福建省建瓯市芝华中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文

PAGE2020学年度上学期高三第一次阶段考考试文数试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（　　）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，3）2．设函数f（x）=，则f（f（e））=（　　）A．0B．1C．2D．ln（e2+1）3．若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（　　）A．p是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题4.已知满足约束条件，则的最小值为（）A．-6B．-3C.-4D．-25.函数y=xsinx在[﹣π，π]上的图象是（　　）A．B．C．D．6.已知向量满足，则（）A．B．C.D．7.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于　(　　)A.B.C.D.8.已知函数是偶函数，当时，函数，设，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．9.已知是奇函数，且，当时，，则（）A．B．C．D．10.等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)的结果可化为(　　)A．1-eq\f(1,4n)B．1-eq\f(1,2n)C.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,4n)))D.eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2n)))11.函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若a＞1，则a＋eq\f(1,a-1)的最小值是．14.已知，，，则__________．15.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于________．16.已知数列是一个各项均为正数的等比数列，且，若，则数列的前2020项的和为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝eq\f(1,2)，an＝-2SnSn-1(n≥2)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求Sn和an.19.（本小题满分12分）设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值.(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心.20.（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，且的等差中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，数列的前项和为，证明：.21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．　　[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；（2）两曲线相交于两点，若，求的值.　高三上期第一次阶段考（文科）试卷答案一、选择题1-5:CCDCA6-10:BBADC11、12：CB二、填空题13.314.15.16.1009三、解答题17.【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）在中，由正弦定理得．······1分即，又角为三角形内角，，所以，···········3分即，···········4分又因为，所以．···········6分（2）在中，由余弦定理得：，则．···········7分即．···········8分解得（舍）或．···········10分所以．···········12分18.解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-2SnSn-1，因为S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，将等式Sn-Sn-1＝-2SnSn-1，两边同除以SnSn-1，得eq\f(1,Sn)-eq\f(1,Sn-1)＝2(n≥2)，eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为2，公差为2的等差数列．(2)因为eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n-1)d＝2n，所以Sn＝eq\f(1,2n).当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝-eq\f(1,2n（n-1）)，当n＝1时，a1＝eq\f(1,2)不适合上式，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,-\f(1,2n（n-1）)，n≥2.))19.【解析】(1)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=sin+2,依题意得=,故ω的值为.(2)依题意得:g(x)=sin+2=sin+2,由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z),因为g(x)=sin+2,所以由3x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以y=g(x)的对称轴为x=+,k∈Z.由3x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以y=g(x)的对称中心为.综上所述,y=g(x)的单调递增区间为(k∈Z),对称轴为x=+,k∈Z,对称中心为,.20.（1）设等比数列的公比为，由题意，得…………………………………2分即两式相除，得，解得或，………………………4分∵,∴,解得，……………………………………5分所以.…………………………………6分（2）由（1）得，………………………………………7分∴，……………………………………9分∴………11分∴.……………………………………………12分21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极大值，无极小值；（2）由题意可得要证原不等式成立，令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx＞2x﹣e，即证x＞e时，即xlnx﹣2x+e＞0，令g（x）=xlnx﹣2x+e（x＞e），求出导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，令=0，可得x=e，当x＞e时，f′（x）＜0；当0＜x＜e时，f′（x）＞0．可得f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；f（x）的极大值为f（e）=，无极小值；（2）证明：要证原不等式成立，令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx＞2x﹣e，即证x＞e时，xlnx＞2x﹣e，即xlnx﹣2x+e＞0，令g（x）=xlnx﹣2x+e（x＞e），可得g′（x）=1+lnx﹣2=lnx﹣1，当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；即有g（x）＞g（e）=elne﹣2e+e=0，则x＞e时，xlnx＞2x﹣e成立，即有对于任意的非零实数k，不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．　　[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系中，斜率为1的直线过定点.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；（2）两曲线相交于两点，若，求的值.22.解：（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为，即，所以直线的参数方程为是（为参数）.（2）将直线的参数方程代入中，得到，设对应的参数分别为，则，，故.