2016年高考全国二卷文科数学 (原题解析)

2016年高考全国二卷文科数学 (原题解析)2016年普通高等学校招生全国统一考试 (课标全国卷Ⅱ) 文　数本卷满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3},B={x|x20)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A. B.1 C. D.2 6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的...

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (课标全国卷Ⅱ) 文　数本卷满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 ,共60分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( ) 　　　 A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 2.设复数z满足z+i=3-i,则 =( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B. π C.8π D.4π 5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A. B.1 C. D.2 6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.- B.- C. D.2 7.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A. B. C. D. 9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 11.函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 =( ) A.0 B.m C.2m D.4m 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= . 14.若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为 . 15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b= . 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 18.(本小题满分12分) 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值. 19.(本小题满分12分) 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置. (Ⅰ)证明:AC⊥HD'; (Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE= ,OD'=2 ,求五棱锥D'-ABCFE的体积. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时, f(x)>0,求a的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明: 0)得k=1×2=2,故选D. 6.A　由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 =1,解得a=- ,故选A. 易错警示　圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8). 7.C　由三视图知圆锥的高为2 ,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π, 圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C. 8.B　行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P= = ,故选B. 9.C　执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C. 10.D　函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D. 易错警示　利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因. 11.B　f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B. 思路分析　利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos 转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1]. 12.B　由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以 xi=m,故选B. 疑难突破　关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键. 二、填空题 13. 答案　-6 解析　因为a∥b,所以 = ,解得m=-6. 易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 14. 答案　-5 解析　由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-2×4=-5. 15. 答案　解析　由cos C= ,00等价于ln x- >0.(4分) 设g(x)=ln x- ,则 g'(x)= - = ,g(1)=0.(6分) (i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,因此g(x)>0;(8分) (ii)当a>2时,令g'(x)=0得 x1=a-1- ,x2=a-1+ .(10分) 由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.(11分) 综上,a的取值范围是(-∞,2].(12分) 21. 解析　(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y1>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 . 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分) 将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= ,所以y1= . 因此△AMN的面积S△AMN=2× × × = .(4分) (Ⅱ)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入 + =1得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1·(-2)= 得x1= , 故|AM|=|x1+2| = . 由题设,直线AN的方程为y=- (x+2), 故同理可得|AN|= .(7分) 由2|AM|=|AN|得 = ,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分) 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增. 又f( )=15 -26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在( ,2)内,所以总结　利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率. 24. 解析　(Ⅰ)f(x)= (2分) 当x≤- 时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分) 当-

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