人教版高中数学《三角函数》全部教案

人教版 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 《三角函数》全部 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第四章 三角函数 第一教时 教材:角的概念的推广 目的:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象 限角”“终边相同的角”的含义。 过程:一、提出课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值 来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”， 它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术 中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1(回忆:初中是任何定义角的,(从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭 隘” 2(讲解:“旋转”形成角(P4) 突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边” x“始边”往往合于轴正半轴 3(“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 ,,记法:角或 可以简记成 ，, 4(由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1: 角有正负之分 如:,=210: ,=,150: ,=,660: 2: 角可以任意大 实例:体操动作:旋转2周(360:×2=720:) 3周(360:×3=1080:) 3: 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 x 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来， 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在 坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) 例如:30: 390: ,330:是第?象限角 300: ,60:是第?象限角 585: 1180:是第?象限角 ,2000:是第?象限角等 四、关于终边相同的角 1(观察:390:，,330:角，它们的终边都与30:角的终边相同 2(终边相同的角都可以表示成一个0:到360:的角与个周角的和 k(k,Z) 390:=30:+360: (k,1) ,330:=30:,360: 30:=30:+0×360: (k,,1) (k,0) 1470:=30:+4×360: (k,4) ,1770:=30:,5×360: (k,,5) 3(所有与,终边相同的角连同,在内可以构成一个集合 ,,,S,,|,,,，k,360,k,Z 即:任何一个与角,终边相同的角，都可以表示成角,与整数个周角的和 4(例一 (P5 略) 五、小结: 1: 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2:“象限角”与“终边相同的角” 六、作业: P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1 第三教时 教材:弧度制 目的:要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的 集合与实数集一一对应关系的概念。 R 过程:一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 B C l=2 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心r r 2rad 1rad r 角称为1弧度的角。 A A o o 如图:，AOB=1rad ，AOC=2rad 周角=2,rad 1(正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 lr2(角,的弧度数的绝对值 ,(为弧长，为半径) ,lr 3(用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住:360:=2,rad ?180:=, rad , ? 1:= rad,0.01745rad180 ,180,,,, 1rad,,57.30,5718',,,,, , 例一 把化成弧度 6730' ,,131,,,,6730',，67, 解, ? rad,rad6730',67,,180282,, 3 例二 把化成度 ,rad5 33,, 解, ,rad,，180,10855 注意几点:1(度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进 行; 2(今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省 略 如:3表示3rad sin,表示,rad角的正弦 3(一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住(见课本P9 表) 4(应确立如下的概念:角的概念推广之后，无论用角度制还是 弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应 的关系。 正实数 正角 零 零角 负实数 负角 任意角的集合 实数集R 四、练习(P11 练习1 2) x 例三 用弧度制表示:1:终边在轴上的角的集合 2:终边在轴y 上的角的集合 3:终边在坐标轴上的角的集合 x,, 解:1:终边在轴上的角的集合 S,,|,,k,,k,Z1 ,,,S,|,k，,k,Z 2:终边在轴上的角的集合 ,,,y,,22,, k,,,S,|,,k,Z终边在坐标轴上的角的集合 3:,,,,32,, 例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7 五、 小结:1(弧度制定义 2(与弧度制的互化 六、作业: 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3 第四教时 教材:弧度制(续) 目的:加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的 问题。 过程:一、复习:弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答《教学与测试》P101-102 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 1—5 并注意紧扣， 巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二 nrl, 二、由公式: 比相应的公式l简单 ,,,,l,r,,180r 弧长等于弧所对的圆心角,的弧度数,的绝对值与半径的积 1 例一 (课本P10例三) 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇S,lRl2 形弧长，是圆的半径。 R 12 证, 如图:圆心角为1rad的扇形面积为:R ,2, lR 弧长为的扇形圆心角为 radlRo l S l112 ?S,,,,R,lR R22, 2n,RS, 比较这与扇形面积公式 要简单 扇360 例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对 ,4,的弧长 ? ? 165 3 440,,l,,r,，10,(cm) 解, ?: r,10cm,33 11,,, ?: ?165,，165(rad),rad18012 1155,, l,，10,(cm)126 例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形 AOBA B 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 o 解,设扇形的半径为r，弧长为，则有 l 2r，l,6,r,2,1,2l ? 扇形的面积 ,S,rl,2(cm),,,1l,22,,r, ,例四 计算 sintan1.54 2,,,,sin,sin45, 解,? ? ,45424 ,,, 1.5rad,57.30，1.5,85.95,8557' ,? tan1.5,tan8557',14.12 例五2k,(k,Z) 将下列各角化成0到的角加上的形式 2, 19,? ? ,,3153 ,19 解, ,,，6,33 ,,,, ,315,45,360,,2,4 60 例六 求图中公路弯道处弧AB的长(精确到1m) l R=45 图中长度单位为:m ,, 解, ? , 603 ,? l,,R,，45,3.14，15,47(m) ,3 三、练习:P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业: 课本 P11 -12 练习8、9、10 P12-13 习题4.2 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思考题 第五教时 教材:任意角的三角函数(定义) 目的:要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解,角与,=2k,+,(k,Z) 的同名三角函数值相等的道理。 过程:一、提出课题:讲解定义: 1(设,是一个任意角，在,的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y) 2222r,x，y,x，y,0(图示见P13略) 则P与原点的距离 yy2(比值叫做,的正弦 记作: , sin,rr xx, 比值叫做,的余弦 记作: cos,rr yy, 比值叫做,的正切 记作: tan,xx xxcot,, 比值叫做,的余切 记作: yy rr,比值叫做,的正割 记作: sec,xx rrcsc,, 比值叫做,的余割 记作: yy 注意突出几个问题: ?角是“任意角”，当,=2k,+,(k,Z)时，,与,的 同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相 等。 ?实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。(下 面有例子说明) ?三角函数是以“比值”为函数值的函数 ?，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数r,0 的符号应由象限确定(今后将专题研究) ?定义域: ,,Ry,siny,cot ,,R y,cosy,sec ,y,tan,y,csc,,k，(k,Z),,2 ,,,k(k,Z) ,,,,k，(k,Z) 2 ,,k,(k,Z) 二、例一 已知,的终边经过点P(2,,3)，求,的六个三角函数值 22y 解,x,2,y,,3,r,2，(,3),13 o x P(2,-3) 313213 ?sin,=, cos,= 1313 32 tan,=, cot,=, 23 1313 sec,= csc,=, 23 例二 求下列各角的六个三角函数值 ,3, ? 0 ? , ? ? 22 解,? ? ?的解答见P16-17 , ? 当,=时 x,0,y,r2 ,,,, ?sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 2222 ,, sec不存在 csc=1 22 cosxtanx例三 《教学与测试》P103 例一 求函数的值域 y,，cosxtanx 解, 定义域:cosx,0 ?x的终边不在x轴上 又?tanx,0 ?x的终边不在y轴上 ?当x是第?象限角时，x,0,y,0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| ?y=2 x,0,y,0 „„„„?„„„„,|cosx|=,cosx |tanx|=,tanx ? y=,2 x,0,y,0 „„„„??„„„, |cosx|=,cosx |tanx|=tanx ?y=0 x,0,y,0 例四 《教学与测试》P103 例二 ? 已知角,的终边经过P(4,,3),求2sin,+cos,的值 ?已知角,的终边经过P(4a,,3a),(a,0)求2sin,+cos,的值 342解,?由定义 : sin,=, cos,= ?2sin,+cos,=, r,5555 342 ?若 则sin,=, cos,= ?2sin,+cos,=, a,0r,5a555 342 若 则sin,= cos,=, ?2sin,+cos,= a,0r,,5a555三、小结:定义及有关注意内容 四、作业: 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 《教学与测试》P104 4、5、6、 7 第六教时 教材:三角函数线 目的:要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数 的定义域、值域有更深的理解。 