三角恒等变换

第四讲 三角恒等变换 ? 课前预习 1、化简的结果为（ ）. cos(,，,)cos,，sin(,，,)sin, A.cos, B. C. D. cos(,，2,)cos(2,，,)cos, 解：C. 3,,2、若,，,,(,,)，则sin(,,)的值是（ ） sin,524 727222 A. B. C. D. ,,10101010解：B. ,,3、化简sin(，,)，cos(，,)的结果为____________. 44 解：填2cos,. ,,4、若tan(,，),2tan(,,),，则_____________. 88 ,,,1解：填tan(,,),tan[(,，),].（提示：） 3884 ,,5、3cos,sin,____________. 1212 解：填2. ?课堂典例精讲 22sinx,cosx例1：若，则x的取值范围是( ) ,,,,(A){x|k,,,x,k,，,k,Z}{x|2k,,,x,2k,，,k,Z} (B) 4444 ,3,,3,(C){x|2k,，,x,2k,，,k,Z}{x|k,，,x,k,，,k,Z} (D) 4444 本题主要考查学生对三角函数公式的灵活应用. 221,cos2x1，cos2x解法一：由sinx,cosx,，得，即，cos2x,022 ,3,,3,?2k,，,2x,2k,，k,，,x,k,，，即，，?选D. k,Z2244 222222解法二：由sinx,cosxsinx,1,sinx得，即或，故sinx,sinx,,22 ,3,5,7,2n,，,x,2n,，(n,Z)2n,，,x,2n,，(n,Z)或?，而?即4444 ,3,,3,(2n，1),，,x,(2n，1),，k,，,x,k,，(k,Z)，?，选D. 444422解法三：由sinx,cosx(sinx,cosx)(sinx，cosx),0，得，于是 ,,,，故，?，以下同解法一. 2sin(x,),2cos(x,),0sin(2x,),0cos2x,0442 22,解法四：由sinx,cosx，得，当，即时，，|sinx|,|cosx||sinx|,1cosx,0x,n,，2 ,故是原不等式的解；当时，由，得，即x,n,，(n,Z)|sinx|,|cosx||tanx|,1cosx,02 ,,,3,或，故n,，,x,n,，或n,，,x,n,，，综上tanx,1tanx,,14224,3,k,，,x,k,，，，?选D. k,Z44 22,,解法五：当cosx,0sinx,1，即时，，，?是x,n,，(n,Z)cosx,0x,n,，22222原不等式的解；当sinx,cosxtanx,1时，由得，即或，以cosx,0tanx,1tanx,,1下同解法四. ：本题从多种角度给出了比较完整的解答，从解答不难看成解决这类问题的关键在 于灵活运用三角恒等变换的有关公式，不仅会顺用，还学会逆用、变形用.遇见平方关系首先想到的两个公式：降幂公式与同角三角函数关系式. 41例2：已知是锐角，且，，求. ,,,cos,cos,,tan(,,,),,53 已知条件中涉及到两个角,与，而目标中的角是，建立它们之间的联系，,,,,就成为解本题的题眼.注意到,,，即把看作是与的差角，而与看,,,,(,,,),,,,,,,作是单角. 43,,解：?,是锐角，且，?，又由是锐角，则，,,,cos,,sin,,,,,,,,5522 ,1而tan(,,,),,,0,,,,,,0，?， 23 1022310？sin(,,,)，cos(,,,),1，解得，， cos(,,,),sin(,,,),,1010 ? cos,,cos[,,(,,,)],cos,cos(,,,)，sin,sin(,,,) 3104109103=×+×(-)=. 51050510 在有关三角函数的求值问题当中，必须注意已知与未知条件的区别与联系，设法 用已知表示未知，从而有效的利用已知条件. ,,例3：已知向量，. b,(3,1)a,(cos,,sin,) ,,(?)当时，求； tan2,a,b ,,(?)求|a，b|的最大值. 根据题中所给条件，关键是利用向量知识进行转化，使之变成一个纯粹的三角问 题，从而综合利用三角函数的知识解决。 ,,,,解：(?)由3cos,，sin,,0tan,,,3a,b,0得，即，故， a,b 2，(,3),tan,故,,3. tan2,,221,tan,1,(,3) ,,,,,,,,2222,(?)?|a，b|,，(a，b),|a|，2a,b，|b|,1，2(3cos,，sin,)，4,5，4sin(,，),93 ,,,,,故当,，,2k,，,,2k,，(k,Z)|a，b|，即时，故取最大值3. 632 三角函数与向量内容的综合是近年高考题的新动向之一，这种趋势在近期没有改 变的迹象，这类题在使向量内容软着陆的同时，也使三角函数内容篷壁生辉.本题第一小题属三角变换范畴，题目样式、难度与高考题吻合；第二小题利用正弦函数的性质(值域、有界性)求最值，这种思路不仅是求最值的常用思路，也充分地体现了三角函数的复习不一定 成公比为2的等比数列，且也成等比数,,,,,(0,,,2,)sin,,sin,,sin,非要追求高难度，“管用”就行. 例4：已知列，求的值. ,,,,, 分析：由成公比为2的等比数列可得，由也成等,,,,,,,2,,,,4,sin,,sin,,sin, 2比数列可得,sin,,sin,,sin,，将其化为只含的方程即可. 解：？成公比为2的等比数列，？ ,,,,,,,2,,,,4, 22又sin,,sin,,sin,sin2,,sin,,sin4,？？也成等比数列，即 sin,,sin,,sin, ？ sin2,,2sin,cos,,sin,,(2sin2,cos2,) ？ 2sin2,,sin,(cos2,,cos,),0 1224sin,,cos,(2cos,,cos,,1),0,？