高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案（无答案）新人教A版必修4

PAGE2．2.2　向量减法运算及其几何意义学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一　相反向量思考　实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　相反向量．梳理　(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量．知识点二　向量的减法思考　根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量a－b?答案　(1)利用平行四边形法则．如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OAEC，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝a－b.(2)利用三角形法则．如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.知识点三　|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？答案　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.梳理　当向量a，b不共线时，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①因为|a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1．相反向量就是方向相反的向量．(　×　)提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．2．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是相反向量．(　√　)提示　eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))大小相等、方向相反．3．－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，－(－a)＝a.(　√　)提示　根据相反向量的定义可知其正确．4．两个相等向量之差等于0.(　×　)提示　两个相等向量之差等于0.类型一　向量减法的几何作图例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.考点　向量的减法运算及其应用题点　求作差向量解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c.方法二　如图②，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c.引申探究若本例条件不变，则a－b－c如何作？解　如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.再作eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b－c.反思与感悟　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.求作：b＋c－a.考点　向量的减法运算及其应用题点　求作差向量解　方法一　以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.方法二　作eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，连接AD，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝c－a＋b＝b＋c－a.类型二　向量减法法则的应用例2　化简下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量解　(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．跟踪训练2　化简：(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量解　(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.类型三　向量减法几何意义的应用例3　已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝9，求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|的取值范围．考点　向量减法的定义及其几何意义的应用题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系解　∵||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AD,\s\up6(→))||≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝9，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，∴3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|≤15.当eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))同向时，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3；当eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))反向时，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝15.∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|的取值范围为[3,15]．反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.跟踪训练3　在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形考点　向量减法的定义及其几何意义的应用题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系答案　B解析　∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为矩形.1.如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(BD,\s\up6(→))分别是(　　)A．a＋b和a－bB．a＋b和b－aC．a－b和b－aD．b－a和b＋a考点　向量减法的定义及其几何意义题点　向量减法的定义及其几何意义答案　B解析　由向量的加法、减法法则，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.故选B.2.eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))等于(　　)A.eq\o(QP,\s\up6(→))B.eq\o(OQ,\s\up6(→))C.eq\o(SP,\s\up6(→))D.eq\o(SQ,\s\up6(→))考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　B3．下列等式成立的个数是(　　)①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.A．5B．4C．3D．2考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　B解析　由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．4.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))及eq\o(CE,\s\up6(→)).考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　用已知向量表示未知向量解　∵四边形ACDE是平行四边形，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.一、选择题1．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的结果是(　　)A.eq\o(MP,\s\up6(→))B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0D.eq\o(MN,\s\up6(→))考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法表示向量答案　C解析　eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝0.2．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))等于(　　)A.eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\o(BD,\s\up6(→))考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　几何图形中的向量加、减法运算答案　C解析　在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).3．在边长为1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|的值为(　　)A．1B．2C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　D解析　如图，作菱形ABCD，则|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(3).4．(2020·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为eq\o(AB,\s\up6(→))的是(　　)①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).A．①④B．①②C．②③D．③④考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　A解析　因为eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以①正确，排除C，D；因为eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以④正确，排除B，故选A.5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　几何图形中的向量加、减法运算答案　A解析　eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0.6．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是(　　)A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)考点　向量减法的定义及几何意义题点　向量减法的三角不等式答案　C解析　∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|且||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴3≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤13，∴3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.7.如图，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up6(→))等于(　　)A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c考点　向量加减法的综合运算及应用题点　用已知向量表示未知向量答案　A二、填空题8．化简：(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝________.考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　(1)0　(2)eq\o(AB,\s\up6(→))解析　(1)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝0；(2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).9．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法运算求向量的模答案　13解析　∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5，∠AOB＝90°，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13.∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∴a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝13.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　几何图形中向量的加、减法运算答案　eq\o(CA,\s\up6(→))11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________.考点　向量减法的定义及其几何意义的应用题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系答案　2解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，M是线段BC的中点，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则(1)|a＋b＋c|＝________；(2)|a－b＋c|＝______.考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法运算求向量的模答案　(1)2eq\r(2)　(2)2解析　(1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，∴延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up6(→))，且|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).∴|a＋b＋c|＝2eq\r(2).(2)作eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，连接CF，则eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，而eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))且|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13.如图所示，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))相等的向量有________．(填序号)①eq\o(CF,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(DA,\s\up6(→))；④eq\o(BE,\s\up6(→))；⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)).考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　几何图形中向量的加、减法运算答案　①解析　∵eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))，∴填①.三、解答题14．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.考点　向量减法的定义及其几何意义的应用题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系解　(1)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.(2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直．