过程:一、复习三角函数的定义，指出:“定义”从代数的角度揭示了三角函数 是一个“比值” 提出课题:从几何的观点来揭示三角函数的定义: 二、 用单位圆中的线段表示三角函数值 三、新授: 2(介绍(定义)“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆 3(作图:(课本P14 图4-12 ) 此处略 …… …… ……… …… …… x 设任意角,的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合， 角,的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B 两点 过P(x,y)作PM,x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与, 角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与,角 的终边或其反向延长线交于S (简单介绍“向量”(带有“方向”的量—用正负号表示) 4 “有向线段”(带有方向的线段) 方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。 例:有向线段OM，OP 长度分别为 x,y 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具x,0 有正值x 若 OM看作与x轴反向 x,0 OM具有负值x yy5(sin,,,,y,MP r1 xx cos,,,,x,OM 有向线段r1 MP,OM,AT,BS分别称作 yMPAT tan,,,,,AT ,角的正弦线,余弦线,正xOMOA 切线,余切线 xOMBScot,,,,,BS yMPOB 四、例一(利用三角函数线比较下列各组数的大小: 24,,,,,242sinsin1: 与 2: tan与tan 3: cot与35353 ,4cot 5 S SB 21 解, 如图可知: P1 P2 A o T2 M M S211 24,,,sinsin 35 T1 ,,24,tan tan 35 ,,24,cot cot 35 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0:到360:的角 31,1: sin,? 2: tan, 32 y y 解, 1: 2: 30: T PP2 1 o x o x A 210: ,,,,30:?,?150: 30:,90:或210:,270: ,,0例三 求证:若,,,时，则sin,sin, ,,12122 y 证明, 分别作,,,的正弦线x的终边不在x轴上 12P2 sin,=MPsin,=MP111 222 P1 ,0?,,, ,,12o x MM2 1 2 ,,?MPMP即sin,sin, 11 22 12 五、小结:单位圆，有向线段，三角函数线 六、作业: 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 x,[0,2,) 补充:解不等式:() 3 1:sinx? 2: tanx ,,12 123:sinx? 2 第七教时 教材:三角函数的值在各象限的符号 目的:通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。 过程:一、复习三角函数的定义;用单位圆中的线段表示三角函数值 提出课题 然后师生共同操作: 二、 1(第一象限:?.x,0,y,0 ,,,,,,sin,0,cos,0,tan,0,cot,0,sec,0,csc,0 第二象限:?.x,0,y,0 ,,,,,,sin,0,cos,0,tan,0,cot,0,sec,0,csc,0 第三象限:?.x,0,y,0 ,,,,,,sin,0,cos,0,tan,0,cot,0,sec,0,csc,0 第四象限:.x,0,y,0? ,,,,,,sin,0,cos,0,tan,0,cot,0,sec,0,csc,0 记忆法则: ,sin 为正 全正 csc, ,,tancos为正 为正 cot,sec, 2(由定义:sin(,+2k,)=sin, cos(,+2k,)=cos, tan(,+2k,)=tan, cot(,+2k,)=co, sec(,+2k,)=sec, csc(,+2k,)=csc, 三、例一 (P18例三 略) ,(1)sin,0,例二 (P18例四)求证角,为第三象限角的充分条件是 ,(2)tan,,0, 证,必要性: ,,若,是第三象限角，则必有sin,0,tan,0 充分性: , 若? ? 两式成立 ?若sin,0 则,角的终边 可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴 ,若tan,0，则角,的终边可能位于第一或第三象限 ?? ? 都成立 ?,角的终边只能位于第三象限 ?角,为第三象限角 例三 (P19 例五 略) 四、练习: ,1(若三角形的两内角,，,满足sin,cos,0，则此三角形必为„„„„(B) A:锐角三角形 B:钝角三角形 C:直角三角形 D:以上三种情况都可能 (若是第三象限角，则下列各式中不成立的是„„„„„„„„„„„2 (B) ,,A:sin,+cos,0 B:tan,,sin,0 ,,C:cos,,cot,0 D:cot,csc,0 ,,3(已知,是第三象限角且，问是第几象限角, cos,022 ,(21)(21)解,? (k,Z)k，,,k，，,,,2 3,,,, ? 则是第二或第四象(k,Z)k，,,k，,,2242限角 ,, 又? 则是第二或第三象限角 cos,022 , ?必为第二象限角 2 sin2,1,,4(已知，则,为第几象限角, ,1,,2,, sin2,1,,,解, 由 ?sin2,0 ,1,,2,, ,,,,, ?2k,2,2k,+, (k,Z) ?k,,k,+ 2 ?,为第一或第三象限角 五、小结:符号法则，诱导公式 六、作业: 课本 P19 练习4,5,6 P20-21习题4.3 6-10 第八教时 教材:同角三角函数的基本关系 目的:要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。 过程: 一、复习任意角的三角函数的定义: 计算下列各式的值: 2,2,2,2,,2,1.sin90，cos90 2.sin30，cos30 3.tan45,cot45 ,3,sinsin5,5,34 6.tan,cot4.5.,3,66coscos34 1(导入新课:引导学生观察上述题目的结果(并像公式“方向”引导) 二、 sin,22引导猜想: ,tan,sin,，cos,,1tan,,cot,,1cos, 2(理论证明:(采用定义) yx,222221x，y,r且sin,,,cos,,？sin,，cos,,1？rr ,sin,yxyry, 2当,,k,，(k,Z)时，,,,，,,tan, 2cos,rrrxx ,yx,3当,,k,且,,k,，时,tan,,cot,,,,12xy 22 3(推广:这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有: sec,,tan,,1 22 csc,,cot,,1 sin, 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有: ,tan,cos, cos, ,cot,sin, 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有:tan,,cot,,1 csc,,sin,,1sec,,cos,,1 4(点题:三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5(注意: 1:“同角”的概念与角的表达形式无关， ,sin,222如: sin3,，cos3,,1,tan,2cos2 2:上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立。 3:据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数 值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解， 因此应尽可能少用(实际上，至多只要用一次)。 三、例题: 例一、(课本P25 例一) 略 注:已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。 例二、(课本P25 例二) 略 注:根据已知的三角函数值可以分象限讨论。 例三、(课本P25 例三) 略 1222cos,,实际上:sec,,tan,，1 即 21，tan, 1,当,为第一、四象限角,2,1，tan,cos ？,, ,1,,当,为第二、三象限角2,1tan，,, 而 sin,,tan,,cos, tan,,当,为第一、四象限角,2,1，tan,cos？,, ,tan,,,当,为第二、三象限角2,1tan，,, 四、小结:三种关系，八个公式 五、作业:P27 练习 1—4 P27—28 习题4(4 1—4 第九教时 教材:同角三角函数的基本关系(2)——求值 目的:要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并 从中了解一些三角运算的基本技巧。 过程: 二、复习同角的三角函数的基本关系: cos,,m(m,0,m,,1),求,的其他三角函数值。练习:已知 解:若,在第一、二象限，则 112sec,,sin,,1,mcsc,,2m1,m 21,mmtan,,cot,,2m1,m 若,在第三、四象限，则 112sec,,sin,,,1,mcsc,,,2m1,m 21,mmtan,,,cot,,,2m1,m 2,六、例一、(见P25 例四)化简: 1,sin440 2,,2,2,, 解:原式,1,sin(360，80),1,sin80,cos80,cos80 sin,,4cos,2例二、已知及sin,，2sin,cos,的值。，求 sin,,2cos,5sin,，2cos, ？sin,,2cos,？tan,,2解: sin,,4cos,tan,,4,21？,,,, 5sin,，2cos,5tan,，2126 22sin2sincostan2tan426,，,,,，,，2sin2sincos,，,,,,,,222415，sincostan1,，,,， 强调(指出)技巧:1:分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 2:“化1法” 3sin,，cos,,例三、已知，求 tan,，cot,及sin,,cos,的值。3 31sin,，cos,,解:将 两边平方，得:sin,cos,,, 33 1 ？tan,，cot,,,,3sin,cos, 252(sincos)12sincos1 ,,,,,,,,，,33 15？sin,,cos,,, 3 25例四、已知 tan,，cot,,,12 2233求tan,,cot,,tan,,cot,,tan,，cot,,sin,，cos, 62522 解:由题设: tan,，cot,,,2,144 6257tan,,cot,,,,4,, ? 14412 25717522tancot(tancot)(tancot)(),,,,,，,,,,,，,,, 1212144 3322tancot(tancot)(tancottancot),，,,,，,,，,,,, 25337251934825(1),，,,，,12144121441728 127sin,，cos,,,1，2sin,cos,,,1，2，,, 255 12512？tan,，cot,,,？sin,cos,, () sin,cos,1225 133tan,及sin,,cos,的值。sin,，cos,,(0,,,,)例五、已知，求 5 12, 解:1: 由 sin,cos,,,,0,,,,,得:cos,,0？,,(,,)252 4972(sincos),sincos 由 ,,,,得:,,,,255 ,14,sin,，cos,,sin,,,,4,55 联立: ,,tan,,,,,733,,sin,,cos,,cos,,,,55,, 43913333sincos()() 2: ,,,,,,,55125 4,2mm,3例六、已知 求sin,,,cos,,,,是第四象限角，m，5m，5 tan,的值。 4,2mm,32222 解:?sin, + cos, = 1 ? ()，(),1m，5m，5 m(m,8),0？m,0,m,8 化简，整理得: 12 43 当m = 0时， sin,,,cos,,,，(与,是第四象限角不合)55 12512sin,,,,cos,,，？