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_1713875083738_0授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的几何意义和二角形式教案目标知识目标：了解复"的概念；掌握复数的几何表示和向量表示；理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的三角形式及其特征。能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）;会进行复数的三角形式与代数形式的互化。情感目标：E学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。教案重点用夏半面上的点、向里和二角形式表小夏数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。教案难点复数几"示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法。教案资源课本，教案参考书，学习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补充、删节内容）复数的几"杨日向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教案时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。板书设计17.3复数的几何意义和二角形式复平面例1例3复数的几何表小复数的向量表示例2复数的三角形式教后记教案程序和教案内容（包括课外作业和板书设计）师生活动PAGE\*MERGEFORMAT#/6一、引入新课根据复数的定义，复数表示为z=a+bi（a,bwR）的形式，我们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？二、讲授新课复平■面在平面上建立直角坐标系xOy,横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平■面叫做复平■面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。复数的几何表小有序实数对（a，b）与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式z=a+bi可以知道，任何一个复数z=a+3（a,NR）,都可以有一个有序的实数对（a，b）唯一确定，即复数图1z=a+bi与有序实数对（a，b）之间对应。由此可知，复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数z=a+bi都可以用复平■面内的点Z（a，b）来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。学生思考并回答想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平■面的什么位置？（复平■面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内.）复数的向量表示直角坐标系内的点Z（a，b）q始点在原点的yOZ=（a，b）是对应的，因此，复数z=a+bi也与向量0Z=（a，b）对应，其中复数0对应零向量，仕何复数z=a+bi可以表示为复平面内以原点0为起点的向量0Z,我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。Z（a，b）学生思考并回答把复数z=a+bi表示为向量OZ=（a，b），那么把向量0Z的模（长度）叫做复数z=a+bi的直，记作lz.122-由图2容易得到，a*bi"a+b，特别地，b=。时，af是实数，它的模就等丁lao复数的模有以下性质：①复数的模是一个非负实数，即Zl油；②互为共轴复数的两个复数的模相等，即以=Z。必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小。以x轴的正半轴为始边，向宅0^所在的射线为终边的角称为复数a+bi的辐角，它表示向量0Z的方向，复数。的辐角是任意的。一个不等丁零的复数a+bi的辐角不唯一，这些值相差2览的整数倍，即若°是复数z的一个辐角，那么2K江+6（kwz）也是复数z的辐角，我们把复数在。，2兀）内的辐角叫做辐角的主值，记作a「gz。想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？由图2可知，复数z=a+bi（a。。）的辐角主值8=argz所在师生共同完成的象限与复数z=a+bi相对应的点z（a，b）所在的象限相同，并且tan=a例1求下列复数的模和辐角主值（1）E（2）解：（1）1」="1tan-乂a=1,点（1,1）在第一象限。所以B=arg(1+i)=—tan-学生讨论并回答有<3，点（*3,-1）在第四象限，所以119—arg(v'3—i)=2丸一—66想一想：怎样求复数z=3-4i的辐角？复数的三角形式如图2所示，设复数a+3的模为r,辐角为0,贝U"a=rcos0b=rsin6于是a+bi=rcos6+irsinB=r(cosB+isinB)学生讨论并回答复数的三角形式有三个特征：①模r芝0。②括号内的实部是余弦，虚部是正弦，且是同一个辐角值0的正弦和余弦③三个特征中只要有一个不满足，则表达式就不是复数的三角形式。我们把复数的表示形式z=r(cose+isine)称为复数的三角形式，这种表示形式是用复数的模和辐角来表示复数，复数z=0的三角形式仍然是z=0想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？isin8+cos^(2)2cos(-30J+isin(-3。j】5(cos四+isin三)(366复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化，把复数的代数形式转化为三角形式时，通常取日为复数的辐角主值。例2把下列复数转化为代数形式5二..5二、4(cos——+isin—)TOC\o"1-5"\h\z66<2cos(-45°)+isin(-45°)】师生共同完成例2和例3,5二5二、314(cos一+isin—)4乂(一—+一I)=一2"'3+2i解：(1)66=22J认os(-45°)+isin(-45°)]=""(、一="例3把下列复数转化为三角形式(1)-1;(2)2i；(3)西一]解：（1）r=寸（-1+。=1,辐角主值为0=a「g（-6=兀,所以-1=cos二isin二3T22argi.2i=（2）r=十。+2=2辐角主值为9=2,所以2（cos—+isin机）学生讨论并回答2i=222…2-tan「T=-：（3）「=*3+（—1=2,由V33和点教师引导学生总结复数的代数形式化为三角形式的方法步骤学生练习教师讲评学生总结教师补充（足-1在第四象限，得11■8=arg（J3—i）=2览TOC\o"1-5"\h\z66/11二11二、厂2（cos+isin）所以展-i=66想一想：怎样把复数z=3+4i表示成三角形式？复数的代数形式z=a+bi化为复数的三角形式一般方法步骤是：b2.2^tan'①求复数的模：»a+b；②由a及点（a，b）所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。三、课堂练习课本P64练习1、2四、课堂小结1、复数与复平■面内的点及向量一一对应；2、复数的模、辐角及辐角主值；3、复数三角形式的三个特征及复数的代数形式化为三角形式一般方法步骤。五、布置作业课本P68练习1、2、3、4
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