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第十二次双周考试
题
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文一选择题（每题5分共60分）1.设，，则()A.B.C.D.2.已知集合，，则()A.B.C.D.3.设等差数列的前项和为，且，则()A.8B.12C.16D.204.抛物线的焦点到准线的距离是()A.B.1C.D.5.设集合，函数，在中任取一个元素，则函数一定有意义的概率为()A.B.C.D.6.函数的大致图像是()ABCD7.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.B.C.D.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是()9.下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是()A.B.C.D.10.若函数满足且的最小值为4，则实数的值为()A.1B.2C.3D.11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则()A.8B.9C.10D.1212.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将
答案
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填在答题纸上）13.已知矢量，，若，则的最小值为.14.在中，能使成立的的取值集合是.15.给出下列四个命题：①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；②“平面矢量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；③若命题，则；④函数在点处的切线方程为.其中真命题的序号是.16.已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④.则上述四个命题中真命题的序号为.17.（12分）设函数.(1)求的对称轴方程；(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值.18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（Ⅰ）
证明
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：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）完成2×2列联
表
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，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=，其中n=a+b+c+d）（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？20.（12分）已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且，，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.(1)求椭圆的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.21.（12分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(1)当时，求的极大值点和极小值点；(2)若在上的最大值为1，求的值.22.（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.23.（10分）已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)设实数满足，证明：.文数试题参考答案1-5:ACBDD6-10:CABDC11、12：BA13.614.15.④16.②④17.解：(1)∵，由得的对称轴方程为.(2)由，可得.由，可得.在中，由余弦定理，得，由知，当时取最大值，此时取最小值1.18．解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD；又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是SABCD=×（4+2）×3=9．在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，∴PD=2OD=4，PA==4，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12．解：（1）根据统计数据作出2×2列联表如下：K2=≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．（2）分层抽样后，高茎玉米有2株，设为A，B，矮茎玉米有3株，设为a，b，c，从中取出2株的取法有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方式有ab，ac，bc共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是．20.解：(1)由题知，即，得①又由，得②，且，综合解得.∴椭圆的方程为.(2)假设以原点为圆心，为半径的圆满足条件.(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则，①由消去，整理得，设，，有，又∵，∴，即，化简得.②由①②求得，所求圆的方程为.(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，∴，有，，代入，得，此时仍有.综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.21.解：(1)因为，所以.因为函数在处取得极值，，当时，，，，随的变化情况如下表：1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.所以的极大值点为，极小值点为1.(2)因为.令得，，因为在处取得极值，所以，(i)当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得.(ii)当时，，①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得；②当时，在区间上单调递增，上单调递增，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾；③当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，综上所述，或..22.解：(1)由得，该曲线为椭圆.(2)将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，，，从而，由于，所以.23.解：(1)∵，∴在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为，∴的值为.(2)由(1)知，，∵，∴，∴.
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