上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大
题
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，总分100分，此中A*表示矩阵A的共轭转置.一、单项选择题（每题3分，共15分）1001.设A100，则A200A199()100（A）E；（B）0；（C）A；（D）A2.2.以下会集对所给运算构成实数域上线性空间的是()（A）次数等于m(m1)的实系数多项式的会集，对于多项式的平时加法和数与多项式的平时乘法；B）Hermite矩阵的会集，对于矩阵的平时加法和实数与矩阵的平时乘法；C）平面上全体向量的会集，对于平时的加法和以下定义的数乘运算kxx0，k是实数，x0是某一取定向量；D）投影矩阵的会集，对于矩阵的平时加法和实数与矩阵的平时乘法.线性变换为正交变换的必需而非充分条件的是()A）保持向量的长度不变；（B）将
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正交基变成标准正交基；C）保持任意两个向量的夹角不变；（D）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.设A是幂等矩阵，则以下命题中不正确的选项是()（A）A与对角矩阵相似；（B）A的特色值只可能是1也许0；（C）sin(A)sin(1)A；（D）幂级数Ak(EA)1.k0设V1,V2是V的两个线性子空间，则与命题“V1V2的任意元素的分解式独一”不等价的命题是()（A）V1V20；（B）dim(V1V2)dimV1dimV2；（C）V1V2的零元素的分解式独一；（D）[V1V2]V.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V的线性变换T1:VV与T2:VV在基1,2下的矩阵分别为1010A1,B.2201、T1,T2的乘积T1T2:VV在基1,2下的矩阵为.2、dim().RT13、()(T2)的一个基为.RT1N4、若常数k使得k(AB)为幂收敛矩阵，则k应该满足的条件是5、A0的Jordan标准型为.BB三、计算题（12分）向量空间R22中的内积平时定义为22(A,B)aijbij,(A(aij)22,B(bij)22.)i1j1采用A11101，构造子空间W[A1,A2].0,A21101、求W的一组基；2、利用已知的W和W求R22的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知200A031.0111、求矩阵A的Jordan标准型J和可逆矩阵P使得A相似于J；2、计算矩阵eA；3、求以下微分方程组的解dxAx,11.dtx0x(0)x0,1五、计算题（10分）设ACmn的秩为r，A的奇异值分解为AUDV*，D.O，OOmndiag(s1，s2,,sr).求矩阵B(AA)的奇异值分解和它的Moore-Penrose广义逆.六、计算题（18分）设多项式空间P4[t]{f(t)a0a1ta2t2a3t3aiR}中的线性变换为Tf(t)(a0a1)(a1a2)t(a2a3)t2(a3a0)t3.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A；2、求与A相关的四个子空间(),(),(T)和T；N(A)NARARA3、求线性变换T的值域的基与维数；4、求线性变换T的核的基与维数.七、证明题（6分）设ACnn.证明A是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B，使得AB2.八、证明题（6分）A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必需条件是存在常数项不等于0的多项式g()使得g(A)0.
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