tan,,,当m = 8时， 13135七、小结:几个技巧 八、作业:《课课练》P12 例题推荐 1、2、3 P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题推荐 1 《精编》P35 14 第十教时 教材:同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第50课 目的:运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程: 三、复习同角的三角函数的基本关系: 例:(练习、《教学与测试》P25 例一) 5sin,,cos,,,已知，求sin,cos,的值。 4 252592(sincos)1,2sin,cos,,？sin,cos,,,解:,,,, 即: 161632九、提出课题:利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式(或化简) 2,例一、(见P25 例四)化简: 1,sin440 2,,2,2,,,1,sin(360，80),1,sin80,cos80,cos80 解:原式 1，sin,1,sin,,是第三象限角，化简,例二、已知(《教学与测试》1,sin,1，sin,例二) (1，sin,)(1，sin,)(1,sin,)(1,sin,)解: 原式,,(1，sin,)(1,sin,)(1，sin,)(1,sin,) 22(1，sin,)(1,sin,)1，sin,1,sin, ,,,,22|cos,||cos,|1,sin,1,sin, ？,是第三象限角，？cos,,0 1，sin,1,sin, (注意象限、符号) ？原式,,,,2tan,,cos,,cos, cos,1，sin,,例三、求证: (课本P26 例5) 1,sin,cos, cos,(1，sin,)cos,(1，sin,)cos,(1，sin,)左边,,,证一: 22(1,sin,)(1，sin,)1,sin,cos, 1，sin, (利用平方关,,右边？等式成立cos, 系) 证二: 22？(1,sin,)(1，sin,),1,sin,,cos,且1,sin,,0,cos,,0 cos,1，sin,？, (利用比例关系) 1,sin,cos, 证三: 222cos,1，sin,cos,,(1,sin,)(1，sin,)cos,,(1,sin,),,, ？1,sin,cos,(1,sin,)cos,(1,sin,)cos, 22cos,1，sin,cos,,cos,？, (作差) ,,01,sin,cos,(1,sin,)cos, 22x,(3，1)x，m,0sin,，cos,例三、已知方程的两根分别是， sin,cos,求，的值。 (《教学与测试》 例三) 1,cot,1,tan, 2222sin,cos,sin,,cos,？原式,，,,sin,，cos, 解: sin,,cos,cos,,sin,sin,,cos, 3，1？由韦达定理知:原式, (化弦法) 2 例四、已知 2222 asec,,ctan,,d,bsec,，dtan,,c,求证:a，b,c，d asec,,ctan,，d(1), 证:由题设: ,bsec,,,dtan,，c(2), 2222222222(1)，(2):(a，b)sec,,(c，d)tan,，c，d 222222(a，b)sec,,(c，d)sec, 2222 ？a，b,c，d x,sin,，cos,(1),例五、消去式子中的 ,:,y,tan,，cot,(2), 21x,2(1)12sincossincos(3):x,，,,？,,,解:由 2 sin,cos,11(2):y,，,？sin,cos,,(4)由 cos,sin,sin,cos,y 2将(3)代入(4):y, (平方消去法) 2x,1 2sin,,2sin,,tan,,3tan,,求cos,例六、(备用)已知 22sin,,4sin,解:由题设: ? 22tan,,9tan, ? 229cos,,4cos, ?/?: ? 22sin,，9cos,,4 ?+?: 221,cos,，9cos,,4 32cos ？,, 8 十、小结:几种技巧 十一、 作业:课本P27 练习 5，6， P28 习题4.4 8，9 《教学与测试》P106 4，5，6，7，8，思考题 第十一教时 教材:诱导公式(1) 360: k + ,, 180: , ,, 180: + ,, 360: , ,, , ,目的:要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、 领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 过程: 一、诱导公式的含义: 任意角的三角函数 0:到360:角的三角函数 锐角三 角函数 二、诱导公式 sin(360:k+,) = sin,, cos(360:k+,) = 1(公式1:(复习) cos,. tan(360:k+,) = tg,, cot(360:k+,) = ctg,. 2(对于任一0:到360:的角，有四种可能(其中,为不大于90:的非负角) ,, sec(360:k+,) = sec,, csc(360:k+,) = ,090),当,,，,为第一象限角,,csc, ,,,18090180,,当,,，),为第二象限角,,,, (以下设,为任意角) ,,,,,180，,当,,180，270),为第三象限角,,,,,,360270360,,当,,，),为第四象限角, 3(公式2: y 设,的终边与单位 :圆交于点P(x,y)，则180+,终边与单位圆交于P (x,y) 点P’(-x,-y) ? sin(180:+,) o x = ,sin,, cos(180:+,) = ,cos,. tan(180:+,) = tg,, cot(180:+,) = ctg,. P (-x,-y) sec(180:+,) = ,sec,, csc(180:+,) = ,csc, 4(公式3: y 如图:在单位圆中 作出与角的终边，同样可得: P(x,y) sin(,,) = ,sin,, M o x cos(,,) = cos,. tan(,,) = P’(x,-y) ,tan,, cot(,,) = ,cot,. sec(,,) = sec,, csc(,,) = ,csc, :5(公式4: sin(180:,,) = sin[180+(,,)] = ,sin(,,) = sin,, :cos(180:,,) = cos[180+(,,)] = ,cos(,,) = ,cos,, 同理可得: sin(180:,,) = sin,, cos(180:,,) = ,cos,. tan(180:,,) = ,tan,, cot(180:,,) = ,cot,. sec(180:,,) = ,sec,, csc(180:,,) = csc, 6(公式5: sin(360:,,) = ,sin,, cos(360:,,) = cos,. tan(360:,,) = ,tan,, cot(360:,,) = ,cot,. sec(360:,,) = sec,, csc(360:,,) = ,csc, 三、小结:360: k + ,, 180: , ,, 180: + ,, 360: , ,, , ,的三角函数值 等于,的同名三角函数值再加上一个把,看成锐角时原函数值的符 号 四、例题:P29—30 例一、例二、例三 P31—32 例四、例五、例六 略 五、作业:P30 练习 P32 练习 P33 习题4.5 第十二教时 教材:诱导公式(2) 90: k ? ,, 270: ? ,, 目的:能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学 会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。 过程: 复习诱导公式一至五: 三、 ,,,1sin(180，,)cos(720，,)tan(540，,)练习:1(已知 sin(3,，,),,,求,,,3cot(,,,180)sin(,180,,)tan(900，,) 1？sin(3,，,),sin(,，,),,sin,,？sin,, 解: 3 ,sin,cos,tan,1 ？原式,,sin,, ,,3,cot(,，180)sin,tan(180，,) ,35, 2(已知 cos(，,),,求cos(,,)的值。636 5,5,,3 解: cos(,,),,cos[,,(,,)],,cos(，,),,6663四、诱导公式 1(公式6:(复习) sin(90: ,,) = cos,, cos(90: ,,) = sin,. tan(90: ,,) = cot,, cot(90: ,,) = tan,. 2(公式7: sec(90: ,,) = csc,, csc(90: ,,) = y 如图，可证: 则 sec, sin(90: P(x,y) +,) = M’P’ = OM = cos, M’ MM o x cos(90: sin(90: +,) = cos,, cos(90: +,) = ,sin,. P’ tan(90: +,) = ,cot,, cot(90: +,) = ,tan,. sec(90: +,) = ,csc,, csc(90:+,) = sec, +,) = OM’ = PM = ,MP = ,sin, 从而: 0: +,) = sin[180:, (90: ,,)] = sin(90: ,,) = cos, 或证:sin(9 cos(90: +,) = cos[180:, (90: ,,)] = ,sin(90: ,,) = ,cos, 3(公式8:sin(270: ,,) = sin[180:+ (90: ,,)] = ,sin(90: ,,) = ,cos, sin(270: ,,) = ,cos,, cos(270: ,,) = ,sin,. (其余类似可 tan(270: ,,) = cot,, cot(270: ,,) = tan,. 得， sec(270: ,,) = ,csc,, csc(270:,,) = sec, 学生自己完成) 4(公式9: sin(270: +,) = ,cos,, cos(270: +,) = sin,. (学生证明) tan(270: +,) = ,cot,, cot(270: +,) = ,tan,. sec(270: +,) = csc,, csc(270:+,) = ,sec, 三、小结:90:? ,, 270: ? ,的三角函数值等于,的余函数的值，前面再 加上一个把,看成锐角时原函数值的符号 ,3,,sin(，,),cos(,,)sin(4k,,,)sin(,,)222六、例一、 求证:,,tan(2k,,,)，cot(,k,，,)cos(5,，,),cos(，,)2 cos,，sin,sin,cos, 证: 左边,,,tan,，cot,cos,,sin, ,sin,cos,sin,cos, 左边 = 右边 右边,,,cos,，sin,cos,,sin, ?等式成立 ,,22例二、 求cos(,,)，cos(，,)的值。44 ,,,,,2222 解: 原式,cos[,(，,)]，cos(，,),sin(，,)，cos(，,),124444 1例三、 已知sin,,，sin(,，,),1,求sin(2,，,)3 , 解:？sin(,，,),1？,，,,2k,，(k,Z) 2 从而: ,1sin(2,，,),sin[2(2k,，),,],sin(4k,，,,,),sin,, 23 若f(cosx),cos17x,求f(sinx)例四、 ,,f(sinx),f[cos(90,x)],cos[17(90,x)] 解: ,,,,cos(4，360，90,17x),cos(90,17),sin17x 已知f(sinx),sin(4n，1)x,(n,Z,x,R)求f(cosx)七、作业:1. 32,,2cossin(360)sin(90)3,，,,，，,,,2. (),()设f,,求f2,322cos(180)cos()，,，，,, 《课课练》P16—17 课时9 例题推荐 1—3 练习 6—10 第十三教时 教材:诱导公式(3)——综合练习 目的:通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。 过程: 四、复习:诱导公式 十二、 例一、(《教学与测试》 例一)计算:sin315:,sin(,480:)+cos(,330:) 解:原式 = sin(360:,45:) + sin(360:+120:) + cos(,360:+30:) 23, = ,sin45: + sin60: + cos30: = 2 小结:应用诱导公式化简三角函数的一般步骤: :用“, ,”公式化为正角的三角函数 1 :用“2k, + ,”公式化为[0，2,]角的三角函数 2 3:用“,?,”或“2, , ,”公式化为锐角的三角函数 ,35,cos(，,),，求cos(,,)的值。例二、已知(《教学与测试》例三) 636 5,5,,3cos(,,),,cos[,,(,,)],,cos(，,),,解: 6663 小结:此类角变换应熟悉 cos(k,,,)cos(k,，,),,1,k,Z例三、求证: sin[(k，1),，,]cos[(k，1),，,] 证:若k是偶数，即k = 2 n (n,Z) 则: cos(2n,,,)cos(2n,，,),sin,cos,左边,,,,1 sin[2n,，(,，,)]cos[2n,，(,，,)],sin,(,cos,) 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (n,Z) 则: cos[2n,，(,,,)]cos[2n,，(,，,)]sin,(,cos,)左边,,,,1 sin[2(n，1),，,)]cos[2(n，1),，,)]sin,cos, ?