PAGE利用空间向量求解空间的角一、掌握有关的基本知识:1、设向量的夹角为,则;2、设直线的方向向量为,直线的方向向量为,与的夹角为,则;3、设平面的法向量为,直线的方向向量为,与所成的角为,则;4、设平面的法向量为,平面的法向量为,与所形成的二面角为,则(或).二、求空间角的解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
思路;1、分晰清楚求什么角;2、求出题目中线的方向向量和平面的法向量;3、计算出相应的三角函数值;4、求出相应的角.例1、如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=.求AC与PB所成的角的余弦值；解以A为坐标原点,AD所在直线为轴,AB所在直线为轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0).所以;所以;所以AC与PB所成的角的余弦值为.评析因
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
直线与直线的夹角,两向量所成角,所以直线的方向向量所成的角可能是两直线的夹角,也可能是两直线的夹角的补角.如此题若用向量则求出的是一个钝角的余弦值,故两直线的夹角的余弦值为两向量夹角的余弦值的绝对值.例2在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D,E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.求与平面ABD所成角的正弦值.解:如图2,以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立直角坐标系,设,则,,,图2∴,,,,∵点E在平面ABD上的射影是的重心G;∴平面ABD,∴,解得.∴,,∵平面ABD,∴为平面ABD的一个法向量.由∴与平面ABD所成的角的正弦值为评析因规定直线与平面所成角,两向量所成角,所以用此法向量求出的线面角应满足.例3如图3,正三棱柱的底面边长为3,侧棱,D是CB延长线上一点,且.求二面角的大小.解取BC的中点O,连AO.由题意平面平面,,∴平面,以O为原点,建立如图6所示空间直角坐标系,图3则,,,,∴,,,由题意平面ABD,∴为平面ABD的法向量.设平面的法向量为,则,∴,∴,即.∴不妨设,由,得.故所求二面角的大小为.评析 （1）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取时,会算得,从而所求二面角为,但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.
浙公网安备 33021202002483