PAGE广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期末考试
试题
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理一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的)若,则( )1B.C.iD.如图所示,向量A,B,C在一条直线上,且，则( )A.B.C.D.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地”请问此人第天走的路程为( )A.里B.里C.里D.里某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.已知命题,使得,命题对若为真命题,则的取值范围是( )B.C.D.已知直线平行,则实数的值为( )B.C.或D.已知数列的前项和为,,,且对于任意,,满足,则( )A.B.C.D.已知函数,为的导函数,则函数的部分图象大致为( )A.B.C.D.如图,正四棱锥的侧面为正三角形,为中点,则异面直线和所成角的余弦值为 ．B.C.D.函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在,使得不等式成立,则的最小值是( )B.C.D.已知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为,第二行为,第三行为第四行为如图所示,在宝塔形数表中位于第行,第列的数记为,比如若,则( )B.C.D.已知菱形的边长为,，沿对角线将菱形折起,使得二面角的余弦值为,则该四面体外接球的体积为( )B.C.D.二、填空题：（本大题共4小题，共20分）设变量满足约束条件：,则的最大值是 ．函数最小正周期是,则函数的单调递增区间是 ．已知函数,由是奇函数,可得函数的图象关于点对称,类比这一结论得函数…的图象关于点______对称．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）(12分）在中,角的对边分别为.Ⅰ求角的大小；．Ⅱ若,求的取值范围．(12分）已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列且公比大于,,,．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ求数列的前项和(12分）如图,在四棱锥中,平面平面,，，,,是的中点．证明：；设,点在线段上且异面直线与所成角的余弦值为,求二面角的余弦值．(12分）已知椭圆的离心率为,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为,当动点在定直线上运动时,直线、分别交椭圆于、两点,求四边形面积的最大值．(12分）已知函数．当时,求函数在处的切线方程；令,求函数的极值；若,正实数满足,证明：．(22题、23题选择一道作答)22、(10分）在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,直线的参数方程为(为参数．若,求与的交点坐标；若上的点到距离的最大值为,求．(10分）已知函数解不等式设函数最小值为,若实数、满足,求最小值．汕头市金山中学2020级高三上学期期末理科数学参考答案1-12CDDDAAAAABDB13.814.,15.16.解：由,利用正弦定理可得：,化为：．由余弦定理可得：,．．Ⅱ在中有正弦定理得,又,所以,,故,因为,故,所以,,故b+c的取值范围是（2，4]．解：Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q．由已知,得,而,所以,又因为,解得,所以．由,可得,由,可得,联立,解得,,由此可得．所以的通项公式为,的通项公式为；Ⅱ设数列的前n项和为,由,有,,上述两式相减,得,得．所以数列的前n项和为．19.证明：(1),,平面平面PAD,交线为AD,平面PAD,,在中,,,,,,平面PAB,平面PAB,．解：如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴,射线PA为y轴,建立空间直角坐标系,,,,0,,1,,1,,,0,,设,则,,,又,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,,整理,得,解得或舍,,设平面MAB的法向量y,,则,取,得,由知平面PAB,平面PAD的一个法向量为0,,．二面角的余弦值为．20.解：Ⅰ根据题意,椭圆C：的离心率为,则有,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为,则有,又,解得,,,故椭圆C的方程为；Ⅱ由对称性,可令点,其中．将直线AM的方程代入椭圆方程,得,由,得,则．再将直线BM的方程代入椭圆方程得,由,得,则．故四边形APBQ的面积为．由于,且在上单调递增,故,从而,有．当且仅当,即,也就是点M的坐标为时,四边形APBQ的面积取最大值6．21.解：当时,,则,所以切点为,又,则切线斜率,故切线方程为：,即；,所以,当时,因为,所以．所以在上是递增函数,无极值；当时,,令,得或,由于,所以．所以当时,；当时,,因此函数在是增函数,在是减函数,当时,函数的递增区间是,递减区间是,时,有极大值,综上,当时,函数无极值；当时,函数有极大值,无极小值；由,,即．,所以,令,且令,则由,得,,,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增．所以,所以,解得或,又因为,,因此成立．22.解：曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是：；时,直线l的参数方程化为一般方程是：；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为和的参数方程为参数化为一般方程是：,椭圆C上的任一点P可以表示成,,所以点P到直线l的距离d为：,满足,且的d的最大值为．当时,即时,解得和,符合题意．当时,即时,解得和18,符合题意．23.解：当时,则,解得：,当时,则,解得：,当时,则,此时无解,综上,不等式的解集是；由知,当时,,当时,则,当时,则,故函数的最小值是2,故,即,则,当且仅当且,即,取“”,故的最小值是．
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