原式成立 小结:注意讨论 sin(,,,)，5cos(2,,,)例四、已知方程sin(, , 3,) = 2cos(, , 4,)，求的3,2sin(,,),sin(,,)2 值。 (《精编》 38例五) 解: ?sin(, , 3,) = 2cos(, , 4,) ?, sin(3, , ,) = 2cos(4, , ,) ?, sin(, , ,) = 2cos(, ,) ?sin, = , 2cos, 且cos, , 0 sin,，5cos,,2cos,，5cos,3cos,3原式,,,,, ? ,2cos,，sin,,2cos,,2cos,,4cos,4 12,,,,a,,,,,,tan(),|cos()|cos,求的值。例五、已知 ,，,cos() P40 例八) (《精编》 2tan,,,a,0,|cos,|,,cos,,即cos,,0解:由题设: 由此:当a , 0时，tan, < 0, cos, < 0, ,为第二象限角， 124 ？原式,,,,sec,,1，tan,,1，acos, 当a = 0时，tan, = 0, , = k,, ?cos, = ?1， ? ?cos, = ,1 , cos,,0 14 ？原式,,,1,1，a(a,0)cos, 12,1，a 综上所述: cos(,，,) 2例六、若关于x的方程2cos(, + x) , sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 22 解:原方程变形为:2cosx , sinx + a = 0 即 2 , 2sinx , sinx + a = 0 117222sinsin22(sin) ? a,x，x,,x，,48 ?, 1?sinx?1 117当sinx,1时，a,1sin?当x,,时，a,,; maxmin48 17 ?a的取值范围是[,,1] 8 十三、 作业:《教学与测试》P108 5—8，思考题 《课课练》P46—47 23，25，26 第十三教时 教材:单元复习 目的:复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。 过程: 五、复习:梳理整节内容: 两角的概念的扩同角的三角函数关套预 充 系 基备 弧度制 本概 公念 诱导公式 式 任意角三角函 数 十四、 处理《教学与测试》P109 第52课 略 1(“基础训练题” 1—4 2(例题 1—3 3(口答练习题 1，2 十五、 处理《课课练》P20 第11课 1(“例题推荐” 1—3 注意采用讲练结合 2(口答“课时练习” 1—4 十六、 备用例题: 《精编》P40—41 例九，例十一 2a) 已知sin(, , ,) , cos(, + ,) =(0<,<,)，求sin(, + ,) + cos(2, , ,)4 的值 22解:?sin(, , ,) , cos(, + ,) = 即:sin , + cos , = ? 44 ,3,2？,,,又?0<<1，0<,<, ?sin,>0, cos,<0 424 令a = sin(, + ,) + cos(2, , ,) = , sin, + cos, 则 a<0 307？a,,1,2sin,cos,,,由?得:2sin,cos, = ,48 b) 已知2sin(, , ,) , cos(, + ,) = 1 (0<,<,)，求cos(2, , ,) + sin(, + ,)的 值 解:将已知条件化简得:2sin , + cos , = 1 ? 设cos(2, , ,) + sin(, + ,) = a , 则 a = cos , , sin , ? 11??联立得:sin,,(1,a),cos,,(1，2a) 33 112222?sin, + cos, = 1 ?(1,2a，a)，(1，4a，4a),1 992?5a + 2a , 7 = 0, 7解之得:a = , a = 1(舍去)(否则sin, = 0, 与0<,<,不符) ,125 7?cos(2, , ,) + sin(, + ,) = ,5 十七、 作业:《教学与测试》P109—110 练习题3—7 《课课练》P21 课时练习 8—10 第十五教时 教材:两角和与差的余弦(含两点间距离公式) 目的:首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间 距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。 过程:一、提出课题:两角和与差的三角函数 二、平面上的两点间距离公式 5(复习:数轴上两点间的距离公式 d,x,x 12 2(平面内任意两点，间的距离公式。 P(x,y)P(x,y)111222 y 从点P,P分别作x12 P2 N轴的垂线PM,PM与x轴交于点21122 M(x,0),M(x,0)1122 再从点P,P分别作y轴的垂线PN,PN与y121122M 1轴交于点N,N直线PN,PN与相交于Q12 1122o x M 2点则:PQ= MM=|x-x| Q P= NN=|y-y| N 11221212211Q P 1 由勾股定理: 2222222PP,PQ，QP,|x,x|，|y,y|,(x,x)，(y,y) 121221212121 从而得，两点间的P(x,y)P(x,y)111222 距离公式: 22PP,(x,x)，(y,y) 122121 (练习:已知A(-1,5),B(4,-7) 求AB 3 22AB,(4，1)，(,7,5),25，144,13 解: 三、两角和与差的余弦 含意:cos(,?,)用,、,的三角函数来表示 1(推导:(过程见书上P34-35) cos(,+,)=cos,cos,,sin,sin, ? 熟悉公式的结构和特点; 嘱记 ?此公式对任意,、,都适用 ?公式代号C,+, 6(cos(,,,)的公式，以,,代,得: cos(,,,)=cos,cos,+sin,sin, 同样，嘱记，注意区别，代号C ,,, ,3,,3,四、例一 计算? cos105: ?cos15: ?coscos,sinsin 551010 解,?cos105:=cos(60:+45:)=cos60:cos45:,sin60:sin45: 12322,6=,,,, 22224 ?cos15: =cos(60:,45:)=cos60:cos45:+sin60:sin45: 12322，6=,，,, 22224 ,,3,,3,,3,?coscos,sinsin= cos(+)=cos=0 2555101010 例二 《课课练》P22 例一 312已知sin,=，cos,=求cos(,,,)的值。 513 312解,?sin,=>0，cos,=>0 ?,可能在一、二象限，,在一、四象限 513 412356345,、,均在第一象限，则cos,=，sin,= cos(,,,)= 若,，,,51351351365 45若,在第一象限，,在四象限，则cos,=，sin,=, 513 4123533cos(,,,)= ,，,(,),51351365 45若,在第二象限，,在一象限，则cos,=,，sin,= 513 4123533cos(,,,)= (,),，,,,51351365 45，sin,=, 若,在第二象限，,在四象限，则cos,=,513 4123563cos(,,,)= (,),，,(,),,51351365 五、小结:距离公式，两角和与差的余弦 六、作业: P38-39 练习2中(3)(4) 3中(2)(3) 5中(2)(4) P40-41 习题4.6 2中(2)(4) 3中(3)(4)(6) 7中(2)(3) 122 补充:1(已知cos(,,,)=求(sin,+sin,)+(cos,+cos,)的值。 3 1,,1 2(sin,,sin,=,，cos,,cos,=，,,(0, ),,,(0, ),求2222 cos(,,,)的值 第十六教时 教材:两角和与差的正弦 目的:能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正 弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 过程:一、复习:两角和与差的余弦 练习:1(求cos75:的值 解,cos75:=cos(45:+30:)=cos45:cos30:,sin45:sin30: 23216,2,,,,= 22224 2(计算:1: cos65:cos115:,cos25:sin115: 2: ,cos70:cos20:+sin110:sin20: 解,原式= cos65:cos115:,sin65:sin115:=cos(65:+115:)=cos180:=,1 原式=,cos70:cos20:+sin70:sin20:=,cos(70:+20:)=0 353(已知锐角,,,满足cos,= cos(,+,)=求cos,. ,513 34解,?cos,= ?sin,= 55 512<0 ?,+,为钝角 ?sin(,+,)= 又?cos(,+,)=,1313 ?cos,=cos[(,+,),,]=cos(,+,)cos,+sin(,+,)sin, 5312433 = ,角变换技巧, ,,，,,13513565 二、两角和与差的正弦 ,,7(推导sin(,+,)=cos[,(,+,)]=cos[(,,),,] 22 ,,=cos(,,)cos,+sin(,,)sin,=sin,cos,+cos,sin, 22 即: sin(,+,)=sin,cos,+cos,sin, (S) ,+,以,,代,得: sin(,,,)=sin,cos,,cos,sin, (S) ,,, 8(公式的分析，结构解剖，嘱记 9(例一 不查表，求下列各式的值: 1: sin75: 2: sin13:cos17:+cos13:sin17: 解,1:原式= sin(30:+45:)= sin30:cos45:+cos30:sin45: 12322，6=,，,, 22224 12:原式= sin(13:+17:)=sin30:= 2 ,3例二 求证:cos,+sin,=2sin(+,) 6 1,,3证一,左边=2(cos,+ sin,)=2(sincos,+cos sin,) 2266 ,=2sin(+,)=右边 (构造辅助角) 6 1,,3证二,右边=2(sincos,+cos sin,)=2(cos,+ sin,) 2266 3= cos,+sin,=左边 ,tan22例三 〈精编〉P47-48 例一 已知sin(,+,)=,sin(,,,)= 求的值 tan,35 22 解, ?sin(,+,)= ?sin,cos,+cos,sin,= ? 33 22 sin(,,,)= ?sin,cos,,cos,sin,= ? 55 8 ?+?:sin,cos,= 815,,,sincostan15,,= 22tan,cos,sin, ?,?:cos,sin,= ,41515 三、小结:两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换” “逆向运用公式” 四、作业: P38 练习2中?? 3中? 5中?? P40-41 习题4.6 2中?? 3中????? 7中??? 〈精编〉P60-61 2、3、4 第十七教时 教材:两角和与差的正切 目的:要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。 过程:一、复习:两角和与差的正、余弦公式C ,C ,S ,S ,+,,,,,+,,,, ,, 练习:1(求证:cosx+sinx=cos(x) 24 ,,22证,左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin) 224422 ,,=cos(x)=右边 24 ,,22又证:右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) 224422 = cosx+sinx=左边 32(已知 ，求cos(,,,) sin,+sin,=5 ? 4cos,+cos,= ? 92225解, ?: sin,+2sin,sin,+sin,= ? 25 16222?: cos,+2cos,cos,+cos,= ? 25 1?+?: 2+2(cos,cos,+sin,sin,)=1 即:cos(,,,)= 2二、两角和与差的正切公式 T ,T ,+,,,, 10( tan(,+,)公式的推导(让学生回答) ?cos (,+,),0 ,,,,,,sin(，)sincos，cossin,tan(,+,)= 当cos,cos,,0时 cos(,，,)cos,cos,,sin,sin, 分子分母同时除以cos,cos,得: ,,tan，tantan(,+,)= 1,tan,tan, 以,,代,得: ,,tan,tantan(,,,)= 1，tan,tan, 2(注意:1:必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan,，tan,，tan(, ?,)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能(也只需)用诱导 公式来解。 