平面直角坐标系中的伸缩变换【三维目标】知识与技能目标：引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步理解坐标法；过程与方法目标：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程，培养学生严谨的思维品质；情感、态度与价值观目标：在合作交流中学习，培养学生的交流能力及自主探究的意识•【教学重点】通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换【教学难点】求伸缩变换时，系数对应成比例【教学方法】探究式教学【教学手段】多媒体教学【教学过程】一、复习回顾（3分钟）前面一节课我们学习了平面直角坐标系，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合；在必修4模块中，我们学习了三角函数图象的平移伸缩变换，你能说出怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=Asinwx（w>0）吗？（活动：请学生回答）提示：1、y=sinx纵坐标不变*y=sinwx横坐标不变y=Asinwx~横坐标变为需纵坐标变A倍横坐标不变纵坐标不变2、y=si门乂纵坐标变A倍y=Asi门赵横坐标变为命*y=Asi门赵今天，我们学习平面角坐标系中的伸缩变换.二、新知探究1、问题情境：（4分钟）（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?（活动：学生一起回答）（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?提示：(1)y=sinx（多媒体展示）纵坐标不变横坐标变为2*y=sin2x，如图:（多媒体展示）（2）y=sinx横坐标不变y=3sinx，如图:纵坐标变为3倍.（6分钟）2、思考:从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，横坐标x变1为原来的2”“横坐标不变，纵坐标y变为原来的3倍”的实质是什么？（活动：让学生分组讨论探究，分组回答）提示：y=sinx►y=sin2x点p（x,y）►点p（x',y）“保持纵坐标y不变，横坐标x变为原来的1”，将其变成符号语言得:1xx2yy我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换•类比前面过程，你能写出问题②所对应的坐标变换公式吗？提示：y=sinx*y=3sinx点p（x,y）k点p（x,y）“横坐标不变，纵坐标y变为原来的3倍”,将其变成符号语言得:XX②y3y我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换•3、提出问题（3分钟）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?（活动:请学生回答）实际上，这是上述问题（1）（2）的“合成”，如图：（多媒体展示）y=sinx纵坐标不变.横坐标不变y=3sin2x横坐标变为1/2*y=sin2x纵坐标变为3倍'点p(x,y)►点p(x‘，y')x我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。x1x它的坐标对应关系式为：2③4、探究：结合前面研究过的问题，由具体到一般，你能得出些什么？（4分钟）(提示：y=sinx*y=Asinwx)（活动：请多名同学答）把大家所说的概括起来，就得到平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义:定义:设点p（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换注意：1、入>0,口>0;的作用下，点p（x,y）对应到点p（x,y）,称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换•（黑板板
书
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且多媒体展示）上述①②③式都是坐标伸缩变换，在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来
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示•（注意坐标法思想的渗透）三、应用示例（7分钟）例1:在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)2x+3y=0(2)x2+y2=1分析：方程2x+3y=0是一条直线，x2+y2=1是一个圆,它经过伸缩变换后图形怎样？直线?首先，我们不妨求它们的方程•解：（1）由伸缩变换将其代入2x3y0,得到经过伸缩变换后的图形方程是xy0.x2x因此，经过伸缩变换后，直线y3y2x3y0变成直线xy0.（如右图）（解答如下，多媒体逐步展示）1x.213y.⑵将y13y.代入x21,得到经过伸缩变换后的图形的22方程是LL1.49x2x因此，经过伸缩变换后,y3y圆x2y21变成椭圆2-1.(如右图)9（多媒体标注）方法归纳：代入法注：教学时，要让学生注意“数”与“形”的对应关系，初步体会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法；与用方程表示图形一样，用坐标伸缩变换可以表示图形的伸缩变换，展现了坐标法思想。四、拓展提升（6分钟）1、在冋一平面直角坐标系中，C的方程；2、在冋一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x,3x曲线c变为曲线x2+9y2=9,求曲线yy求满足下列图形变换的伸缩变换：直线x-2y=2变成2x-y=4.（活动：请两名学生上黑板做，然后对其进行评析，再用多媒体展示参考
答案
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）解：⑴以x,代入x29y29yy得到(3x)29y29化简得到x22y1这就是曲线C的方程x（2）设伸缩变换为x(0),代入2xy4yy(0)得到2xy4将其与x2y2即2x4y4比较，注意：系数对应成比例得到1,/1；故所求伸缩变换为xxy4y点评：第一小题同样是用代入法，将伸缩变换代入变换后的方程，可得原方程；第二小题已知了变换前后的方程，要求伸缩变换，应该先设伸缩变换；让学生进一步尝试与体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法五、随堂练习（4分钟）1、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线x2y2-2x=0变成曲线x2-16y2-4x=0.（用多媒体展示参考答案）解：设伸缩变换为得(X)$22xy216(y)22y16将其与得到2,2x12xx(y(0比较故所求伸缩变换为y2x1六、课堂小结(用多媒体展示)1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换0,代入x216y4x0,注意:1、＞,^＞0;2、形式统一，系数对应成比例.入＞0,卩＞0；形式统一，系数对应成比例;(y,(0)0)(2分钟)代入法、坐标法思想，学会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法(1分钟)七、课后思考(用多媒体展示)由例1我们知道，在伸缩变换下，直线变为直线，圆可以变成椭圆；那么，在伸缩变换下，椭圆可能变成什么？双曲线呢？抛物线呢?【板书
设计
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】平面直角坐标系中的伸缩变换定义：设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx,(0)：yy,(0)的作用下，点p(x,y)对应到点p(x,y)，称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.方法归纳：代入法拓展提升(1)学生解答过程拓展提升(2)学生解答过程【教学反思】学生在函数(特别是三角函数)的学习中，对函数图像的伸缩变换有了一定的了解，在平面几何的学习中也接触过图形变换•但两者之间的联系没有建立起来，特别是他们还不知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法.本节课使学生在已有认知的基础上，明确在平面直角坐标系中，可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化，使学生进一步理解了坐标法思想和代入法思想.从上课情况来看，求坐标伸缩变换时，形式要统一，系数要对应成比例是难点，应加强课后练习及辅导.
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