诱导公式及其运用[学习目标]了解诱导公式的推导；熟记诱导公式；熟练运用诱导公式解决问题。[重点难点]诱导公式的熟练运用。[知识结构]一、诱导公式的推导当角的概念作了进一步的推广之后，求任意角三角函数值的问题，主要运用诱导公式将之转化为锐角三角函数的求值。由任意角三角函数的概念，可知终边相同的角的同名三角函数值相等。而终边相同的角的大小一定相差2π的整数倍，故有第一组诱导公式:（诱导公式一）通过诱导公式一，可将任意角的三角函数值转化成一个周内角β(β∈[0,2π))的三角函数值。我们还需要将任意一个周内角β的三角函数值转化成锐角三角函数值。对于满足的β，可令β=π-α()或；对于满足的角β，可令β=πα()或；对于满足的角β，可令β=2π-α()或；当β为0，这些轴上角时，可特殊情况特殊处理，直接由定义得出它们的三角函数值。综上，就可以将任意一个周内角三角函数的求值问题解决了。1.πα与α如图，在同一坐标系中做出角α与角πα。易知:角α终边OP1与角πα终边OP2在同一条直线上，且点P1与P2关于原点对称。分别作α与πα的正弦线与余弦线，显然有M1P1=-M2P2, OM1=-OM2,故有∴我们将以上四个公式并为一组，称为诱导公式二。2．下面我们先来观察-α与α角三角函数关系。若α终边为OP1，P1为α终边与单位圆交点，-α角终边OP2，P2为-α终边与单位圆交点，显然，P1与P2两点关于x轴对称。分别作α与-α的正弦线与余弦线（如图），易知MP1=-MP2，OM=OM，故有sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα由，有tan(-α)=-tanα从而有cot(-α)=-cotα我们将上面四式称为诱导公式三。3．π-α与α类似地，通过作图，可以发现π-α终边与α终边关于y轴对称，故易有诱导公式四:4.与α。学习了两角和与差三角函数公式后，易得诱导公式五、六、七、八:sin(π/2α)=cosα,cos(π/2α)=-sinαtan(π/2α)=-cotα,cot(π/2α)=-tanα （公式五）二、公式的记忆有记忆口诀如下:“奇变偶不变，符号看象限”。所谓“奇”，指括号内前角为的奇数倍，如诱导公式五、六、七、八；所谓“变”，指当括号内前的角为的奇数倍时，右面的三角函数名称要变为与符号左边三角函数名互余的名称，如左正弦右余弦，左余切右正切；所谓“偶不变”，指当括号内前角为的偶数倍时，如诱导公式一、二、三、四，三角函数名称不变，左右应一致；所谓“符号看象限”，指诱导公式中等号左边角看成锐角，角所在象限的其三角函数值的符号，即为等号右边所加的符号。如cos(π-α),将α看成锐角，则π-α是第二象限角，余弦值为负，故cos(π-α)=-cosα。三、诱导公式的运用求任意角三角函数值的问题，都可通过诱导公式，化归为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化周内角”→“周内角化锐角”→求值。[典型例题分析]例1．计算。解:原式=例2．已知，求的值。分析:观察题目中各角关系，注意到。解:例3．已知求(1)sinα-cosα的值；(2)sin3(2π-α)cos3(2π-α)的值。分析:由最简化原则，应对已知等式进行化简。由已知有。(1)欲求sinα-cosα,考虑到(sinαcosα)2(sinα-cosα)2=2∴∵, ∴sinα>0,cosα<0。∴sinα-cosα>0,∴。(2)∵而例4．(1)已知，求sin(α-9π)的值。(2)已知，求的值。解:(1)由，得，若α是第一象限角，则sin(α-9π)=-sin(9π-α)=-sin(π-α)；若α是第四象限角，则sin(α-9π)=。(2)注意到∴例5．化简解:原式(1)当n为奇数时，设n=2k1,k∈Z。则原式注意到∴上式当n为偶数时，证n=2k,(k∈Z)。则原式例6．设,求。解:先化简f(θ)。∵例7．ΔABC中，若,求ΔABC的三个内角。解:由已知:.....(1) ....(2)(1),(2)两式左右两边同时平方相加得:sin2A3cos2A=2sin2B2cos2B=2∴12cos2A=2, ∴, ∴。当时，由(2)式，，∴。当时，由(2)式，，∴这时AB>π，不合题意。综上，。例8．已知解:∵|cos(π-θ)|=|cosθ|=cosθ, ∴cosθ≥0,∵, ∴tanθ=-α2≤0。∴θ为第四象限角或θ角终边在x轴上。∴。
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