利用相似三角形测高【学习目标】1．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
)等的一些实际问题．2．能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．【学习难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．情景导入 生成问题在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？自学互研 生成能力eq\a\vs4\al(知识模块一 探索利用相似三角形测高的方法)先阅读教材P103－104的内容，然后完成下面的填空：测量旗杆高度的常见方法有：(1)利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形；(2)利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形；(3)利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形．图1内容：1.利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长．图2点拨：把太阳的光线看成是平行的．∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BE,DB)，即CD＝eq\f(AB·BD,BE)，代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．图32．利用镜子的反射操作方法：如图3，选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角．∵入射角＝反射角，∴∠AEB＝∠CED.∵人、旗杆都垂直于地面，∴∠B＝∠D＝90°，∴△AEB∽△CED，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BE,DE)，∴CD＝eq\f(AB·DE,BE).因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．eq\a\vs4\al(知识模块二 利用相似三角形测高的应用)1．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5m的标杆DF，如右图，量出DF的影子EF的长度为1m，同一时刻测量旗杆AC的影子BC的长度为6m，那么旗杆AC的高度为( D )A．6m B．7m C．8.5m D．9m2．如右图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为9m．典例讲解：如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，CE＝30米，求BC.由于△ADF∽△AEC，eq\f(DF,EC)＝eq\f(AF,AC)，又△AGF∽△ABC，∴eq\f(AF,AC)＝eq\f(GF,BC)，∴eq\f(DF,EC)＝eq\f(GF,BC)，从而可以求出BC的长．解：∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF＝∠AEC，∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴eq\f(DF,EC)＝eq\f(AF,AC).又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG＝∠ACB，∠AGF＝∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴eq\f(AF,AC)＝eq\f(GF,BC)，∴eq\f(DF,EC)＝eq\f(GF,BC).又DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，EC＝30米，∴BC＝6米．即电线杆的高为6米．对应练习：教材P105页习题4.10的第1题．解：设建筑物高度为x米，则eq\f(x,24)＝eq\f(4,6)，得：x＝16，答：建筑物高度为16米．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索利用相似三角形测高的方法知识模块二 利用相似三角形测高的应用检测反馈 达成目标1．要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出( B )A．仰角 B．树的影长C．标杆的影长D．都不需要2．如图，是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么该古城墙CD的高度是( B )A．6m B．8m C．18m D．21m3．小明想知道学校旗杆的高，在他与旗杆之间的地面上直立一根2米的标竿EF，小明适当调整自己的位置使得旗杆的顶端C、标竿的顶端F与眼睛D恰好在一条直线上，量得小明高AD为1.6米，小明脚到标杆底端的距离AE为0.5米，小明脚到旗杆底端的距离AB为8米．请你根据数据求旗杆BC的高度．解：证△DCG∽△DFH，求得CG＝6.4米，BC＝8米．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________
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