中考中与平行四边形有关的动点问题探究

学习必备欢迎下载中考中与平行四边形有关的动点问题探究例120XX年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．1）直接用含t的代数式分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1图2思路点拨1．菱形运动的时间PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．P2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答1）QB＝8－2t，PD＝4t．32）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3在Rt△APE中，cosAAE23，所以t10．APt53当PQ//AB时，CQCP，即CQ61032．3．解得CQCBCA869所以点Q的运动速度为321016．9315学习必备欢迎下载（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（6t，t）．经验证，点M（6t，t）在直22线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．图4图5图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，9a3bc0,得abc4,解得a＝0，b＝－2，c＝6．4a2bc2.所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．例220XX年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．学习必备欢迎下载图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为代入点C(3,0)，可得a＝－1．22所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋4＝－x＋2x＋3．y＝a(x－1)2＋4，（2）因为PE//BC，所以APAB2．因此PE1AP1t．PEBC22所以点E的横坐标为11t．2将x11t代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝41t2．24所以点G的纵坐标为41t2．于是得到GE(41t2)(4t)1t2t．444因此SACGSAGESCGE1GE(AFDF)1t2t1(t2)21．244所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）t20或t2085．13考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关E(11t,4t)，F(11t,4)，Q(3,t)，C(3,0)．22如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此(1t2)2(4t)2t2．2整理，得t240t800．解得t12085，t22085（舍去）．学习必备欢迎下载如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此(1t2)2(42t)2t2．2整理，得13t272t8000．(13t20)(t40)0．所以t120，t240（舍去）．13图2图3例320XX年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y3x3的图象与y轴交于点A，点M4在正比例函数y3x的图象上，且MO＝MA．二次函数2y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．1）求线段AM的长；2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y3x3的图象上，且4四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，y3x33，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．4学习必备欢迎下载如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3．将y322代入y3x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,3)．因此AM13．222c3,（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,3)，所以3解得b5，21bc.22c3．所以二次函数的解析式为yx25x3．23）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入yx25x3，得232m16m210m3．解得m1或者m＝0（舍去）．2因此点C的坐标为（2，2）．图2图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为(7,27)．416学习必备欢迎下载图4例420XX年江西省中考第24题将抛物线c1：y3x23沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．3．根据矩形的对角线相等列方程．满分解答（1）抛物线c2的表达式为y3x23．（2）抛物线c1：y3x23与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)．学习必备欢迎下载抛物线c2：y3x23与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m,3)，与x轴的两个交点为A(1m,0)、B(1m,0)，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(m,3)，与x轴的两个交点为D(1m,0)、E(1m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时AB1AE2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．3情形二，如图3，B在D的右侧，此时AB2AE2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解3得m1．2图2图3图4②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．考点伸展第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．例520XX年山西省中考第26题在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以学习必备欢迎下载OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．1）求点B的坐标；2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2思路点拨1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．满分解答(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2)因为OE＝2EB，所以xE2xB2，yE2yB4，E(2,4)．33b5,1设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得k，2kb4.2b5．所以直线DE的解析式为y1x5．12(3)由y5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．x2①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,5)，点N的坐标为(－5,5)．22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．学习必备欢迎下载由△NPO∽△DOF，得NPPONO，即NPPO5．解得NP5，DOOFDF51055PO25．此时点N的坐标为(25,5)．图3图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5图6例620XX年江西省中考第24题学习必备欢迎下载如图1，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．图1思路点拨1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．满分解答1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．把x＝1代入yx22x3，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．因此DE=2．因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为(m,m3)，点F的坐标为(0,m22m3)，因此FP(m22m3)(m3)m23m．当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到m23m2．解得m12，m21（与点E重合，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．学习必备欢迎下载②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此SSBCFSBPFSCPF1FPOM1FPBM221(m23m)33m29m．222m的变化范围是0≤m≤3．图2图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此yDyFyPyE．于是4(m22m3)(m3)2．解得m10（与点CE重合，舍去），m21（与点E重合，舍去）．因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．图4学习必备欢迎下载