2:注意公式的结构，尤其是符号。 3(引导学生自行推导出cot(,?,)的公式—用cot,，cot,表示 ,,,,,,cos(，)coscos,sinsin,cot(,+,)= 当sin,sin,,0时 sin(,，,)sin,cos,，cos,sin, ,,cotcot,1cot(,+,)= cot,，cot, ,,cotcot，1同理，得:cot(,,,)= cot,,cot, 三、例一求tan15:，tan75:及cot15:的值: 31,3,312,633,,,2,3解,1: tan15:= tan(45:,30:)= 633，31，3 31，3，312，633,,,2，32: tan75:= tan(45:+30:)= 633,31,3 1，34，23,,2，33: cot15:= cot(45:,30:)= 23,1 1例二 已知tan,=，tan,=,2 求cot(,,,)，并求,+,的值，其中3 0:<,<90:, 90:<,<180: 。 ,,1，tantan11,,解,cot(,,,)= tan(,,,)tan,,tan,7 1,2,,tan，tan3? tan(,+,)=,,,1 1,,1,tantan1,，(,2)3 且?0:<,<90:, 90:<,<180: ?90:<,+,<270: ?,+,=135: ,1，tan75例三 求下列各式的值:1: ,1,tan75 2:tan17:+tan28:+tan17:tan28: ,,tan45，tan75,,, 解,1:原式= ,tan(45，75),tan120,,3,,1,tan45tan75 ,,tan17，tan28,, 2: ?tan(17，28), ,,1,tan17tan28 ?tan17:+tan28:=tan(17:+28:)(1,tan17:tan28:)=1, tan17:tan28: ?原式=1, tan17:tan28:+ tan17:tan28:=1 四、小结:两角和与差的正切及余切公式 五、作业: P38-39 练习2中 P40-41 习题4.6 1-7中余下部分 及9 第十八教时 教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习? 目的:通过例题的讲解，使学生对上述公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些 解题的技巧。 过程:一、复习:1:两角和与差的正、余弦、正切公式 2:处理(以阅读、提问为主)课本P36-38例一、例二、例三 二、关于辅助角问题 例一 化简 3cosx,sinx 31,,,解,原式= 2(cosx,sinx),2(sincosx,cossinx),2sin(,x)22333 ,,,或解,原式= 2(coscosx,sinsinx),2cos(，x)666 例二 《教学与测试》P 例2 111 ,5,,，，y,cos(,x),cos(，x) 已知，求函数的值域 x,0,,,12122，， 5,,,解, y,cos(,x),cos(，x),2cos(,x)12123 ,,,,，， ?x,0, ? ,,,x,,,2633，， ，，1,2，，,2cos(,x),,1 ? ?函数y的值域是 ,,,,232，，,,，， 四、关于角变换 5,cos2x,,x,0例三 已知 ， 求的值 sin(,x),,4413cos(，x)4 55,,,,，，cos,(,x),sin(,x),解,?sin(,x), 即:,,24413413，， 5, cos(，x),413 ,,,,12,,x,,x，,0? ? 从而 si(，x),4442413 125125120,,，，cos2x,cos(，x),cos(,x),，，，,而: ,,4413131313169，， 120 cos2x24169? ,,,513cos(，x)413 例四 《教学与测试》P例3 111 已知 求证tan,=3tan(,+,) sin(2,，,)，2sin,,0 证,由题设: sin[(,，,)，,],2sin[,,(,，,)] 即: sin(,，,)cos,，cos(,，,)sin,,2sin,cos(,，,),2cos,sin(,，,) ? ?tan,=3tan(,+,) 3sin(,，,)cos,,sin,cos(,，,) 例五 《精编》P48-49 例三 ,,3123,,, 已知，，，求sin2,的值 ,,cos(,),sin(，),,,,,,24135 ,,312,,, 解,? ,,cos(,,,),,02413 5,,,,0 ? ? sin(,),,,,,413 3,3,，, ? 又: ?sin(，),,,,,,,25 4 cos(，),,,,5 ?sin2,=sin[(,，,)，(,,,)],sin(,，,)cos(,,,)，c0s(,，,)sin(,,,) 3124556 = ,，,，,,51351365 四、小结: 五、作业:课本 P41-42 9-17 第十九教时 教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习? 目的:通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。 过程:一、公式的应用 例一 在斜三角形?ABC中，求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 证一,在?ABC中，?A+B+C=, ?A+B=,,C tanA，tanB从而有 tan(A+B)=tan(,,C) 即: ,,tanC1,tanAtanB ?tanA+tanB=,tanC+tanAtanBtanC 即:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 证二,左边= tan(A+B)(1,tanAtanB) +tanC=tan(,,C) (1,tanAtanB) +tanC =,tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC= 右边 例二 求(1+tan1:)(1+tan2:)(1+tan3:)„„(1+tan44:) 解, (1+tan1:)(1+tan44:)=1+tan1:+tan44:+tan1:tan44: =1+tan45:(1, tan1:tan44:)+ tan1:tan44:=2 同理:(1+tan2:)(1+tan43:)=2 (1+tan3:)(1+tan42:)=2 „„ 22=2 ?原式 例三 《教学与测试》P例一 (略)口答 113 ,tan(,,)例四 《教学与测试》P例二 已知tan,和是方程11342 x，px，q,0 的两个根，证明:p,q+1=0 ,,tan(,,)tan(,,) 证,由韦达定理:tan,+=,p ，tan,•=q 44 ,,,tan，tan(,),,p4,, ?1,tan,tan[，(,)],,, ,441,q,,1,tan,tan(,)4 ?p,q+1=0 3(1，m)例五 《教学与测试》 例三 已知tan,=， 3tan(,,)=(tan,tan,+m)又,,,都是钝角，求,+,的值 3 解,?两式作差，得:tan,+tan,=(1,tan,tan, ,,tan，tantan(,，,),3,3 即: ? ,,1,tantan 4, 又:,,,都是钝角 ?,<,+,<2, ?,+, ,3二、关于求值、求范围 2 例六 已知tan,，tan,是关于x的一元二次方程x+px+2=0的两实根， ,,sin(，)求的值。 cos(,,,) ,,,,,,,,sin()sincoscosssintan，tan，，,, 解,? cos(,,)cos,cos,sin,ssin,1，tan,tan,,， 2 tan,，tan,是方程x+px+2=0的两实根 ,,tan，tan,,p,,,sin(，),pp,,, ? ? ,,,tan,tan,2cos(,,,)1，23, ,,2cos10,sin20 例七 求的值。 ,cos20 解,原式 ,,,,,,,,2cos(30,20),sin202cos30cos20，2sin30sin20,sin20= ,,,cos20cos20 ,,,3cos20，sin20,sin20 = ,3,cos20 三、作业:《教学与测试》 P53、54课中练习题 111-114 第二十教时 教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习? 目的:进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。(采用《精编》例题) 过程:一、求值问题(续) ,x,x 若tan,=3，tan,=3, 且,,,=，求x的值。 例一6 ,3x,x解,tan(,,,)=tan= ?tan,=3，tan,=3 36 x,x,,tan,tan33,31x,x?,,,(3,3) x,x,,21，tan,tan1，3,32 xx,x2x3,(3),23,3,3,03?3•3,3•3=2 即: 31xxx,?(舍去) ? 3,33,,或23 例二 已知锐角,, ,, , 满足sin,+sin,=sin,, cos,,cos,=cos,, 求,,,的值。 解, ?sin,+sin,=sin, ?sin, ,sin, = ,sin, <0 ? ?sin, 0，x,[0,]时，-52 2?f (x)?1，设g(t)=at+bt-3，t,[-1,0]，求g(t)的最小值。 解, f 13(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[sin2x+cos2x]+2a+b 22 , =-2asin(2x+)+2a+b 6 7,,,, ?x,[0,] ? ?2,x，,2666 1, ,,sin(2x，),126 , 又: a>0 ?-2a<0 ? ,2a,,2asin(2x，),a6 , ? ?b,,2asin(2x，)，2a，b,3a，b6 b,f(x),3a，b b,,5b,,5,,, ?-5?f (x)?1 ? ,,3a，b,1a,2,, 549222 ?g(t)=at+bt-3=2t-5t-3=2(t-)- ?t,[-1,0] 48 ?当t=0时，g(t)=g(0)=-3 min 三、作业:《精编》 P6、7、11 61 P20、22、23、25 62 P30 63 第二十一教时 教材:二倍角的正弦、余弦、正切 目的:让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 过程: 六、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ,,,十八、 提出问题:若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。 让学生板演得下述二倍角公式: 2222sin2,,2sin,cos,cos2,,cos,,sin,,2cos,,1,1,2sin, 22tan,cot,,1tan2,,cot2,, 22cot,1,tan, 剖析:1(每个公式的特点，嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的， ,, 如:是的倍角。 48 2(熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次，降角—升次) 3(特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形: 1cos21cos2，,,,22 cos,sin 这两个形式今后常,,,,22 用 十九、 例题: 例一、(公式巩固性练习)求值: 12,sin45, 1(sin22:30’cos22:30’= 24 ,2,2cos,( 22cos,1,428 ,2,,22,cos,, 3( sin,cos,4288 ,,,,,,1,,,,4( 4sincoscos,2sincos,sin,8sincoscoscos,24241212126248482412 例二、 5553,,,5,5,5,5,22sin,cos,,cos,1( (sin，cos)(sin,cos),12126212121212 ,,,,,,442222 2( cos,sin,(cos，sin)(cos,sin),cos,222222 2tan,11 3( ,,,tan2,21,tan,1，tan,1,tan, 222 4( 1，2cos,,cos2,,1，2cos,,2cos,，1,2 例三、若tan , = 3，求sin2, , cos2, 的值。 2222sincossincos2tantan17,，,,,,，,,,, 解:sin2, , cos2, = 2225sincos1tan,，,，, ,,1，sin,,a 例四、条件甲:，条件乙:sin，cos,a， 22 那么甲是乙的什么条件, ,,,,2(sin，cos),a1，sin,, 解: 即|sin，cos|,a 2222 当,在第三象限时，甲 乙;当a > 0时，乙 甲 ?甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 5, 例五、(P43 例一)已知，求sin2,，cos2,，tan2,的sin,,,,,(,,)132 值。 125,2cos1sin 解:? ? sin,,,,,(,,),,,,,,,13132 120 ?sin2, = 2sin,cos, = ,169 119212sin cos2, = ,,,169 120 tan2, = ,119 二十、 小结:公式，应用 二十一、 作业:课本P44 练习 P47 习题4.7 1，2 第二十二教时 教材:二倍角公式的应用 目的:要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用 数学知识和逻辑推理能力。 过程: 复习公式: 七、 例一、(板演或提问)化简下列各式: ,tan40,,1,,,1( 2(tan80 4sincos,2sin2,21,tan40244 2,2,cos315,,3(2sin157.5: , 1 = 2 ,,1,1,5,sincos,sin,4( sinsin,12122641212 1,,,sin40cos40cos80,,,,sin20cos20cos40cos8025(cos20:cos40:cos80: = ,,,sin20sin20 11,,,sin160sin80cos80184 ,,,,,8sin20sin20 例二、求证:[sin,(1+sin,)+cos,(1+cos,)]×[sin,(1,sin,)+cos,(1,cos,)] = sin2, 2222 证:左边 = (sin,+sin,+cos,+cos,)×(sin,,sin,+cos,,cos,) = (sin,+ cos,+1)×(sin,+cos, ,1) 2 = (sin,+ cos,),1 = 2sin,cos, = sin2, = 右边 ?原式得证 二十二、 关于“升幂”“降次”的应用 注意:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。(以下四个例题可视情况酌情选用) 2y,cosx，cosxsinx例三、求函数的值域。(《教学与测试》P115例一) 1，cos2x12,1y,，sin2x,sin(2x，)， 解: ——降次 22242 1,21，2,y,[,] ? ? ,1,sin(2x，),1224 ,,22例四、求证:的值是与,无关的定值。 sin,，cos,cos(，,),sin(,,)36 11,, 证: ——降原式,(1,cos2,),[1,cos(,2,)]，cos,cos(，,)2233次 1,,, ,[cos(,2,),cos2,]，cos,(coscos,,sinsin,)2333 1,,132,(coscos2,，sinsin2,,cos2,)，cos,,cos,sin,) 23322 131131,cos2,，sin2,,cos2,，(1，cos2,),sin2,), 422444 ,,22 ?的值与,无关 sin,，cos,cos(，,),sin(,,)36 1，cos,,sin,1,cos,,sin,，例五、化简: ——升幂 1,cos,,sin,1，cos,,sin, ,,,,,,222cos2sincos2sin2sincos,,222222 解: 原式,，,,,,,,222sin2sincos2cos2sincos,,222222 ,,,,,,2cos(cos,sin)2sin(sin,cos)222222 ,，,,,,,,2sin(sin,cos)2cos(cos,sin)222222 ,,1，cos,1,cos,2 ,,(cot，tan),,(，),,,,2csc, 22sin,sin,sin, 1，sin4,,cos4,1，sin4,，cos4,,例六、求证:(P43 例二) ——升幂 22tan,1,tan, 1，sin4,,cos4,2tan,,,tan2, 证:原式等价于: 21，sin4,，cos4,1,tan, 2sin4,，(1,cos4,)2sin2,cos2,，2sin2,,, 左边 2sin4,，(1，cos4,)2sin2,cos2,，2cos2, 2sin2,(cos2,，sin2,),,tan2,, 右边 2cos2,(sin2,，cos2,) 二十三、 三角公式的综合运用 ,,sin50(1，3tan10)例七、利用三角公式化简: (P43—44 例三) 13,,2(cos10，sin10),3sin10,22,sin50(1，),sin50, 解:原式 ,,cos10cos10 ,,,,,,sin30cos10，cos30sin102sin50sin40,2sin50,, ,,cos10cos10 ,,,2cos40sin40sin80,,,1 ,,cos10cos10 二十四、 作业:课本P47 习题4.7 3 ，18，19，23 《精编》P73—74 11，12 第二十三教时 教材:续二倍角公式的应用，推导万能公式 目的:要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。 过程: 八、解答本章开头的问题:(课本 P3) 令，AOB = , , 则AB = acos, OA = asin, 22 ?S= acos,×2asin, = asin2,?a 矩形ABCDB C 当且仅当 sin2, = 1， a 即2, = 90:，, = 45:时, 等号成立。 , 2A O D a 此时，A,B两点与O点的距离都是 2九、半角公式 在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 ,1,cos,,1，cos,,1,cos,222sin,,cos,,tan,例一、求证: 222221，cos, ,2 证:1:在 cos2,,1,2sin, 中，以,代2,，代, 即得: 2 1cos,,,,22cos12sinsin ? ,,,,222 ,2 2:在 中，以,代2,，代, 即得: cos2,,2cos,,12 ,1cos,，,22 ? coscos,,2cos,1,222 ,1,cos,2 3:以上结果相除得:tan, 21，cos, , 注意:1:左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。 2 , 2:公式的“本质”是用,角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 2 3:上述公式称之谓半角公式(大纲规定这套公式不必记忆) ,1,cos,,1，cos,,1,cos,sin,,,cos,,,tan,, 222221，cos, ,sin,1,cos,tan,, 4:还有一个有用的公式:(课后自己证) 21，cos,sin,十、万能公式 ,,,22tan1tan2tan,222例二、求证: sin,cos,tan,,,,,,,,,2221tan1tan1tan，，,222 ,,,2sincos2tansin,222 证:1:sin ,,,,,,,1222sincos1tan，，222 ,,,222cossin1tan,,cos,222 2:cos ,,,,,,,1222sincos1tan，，222 ,,,2sincos2tansin,222tan 3: ,,,,,,,cos,222cossin1tan,,222 注意:1:上述三个公式统称为万能公式。(不用记忆) 2:这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 , 即:f(tan)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 2 可以使解题过程简洁 3:上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 2sin,，cos, 例三、已知,,5，求3cos 2, + 4sin 2, 的值。 sin,,3cos, 2sin,，cos,,,5 解:? ?cos , , 0 (否则 2 = , 5 ) sin,,3cos, 2tan,，1 ? 解之得:tan , = 2 ,,5tan,,3 223(1tan)42tan3(12)4227,,，,,，，,，,，, ?原式 222251tan1tan1212，,，,，， 小结:两套公式，尤其是揭示其本质和应用(以万能公式为主) 十一、 十二、 作业:《精编》P73 16 补充: 1(已知sin, + sin, = 1，cos, + cos, = 0，试求cos2, + cos2,的值。(1) (《教学与测试》P115 例二) ,112(已知，,,,,,0，tan, =，tan, =，求2, + , 的大,,,,,,372 小。 3 (,,)4 xx3554(,,)sin,cos3(已知sinx =，且x是锐角，求的值。 55522 4(下列函数何时取得最值,最值是多少, 11 1:y,sin2xcos2x (y,,y,,)maxmin22 31 y,2sinx,cos2x2: (y,,y,,) maxmin22 2,,3 3:y,cos(2x，),2cos(x，) (y,3,y,,) maxmin772 ,5(若,、,、,为锐角，求证:, + , + , = 4 1,2,,2()f(x),cosx，sinx6(求函数在[,,]上的最小值。 244 第二十四教时 教材:倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式 目的:继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导 出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。 过程: 十三、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程: ,11,,,,,0,,,,例一、已知，，tan, =,，tan, =，求2, + , ,372 (《教学与测试》P115 例三) 2tan3tan2,，tan,,tan(2,，,),,,1 解:tan2 ? ,,,,21,tan2,tan,41tan,, ,3, 又?tan2, < 0，tan, < 0 ?， ,2,,2,,,,,022 7, ? ?2, + , = ,,2,，,,2,4 1,例二、已知sin, , cos, = ，，求和tan,的值 tan,,,,2,22 ,,22tan1tan,1122 解:?sin, , cos, = ? ,,,,22221tan1tan，，22 ,,2 化简得: ?tan，4tan,3,022 ,,4,16，12tan,,,2,7 22 ,,, ? ? ? 即,,,tan,0,,,,2,222 , tan,,2,72 ,2tan2(27)4272747,,,,，,2 tan,,,,,,2,321(27)1047527,,,,,，1tan,2 二十五、 积化和差公式的推导 1sin(, + ,) + sin(, , ,) = 2sin,cos, , sin,cos, =[sin(, + ,) + sin(, , 2,)] 1sin(, + ,) , sin(, , ,) = 2cos,sin, , cos,sin, =[sin(, + ,) , sin(, , 2,)] 1cos(, + ,) + cos(, , ,) = 2cos,cos, , cos,cos, =[cos(, + ,) + cos(, , 2,)] 1cos(, + ,) , cos(, , ,) = , 2sin,sin, , sin,sin, = ,[cos(, + ,) , cos(, , 2,)] 这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点 在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下) 333例三、求证:sin3,sin, + cos3,cos, = cos2, 22 证:左边 = (sin3,sin,)sin, + (cos3,cos,)cos, 1122 = ,(cos4, , cos2,)sin, + (cos4, + cos2,)cos, 22 111222 = ,cos4,sin, +cos2,sin, +cos4,cos, 222 12+cos2,cos, 2 111 = cos4,cos2, + cos2, = cos2,(cos4, + 1) 222 123 = cos2,2cos2, = cos2, = 右边 2 ?原式得证 二十六、 和差化积公式的推导 ,，,,,,,,若令, + , = ,，, , , = φ，则，,, 代入得: 22 ,，,,,,1,，,,,,,，,,,,1sincos,[sin(，)，sin(,)],(sin,，sin,)22222222 ,，,,,,sin,，sin,,2sincos? 22 ,，,,,,sin,,sin,,2cossin 22 ,，,,,,cos,，cos,,2coscos 22 ,，,,,,cos,,cos,,,2sinsin 22 这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与 积化和差公式相辅相成，配合使用。 