长方体正方体奥数举一反三审批稿

YKKstandardizationoffice【YKK5AB-YKK08-YKK2C-YKK18】长方体正方体奥数举一反三长方体和正方体（二）例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。练一练1：有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？解：设两个池中水面的高度为x米，由题意得8×6×x+4×4×x=8×6×348x+16x=14464x=144x=2.25．答：水面的高度是2.25米．计算法：总水量是8×6×3=144立方分米甲的底面积是8×6=48平方分米乙的底面积是4×4=16平方分米两者水面高度是：144÷（48+16）=2.25（分米）答：水面的高度是2.25米．练一练2：有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？水箱的底面积是：40×30＝1200（平方厘米）水的体积是：1200×10＝12000（立方厘米）正方体铁块的底面积是：20×20＝400（平方厘米）水箱放入正方体铁块后,底面积变成了1200－400＝800（平方厘米）现在水面高：12000÷800＝15（厘米）答：这时水面高15厘米。典型例题精讲2将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。分析因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米答：这个大正方体的体积是216立方厘米。练一练1：:有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。24÷6=4（平方厘米），因为2×2=4，所以棱长是2厘54÷6=9（平方厘米），因为3×3=9，所以棱长是3厘米294÷6=49（平方厘米）因为7×7=49，所以棱长是7厘大正方体体积：2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）答：这个大正方体的体积是378立方厘米．练一练2：将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。两个正方体熔铸成一个长方体,体积不变.表面积为216平方厘米的正方体,一个面的面积为36平方厘米,棱长为6厘米,体积为6×6×6=216（平方厘米）表面积为384平方厘米的正方形,一个面的面积为64平方厘米,棱长为8厘米,体积为8×8×8=512（平方厘米）熔铸成的长方体的高为：（216+512）÷（13×7）=8（厘米）答：熔铸成的长方体的高为8厘米.典型例题精讲3一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是多少厘米？【思路导航】将铁柱取出，下降的水的体积等于铁柱的体积，先根据长方体体积=长×宽×高计算出铁柱的体积，再除以长方体容器的底面积就可以求出下降的水的高度，用原来的高度减去下降的高度就是现在的水深．0.5米=50厘米50×15×15=11250（立方厘米）11250÷60÷60=3.125（厘米），50-3.125=46.875（厘米）．答：容器里的水深是46.875厘米．练一练1有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5厘米，这长方体容器的底面积是多少平方厘米5×5×5÷0.5，=125÷0.5，=250（平方厘米）答：长方体容器的底面积是250平方厘米。练一练2：有大中小三个长方形水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米，3分米和2分米．现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内．这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米（结果保留整数）6分米=60厘米，3分米=30厘米，2分米=20厘米，放中池里碎石的体积：30×30×6=5400（立方厘米），放小池里碎石的体积：20×20×4=1600（立方厘米），两堆碎石总体积：5400+1600=7000（立方厘米），大水池的水面升高：7000÷（60×60）≈2（厘米），答：大水池的水面升高了2厘米．典型例题精讲4有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【思路导航】首先求出水的体积30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。30×20×6÷（20×10）=18（厘米）答：竖起来后水深18厘米。练一练1：有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？4×2×1.5÷（3×2）=12÷6，=2（分米）答：水深2分米。练一练:2：有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。2×2×2÷（4×2）=1（厘米）答：它的高是1厘米．典型例题精讲5一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球．第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍．那么大球的体积是小球的多少倍？【思路导航】第一次从容器中溢出的水量=小球的体积V1；第二次从容器中溢出的水量+小球的体积V1=中球的体积V2；即第二次从容器中溢出的水量=中球的体积V2-小球的体积V1=3V1，V2=4V1；第三次从容器中溢出的水量+中球的体积V2=大球的体积V3+小球的体积V1；即第三次从容器中溢出的水量=大球的体积V3+小球的体积V1-中球的体积V2=2.5V1，V3+V1-4V1=2.5V1V3=5.5V1，答：大球的体积是小球的5.5倍．练一练1：一个正方形容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中．问会溢出多少立方厘米的水？12×25=300（立方厘米）．答：会溢出300立方厘米的水．练一练:2：一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？15×15×24÷（60×60-15×15）=5400÷3375=1.6（厘米）24+1.6=25.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米长方体和正方体（三）例1.一个长方体，表面积是368平方厘米，底面积是40平方厘米，底面周长是36厘米，求这个长方体的体积。368-40×2=288平方厘米288÷36=8（厘米）V=40×8=320（立方厘米）答：这个长方体的体积是320立方厘米。例2.将一个长方体的长减小5厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？60÷4=15（平方厘米）15÷5=3（厘米）3×3×（5+3）=72（平方厘米）答：原来长方体的体积是72立方厘米。例3.有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15分米，宽10分米，高8分米，乙水箱长10分米，宽10分米，高9分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水面高度是多少分米？甲水箱的体积=15×10×8=1200（立方分米）1200÷（15×10+10×10）=4.8（分米）答：两个水箱的水面高度是4.8分米。例4.一个长方体的长为12厘米，高为8厘米，前后两个面，上面和侧面各一个面的面积之和是392平方厘米，求另外两个面积是多少平方厘米这个长方体的体积是多少立方厘米（1）另外两个面积是:392-12×8×2=200（平方厘米）（2）200÷（12+8）=10（厘米）体积=12×10×8=960（立方厘米）答：另外两个面积是200平方厘米，长方体的体积是960立方厘米。例5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在三个方向上加固，使用的编织绳长度分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每根编织绳加固时结头都是5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？（365-5）÷2=180厘米（405-5）÷2=200厘米（485-5）÷2=240厘米长+宽+高=(180+200+240)÷2=310厘米长=310-180=130厘米宽=310-200=110厘米高=310-240=70厘米V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米例6.有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需要这三种木块共多少块最少需要用这三种木块共多少块根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱长是3厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少用8块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1块，甲19块，共需要甲+乙+丙=19+1+7=27块。（2）最多用92块。如果拼成棱长是5厘米的正方体，用一块丙和一块乙，需要甲=5×5×5-2×2×2-3×3×3=90（块）90+1+1=92（块）例7.在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长100厘米，底面为边长15厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深为50厘米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部分长多少厘米？方法一、15×15×24÷（60×60-15×15）=1.6厘米24+1.6=25.6厘米答：浸湿部分长25.6厘米。方法二、解设：拔出24厘米后，浸在水里的部分为X厘米。（60×60-15×15）X+60×60×24=（60×60-15×15）×503375X=82350X=24.450-24.4=25.6（厘米）答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6厘米。例8.把一个棱长为4厘米的大正方体木块切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米？方法一：共分成4×4×4=64（个）S=1×1×6×64=384（平方厘米）方法二：沿着长、宽、高分别切三刀，共切9刀，一共增加9×2=18个面，加上原来的六个面共有18+6=24（个）S=4×4×24=384（平方厘米）答：这些小正方体的表面积的总和是384平方厘米。例9把一个长12分米，宽6分米，高10分米的长方体截成3个相同的小长方体，它的表面积最多可以增加多少平方分米？例10.在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口边长为1厘米的正方形，求挖洞后木块的体积和表面积。V=3×3×3-1×1×1×7=20（立方厘米）S=3×3×6=54（平方厘米）54-1×1×6+1×1×4×6=72（平方厘米）答：体积是20立方厘米，表面积是72平方厘米。