解得或cos,0,1,,， sin,,02 当或时与也成等比数列矛盾！ sin,,0cos,,0,1sin,,sin,,sin, 1当,cos,,时，又0,,,2,， 2 ,,,,,,2484816？,,,,,,？,,,,,,,,,,或. 333333 反思：本题是数列与三角变换有机结合的一道综合题.解题时，三角变换是工具，方程思想 是本质. ,1例5：已知函数xy,sinxcos(x，),cos2x，求该函数的最大值，并求取最大值时y62 的集合. 分析：利用三角变换将函数解析式化为形如y,Asin(,x，,)，k的形式，即可求出其最值. ,,1解：由题意可得y,sinx(cosxcos,sinxsin),cos2x 662 3113112,sinxcosx,sinx,cos2x,sin2x,(1,cos2x),cos2x 222442 3111311,11,sin2x,cos2x,,(sin2x,cos2x),x,sin(2,),， 4442224264 ,,1x时，取最大值，此时的集合为. sin(2x,),1{x|x,k,，,k,Z}y643反思：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，这是三角内容在高考中的重点和难当 点，要加强这方面的训练. ?课后练习 A 基础练习 1、下列各式中，最小的是( ). 2A.2cos40:,1 B. 2sin6:cos6: 31C.sin41:,cos41: D. sin50:cos37:,sin40:cos53:22 解：A. 311112、若,,,,2,，则等于( ). ，，cos2,22222 ,,,,A.,,cos B.sin C.cos D.sin 2222解：C. 1123、若,cos,，sin2,tan,，则的值是（ ）. 32 6464A. B. C. D. ,,5555 解：B. 24、已知函数a,f(x),2cosx，3sin2x，a(0,x,,)的最小值为，则______. ,4 ,解：填f(x),1，cos2x，3sin2x，a,2sin(2x，)，a，1,a,1,3.，6？a,1,,4,？a,,3. 111,,5、已知,,,,,(0,),,，,,(,,)cos,,cos(，),,，且，求,的值. 71422 ,1432解：由,,,,,cos,,,,,(0,)，得， sin1cos772 5311,由sin(，),,,cos(,，,),,,,，,,(,,)，得， 14142 ？cos,,cos[(,，,),,],cos(,，,)cos,，sin(,，,)sin, ,11153431 ？,,，. ,,，，，,14714723 2等于（ ）. 2,sin2，cos4B 能力提升 1、化简A.3cos2,3cos2 B. C. D. sin2cos(,,2) 解：D. sin,3132、设,为第四象限角，若，则____________. ,tan2,,sin,5 sin,3sin(,2，,)sin,2cos,，cos,2sin,tan,2，tan,3解：填.,,, ,sin,sin(2,,,)sin2,cos,,cos2,sin,tan2,,tan,4 2tan,，tan,2213,tan,1321,tan,,，解得,,，又因为第四象限角，tan,,,22tan,951，tan,,tan,21,tan, 12tan,3,？,,,？tan,,，tan2,. 2341tan,, ,3、已知两个锐角,tan,tan,,2,3和同时满足：（1）；（2）.试,，2,,120:,2求的值. ,,, ,,3,tan,解：由条件（1）可知,60:,,，，代入条件（2）tan,tan(60:,,),221，3tan,3,tan,2得tan,,(3,3)tan,，2,3,0，整理得，解得,tan,,2,3 1，3tan, tan,,2,3或tan,,1. ,,当tan,,2,3？tan,,2,3tan,10:,,45:时，，而，不合题意； 22 当tan,,1时，由是锐角知,,45:,,,30:. , 4、已知向量，函数. a,(sin2x,cos2x),b,(1,3)f(x),a,b，m ,（1）求函数mx,[0,]f(x)f(x)的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值. 2 ,解：（1）,f(x),sin2x，3cos2x，m,2sin(2x，)，m，最小正周期为； 3 43,,,,,（2）？0,x,,？,2x，,,？,,sin(2x，),1， 233323 3所以2，(,)，m,m,3,5m,5，3f(x)的最小值为，解得. 2 ,sin,，其中. ,cos(,，,),,,,(0,)sin,2 sin,25、已知（1）求证：；（2）求的最大值. tan,,tan,3,cos2, sin,证明：（1）由条件得，得 ,cos,cos,,sin,sin,sin, 2sin,,sin,cos,cos,,sin,sin,， 12整理得sin,(1，sin,),sin2,cos, 2 sin,2sin,2？tan,,,. 23,cos2,2(1，sin,) 解：（2）解法一：由（1）得 ,,,sincostan12,,,,, tan2221，，4,,,2sincos2tan1，2tan,tan, 22等号当且仅当,时取到，此时的最大值为. tan,tan,24解法二：由（1）得sin2,，tan,cos2,,3tan,， 即 sin2,cos,，cos2,sin,,3tan,cos, 3tan,3tan,？sin(2,，,),, 222sin,，cos,1，tan, 2cos, 22由,sin(,，2,),1，知，又因是锐角，. ,3tan,,1，tan,？tan,4 2故tan,的最大值为. 4