11例四、已知cos, , cos , = ，sin, , sin, = ，求sin(, + ,)的值 ,23 ,，,,,,11,2sinsin, 解:?cos, , cos , = ，? ? 2222 ,，,,,,11,2cossin,, sin, , sin , =，? ? ,3223 ,，,3,,,,，,3,tan,,tan, ?sin,0 ? ? 22222 3,，,2tan2，1222 ? sin(),，,,,,9,，,1321tan1，，24 二十七、 小结:和差化积，积化和差 二十八、 作业:《课课练》P36—37 例题推荐 1—3 P38—39 例题推荐 1—3 P40 例题推荐 1—3 第二十五教时 教材:综合练习课 目的:复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐 培养熟练技巧。 过程: 十四、 小结本单元内容——俗称“加法定理” 1(各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点 2(了解推导过程(回顾) 诱导公 ,,代, ,,代, 两点间距离公式 C C S,+, ,,, S,+, ,,, 式C,+, 商数关系 S S ,+,,+, S,,, T,+, T,,, CC,+,+ C,, ,, ,, 半角公式 ,代2,，代, 2令,=, 和角公式 倍角公式 , 万能公式 代, 2 倒用且令,+,=, 同名和角与差角公式 积化和差公式 和差化积公式 ,,,=φ 3(常用技巧: 1:化弦 2:化“1” 3:正切的和、积 4:角变换 5:“升幂”与“降次” 6:辅助角 二十九、 例题: 例一、《教学与测试》 基础训练题 ,1(函数的最小值。 (辅助角) y,3sin(,2x),cos2x3 3113y,3(cos2x,sin2x),cos2x,cos2x,sin2x 解: 2222 , ,sin(,2x),,1 6 ,52(已知sin(x,),,，求sin2x的值。 (角变换) 413 解: 5119,,,22 sin2cos(2)cos[2()]12sin()12()x,,x,x,,,x,,,,,24413169 333(计算:(1 +)tan15:, (公式逆用) 解:原式= (tan45:+ tan60:)tan15:,3=tan105:(1,tan45:tan60:)tan15: ,3 3) tan105: tan15: ,3= (1 ,3)×(, 1),3 = , 1 = (1 , 24(已知sin(45: , ,) = ，且45: < , < 90:，求sin, (角变换) ,3 5解:?45: < , < 90: ?,45: < 45:,, < 0: ?cos(45:,,) = 3 cos2, = sin(90:,2,) = sin[2(45:,,)] = 2sin(45:,,)cos(45:,,) 45= ,9 22，10452即 1 , sin, = ， 解之得:sin, = ,69 例二、已知,是三角形中的一个最小的内角， ,,,,2222 且，求a的取值范围 acos，sin,cos,asin,a，12222 ,,,,2222解:原式变形: a(cos,sin),(cos,sin),a，12222 即(a,1)cos,,a，1，显然 (若，则 0 = 2) a,1a,1 a，1,1cos,,0,,, ? 又?，? ,cos,,1a,132 1a，1 即: 解之得: ,,1a,,32a,1 例三、试求函数y,sinx，cosx，2sinxcosx，2的最大值和最小值。 , 若x,[0,]呢, 2 , 解:1(设t,sinx，cosx,2sin(x，),[,2,2] 4 22 则 ? t,1，2sinxcosx2sinxcosx,t,1 11322 ?y,t，t，1,(t，)，,[,3，2] 244 332, ?y,，y, maxmin4 ,t,[1,2]y,[3,3，2]x,[0,] 2(若，则，? 2 即 y,3，2,y,3maxmin ,例四、已知tan, = 3tan(, + ,)，，求sin(2, + ,)的值。 ,,6 sin,3sin(,，,), 解:由题设: 即sin, cos(, + ,) = 3sin(, + ,)cos, cos,cos(,，,) 即sin(, + ,) cos, + cos(, + ,)sin, = 2sin, cos(, + ,) , 2cos,sin(, + ,) ,1 ?sin(2, + ,) = ,2sin, 又? ?sin, ?sin(2, + ,) = ,,,62 ,1 三、作业:《教学与测试》P117—118 余下部分 第二十六教时 教材:正弦、余弦函数的图象 目的:要求学生掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，继而学会用诱导 公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过分析掌握五点法画正(余)弦函 数图象。 过程: 提出课题:正弦、余弦函数的图象——解决的方法:用单位圆中的十五、 正弦线(几何画法)。 十六、 作图:边作边讲(几何画法)y=sinx x,[0,2,] a) 先作单位圆，把?O十二等分(当然分得越细，图象越精确) 1 ,,,b) 十二等分后得对应于0,, ,,„2,等角，并作出相应的正弦线， 263 c) 将x轴上从0到2,一段分成12等份(2,?6.28)，若变动比例，今后图 象将相应“变形” d) 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 e) 描图(连接)得y=sinx x,[0,2,] f) 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x,[2k,,2(k+1),] k,Z,k,0 与函数y=sinx x,[0,2,]图象相同，只是位置不同——每次向左(右)平 移2,单位长 y 1 -o 342, 5---6x - 十七、 正弦函数的五点作图法 y=sinx x,[0,2,] , 432, , , , , 1 ,,3 介绍五点法 五个关键点(0,0) (,1) (,,0) (,-1) (2,,0) 22, , , 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 十八、 作y=cosx的图象 ,,与正弦函数关系 ?y=cosx=cos(-x)=sin[-(-x)]=sin(x+) 22 y 1 o x - 1 ,结论:1(y=cosx, x,R与函数y=sin(x+) x,R的图象相同 2 ,2(将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象 2 ,3(也同样可用五点法作图:y=cosx x,[0,2,]的五个点关键是(0,1) (,0) 2 ,3(,,-1) (,0) (2,,1) 2 4(类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosx x,[2k,,2(k+1),] k,Z,k,0的图象与 y=cosx x,[0,2,] 图象形状相同只是位置不同(向左右每次平移个单位长度) y 1 -o 2345---, 6 x - 5(例P52 例一 略 , 432, , , , , 十九、 小结:1(正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 1 2(注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 , , , 二十、 作业:P50练习P57习题4(8 1 补充:1(分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象 2(分别在[-4,,4,]内作出y=sinx和y=cosx的图象 3(用五点法作出y=cosx,x,[0,2,]的图象 第二十七教时 教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函 数的最值和值域。 过程:一、复习:正弦和余弦函数图象的作法 y y ,,,,1 1 ,,332,2,,,,,222222 o o x x --二、研究性质: 1(定义域:y=sinx, y=cosx的定义域为R 1 1 2(值域: 1:引导回忆单位圆中的三角函数线，结论:|sinx|?1, |cosx|?1 (有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ?y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1] ,2:对于y=sinx 当且仅当x=2k,+ k,Z时 y=1 max2 ,当且仅当时x=2k,- k,Z时 y=-1 min2 对于y=cosx 当且仅当x=2k, k,Z时 y=1 max 当且仅当x=2k,+, k,Z时 y=-1 min3(观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知 当2k,0 当(2k-1),0 22 ,,3当2k,+0时 ,,,k，b,,4b,,1,, ,k，b,2k,3,,,当k<0时 (矛盾舍去) ,,k，b,,4b,,1,, ?k=3 b=-1 例五、求下列函数的定义域: 2cos(sinx) 1: y= 2: y=lg(2sinx+1)+ 3: y= 3cosx,1,2cosx2cosx,1 12解,1: ?3cosx-1-2cosx?0 ??cosx?1 2 ,,?定义域为:[2k,-, 2k,+] (k,Z) 33 ,,71,,,,2k,,x,2k，sinx,,,,662: 2,(k,Z),,,,1,,cosx,2k,,x,2k，,,233,, ,,,, ?定义域为: ,2k,,x,2k，(k,Z)(2k,,2k，](k,Z),,,,6363 ,, 3: ?cos(sinx)?0 ? 2k,-?x?2k,+ (k,Z) 22 cos1 ?-1?sinx?1 ?x,R ?y?1 四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域 五、作业:P56 练习4 P57-58习题4(8 2、9 《精编》P86 11 P87 25、30、31 第二十八教时 教材:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 目的:要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义;掌握正、 余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 过程:一、复习:y=sinx y=cosx (x,R)的图象 二、提出课题:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1((观察图象) 1:正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2:规律是:每隔2,重复出现一次(或者说每隔2k,,k,Z重复出现) 3:这个规律由诱导公式sin(2k,+x)=sinx, cos(2k,+x)=cosx也可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 2(周期函数定义:对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有:f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期。 注意:1:周期函数x,定义域M，则必有x+T,M, 且若T>0则定义域无上 界;T<0则定义域无下界; 2:“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数(如f (x+t),f 0(x)) 0 3:T往往是多值的(如y=sinx 2,,4,,„,-2,,-4,,„都是周期)周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx的最小正周期为2, (一般称为周期) 三、y=sinωx, y=cosωx的最小正周期的确定 x,, 例一 求下列三角函数的周期:1: y=sin(x+) 2: y=cos2x 3: y=3sin(+) 235 ,: 令z= x+ 而 sin(2,+z)=sinz 即:f (2,+z)=f (z) 解,13 ,,f [(x+2),+ ]=f (x+) ?