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（A）3004506003．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（C）25厘米39厘米25或39厘米15厘米4．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值，则这样的直线b有（D）1条2条4条无数条5．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（B）1条2条3条4条班级姓名题号123456789101112 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 二、填空题6．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小7．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．8．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为________．三、解答题9．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，．（1）求证：，，．（2）求异面直线和的距离．9、（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1A⊥A1B（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，∴，又AB=2cm，10．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=，在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。【备用题】【参考资料】空间直线与平面一、复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二、课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为（D）32102．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（A）3004506003．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．（答案：）4．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为____________________．答案：三、例题分析：例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。小结：例2．在三棱台中，侧棱⊥底面，且，．（1）求证：，，．（2）求异面直线和的距离．（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1A⊥A1B（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，∴，又AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=cm。小结：例3．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=，在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。小结：四、课后作业：班级学号姓名1．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（C）25厘米39厘米25或39厘米15厘米2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值，则这样的直线b有（D）1条2条4条无数条3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（B）1条2条3条4条4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小．答案：．A1ABB1DD1CC1O5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连结B1D1，A1C1，BD，AC．设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．∴M，N分别是B1D1，AC的中点．连结BM，D1N．A1ABB1DD1CC1图1MONO1∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形．在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，在平行四边形BDD1B1中，∵D1M∥NB，且D1M＝NB，∴四边形BND1M是平行四边形．∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，∴O是BO1的中点，即O1O＝OB1．同理，OO1＝O1D．∴O1O＝OB1＝O1D．综上，OB1∶OD1＝1∶2．6．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．BCDAαβl证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．∴AB，CDγ．∴ABα，D∈γ．由题知，ABα，D∈α，且DAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．同理，β与γ重合．∴α与β重合，这与题设矛盾．∴AB，CD不能平行．AA1D1DCC1B1B7．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．设直线CD1与BC1共面α．∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．