周期T=2, 33 2:令z=2x ?f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2,)=cos(2x+2,)=cos[2(x+,)] 即:f (x+,)=f (x) ?T=, xx,, 3:令z=+ 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2,)=3sin(++2,) 2255 4x，,,=3sin()=f (x+4,) ?T=4, ，25 ,2φ为常数,A,0, x,R) 周期T= 小结:形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,, y=Acos(ωx+φ)也可同法求之 例二 P54 例3 ,,例三 求下列函数的周期: 1:y=sin(2x+)+2cos(3x-) 46 23 2: y=|sinx| 3: y=2sinxcosx+2cosx-1 ,解,1: y=sin(2x+) 最小正周期T=, 114 ,,2 y=2cos(3x-) 最小正周期 T= 2263 ?T为T ,T的最小公倍数2, ?T=2, 12 2: T=, 作图 y ,,1 , 2, -, 3, o x -注意小结这两种类型的解题规律 3 3: y=sin2x+cos2x ?T=, 1 四、小结:周期函数的定义，周期，最小正周期 五、作业:P56 练习5、6 P58习题4(8 3 《精编》P86 20、21 补充:求下列函数的最小正周期: ,,xx,1(y=2cos()-3sin() ，443 ,,2(y=-cos(3x+)+sin(4x-) 23 ,3(y=|sin(2x+)| 6 ,,,24(y=cossin+1-2sin 222 第三十教时 教材:正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课;《教学与测试》第57、58课 目的:复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、认识更深刻。 过程:一、复习:1(y=sinx y=cosx 的图象 当x,R时，当x,[0，2,]时 2(y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域(有界性)最值、 周期性、奇偶性、单调性 二、处理《教学与测试》P119 第57课 2 1(已知函数f (x)=，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、1,cos2x ,周期性以及区间[0，]上的单调性。 2y ,, 解,f (x)=|sin2x| 1 ,, -, - , 22f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) o x ,-?f (x)为偶函数 T= 2 ,,,1 在[0,]上f (x)单调递增;在[,]上单调递减 442 ,,,,kk，,注意:若无“区间[0,]”的条件，则增区间为[] k,Z 2224 k，,(1)k,,，,减区间为[] k,Z 242 , 2(设x,[0,], f (x)=sin(cosx), g (x)=cos(sinx) 求f (x)和g (x)的最大值和2 最小值，并将它们按大小顺序排列起来。 , 解,?在[0,]上y=cosx单调递减, 且cosx,[0,1] 在此区间内y=sinx单调2 递增且sinx,[0,1] ?f (x)=sin(cosx),[0,sin1] 最小值为0, 最大值 为sin1 g (x)=cos(sinx),[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 ,?cos1=sin(,1)0 logcost12 , ?2k,?t<2k,+ (k,Z) 2 1,,,33, ?2k,?<2k,+ (k,Z) 6k,-?x<6k,+ (k,Z) x，24434 ,,331, ?f (x)=的单调递减区间是[6k,-,6k,+) logcos(x，)144342 (k,Z) 五、作业:《教学与测试》P120 4-8 思考题 P121 4-8 思考题 第三十一教时 教材:函数y=Asinx和y=Asinωx的图象 目的:要求学生会用五点法画出函数y=Asinx和y=Asinωx的图象，明确A与 ω对函数图象的影响作用;并会由y=Asinx的图象得出y=Asinx和y=Asin ωx的图象。 过程:一、导入新课，提出课题: 物理实例:1(简谐振动中，位移与时间的关系 2(交流电中电流与时间的关系 都可以表示成形如:y=Asin(ωx+φ)的解析式 二、y=Asinx 1 例一(画出函数y=2sinx x,R;y=sinx x,R的图象(简图)。 2 解,由于周期T=2, ?不妨在[0,2,]上作图，列表: ,,3 x 0 2, , 22 sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 111 sinx - 0 0 0 222作图: y=2sinx 2 y y=sinx 2 1 y=sinx 1 21 , 22, , O-1 x , ,-2 ,引导,观察,启发:与y=sinx的图象作比较，结论: 1 1(y=Asinx，x,R(A>0且A,1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点2 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω,1)的图象，可看作把正弦曲 1线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐, 标不变) 2(若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。 四、例三(作出y=2sin2x的图象。 解:(略) 五、作业:P66练习 1中 ???? P68 4.8 2中?——? 第三十二教时 教材:函数y=sin(x+φ)和y=Asin(ωx+φ)的图象 目的:要求学生掌握“φ”在y=Asin(ωx+φ)的图象中的作用;会用图形变换方法和五点法分别画出y=sin(x+φ)和y=Asin(ωx+φ)的图象。 过程:一、简要复习y=Asinx和y=Asinωx的图象 注意突出“A”与“ω”的作用，同时综合成y=Asinωx图象的作法 二、y=sin(x+φ)的图象的作法 ,,1(由y=cosx=sin(x+)知可以看作将y=sinx的图象上各点向左平移个单位得22到 ,,2(例一 (P62例三)画出函数y=sin(x+) (x,R);y=sin(x,) (x,R)的简图 43 1 x y=sin 2 y 1 , 2, 34 , x O ,y=sin(x-,/4) ,y=sin(x+) , , 3 1 1:用平移法 注意讲清方向:“加左”“减右” ,2:也可用列表法, 然后用五点法作图 以y=sin(x+)为例 3 ,,,3x+ 0 2, , 223 x ,,,,,275, 36363 3:小结:(P63) 0 1 0 -1 0 ,) sin(x+3 三、y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 1(先重温， 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 A, ω, φ在图象中的作用 ,2(例二(P63例四)画出函数y=3sin(2x+) x,R的图象。 3解:周期T=,(五点法) ,,,3,2x+ 0 2, , 令X=2x+则2233 x ,,,5,,7,, X,1212636,x3x=,, 0 3 0 -3 0 ,2263sin(2x+) 3 ,y=sin(x+) ,3) y=sin(2x+ y 3 1 , , ,,5,34, 6, x 36O , , , 1 ,3(用平移法作y=3sin(2x+)的图象 3 4(小结平移法过程(步骤)P64-65略 作y=sinx(长度为2,的某闭区间) 沿x轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 得y=sinωx 得y=sin(x+φ) , 沿x轴平 移||个单位 横坐标伸 长或缩短 , 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一 个周期闭区间上再扩充到R上。 两种方法殊途同归 四、小结:1(突出A, ω, φ的作用 2(强调y=Asin(ωx+φ)图象的平移步骤及五点法 五、作业:P8 习题4.9 2中 ?? 及3 第三十三教时 教材:的图象，综合练习 y,Asin(,x，,) 目的:进一步熟悉参数对函数图象的影响，熟练掌握A、,、,y,Asin(,x，,) 由的图象得到函数的图象的方法。 y,sinxy,Asin(,x，,)，k(x,R)过程: 二十一、 复习提问: 4(如何由的图象得到函数的图象 y,sinxy,Asin(,x，,) (如何用五点法作的图象 5y,Asin(,x，,) 6(A、,、,对函数y,Asin(,x，,)图象的影响作用 ,y,Asin(,x，,),x,0,，,),(其中A,0,,,0)三十、 函数的物理意义: 函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅” 2,T,T:往复振动一次所需的时间，称为“周期” , 1,f,,f:单位时间内往返振动的次数，称为“频率” T2, :称为相位 ,x，, :x = 0时的相位，称为“初相” , y,Acos(,x，,),x,R,(其中A,0,,,0) 三、1(函数的简图可类似获得 2(口答:P66—67练习 4，5 P67—68习题4.9 1 四、处理《教学与测试》P123—124 第59课 ,例一、函数的最小值是,2，其图象y,Asin(,x，,),(A,0,,,0,|,|,)2 最 高点与最低点横坐标差是3,，又:图象过点(0,1)，求函数解析式。 T2,1 解:易知:A = 2 半周期 ?T = 6, 即 从而: ,3,,6,,,32, 1 设: 令x = 0 有 2sin,,1y,2sin(x，,)3 1,,, 又: ? ?所求函数解析式为 |,|,y,2sin(x，),,2636 ,例二、设用五点法作出函数的图象， y,3cos(2x,)4 问:这个图象可由的图象经过如何变换得到, y,cosx 解: ,3, , 2x, 40 2, , 22 ,3,5,7,9, x 88888 , 3cos(2x,)43 0 0 3 ,3 ,例三、函数f (x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位所得的2 1y,f(x)曲线是y,sinx的图象，试求的解析式。 2 1,1, 解:将y,sinx的图象向右平移个单位得:y,sin(x,) 2222 11 即y,,cosx的图象再将横坐标压缩到原来的得:22 1y,,cos2x 2 1？y,f(x),,cos2x 2 五、作业:课本P68—69 习题4.9 4，5 《教学与测试》P123—124 余下部分(选) 第三十四教时 教材:正切函数的图象和性质 目的:学会画出正切函数的图象，并掌握正切函数的性质。 过程: 一、课题:正切函数的图象和性质。 二、正切函数的图象。 y,tanx ,1(首先考虑定义域:，， x,k，k,z,2 2(为了研究方便，再考虑一下它的周期: sinx，，，,sinx,,,,，，？tanx，,,,tanxx,R,且x,k，,k,z ,,,,，，cosx，,cosx2,,, ,,,且？y,tanxx,R,x,k，,k,z 的周期为(最小正周期) ,T,,,,2,, ,,,,,,3(因此我们可选择的区间作出它的图象。 ,,22,, y ,, ,x 2 2 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 ,，，y,tanxx,R，且的图象，称“正切曲线” x,，k,k,z2 y ,3,,,,0 3 ,,,x ,222 2 三、正切函数的性质 引导学生观察，共同获得: ,,,x|x,，k,k,z,1、 定义域:， ,,2,, 2、 值域:R ,,xx,,,k,，观察:当从小于，，，时， k，k,ztanx,,,,,22 ,,x 当从大于，，，时，。 ，k,k,zx,,,，k,tanx,,,,,223、 周期性: T,, ，，4、 奇偶性:tan,x,,tanx奇函数。 ,,,,,，k,,，k,k,z5、 单调性:在开区间内，函数单调递增。 ,,22,, 四、例题: ,,1317,,,,tan,tan,例一、比较与的大小。 ,,,,45,,,, 13,17,2,,,,,,？tan,,,tantan,,,tan解:，， ,,,,5544,,,, 2,,,,,yx在0,,,,tan0,又:内单调递增， ,,452,, ,,,,221317,,,,tantan,tantan,即tantan？,？,,,,,,,,。 ,,,,454545,,,, ,,,yx,tan，例二、讨论函数的性质。 ,,4,, ,,,x|x,Rx,k，,k,z且略解:定义域: ,,,4,, 值域:R 非奇非偶函数 3,,,,kk,,，在上是增函数。 ,,,,44,, ,图象可看作是y,tanx的图象向左平移单位。 4 ,y,tanx,x,R且x,k，,k,z五、小结:的图象，性质。 ,2 六、作业:P71练习 1，2，3，4，6 P72习题4.10 1，2，3，4 第三十五教时 教材:(续)正切函数的图象与性质、余切函数的图象性质(《教学与测试》60 课) 目的:巩固正切函数的图象与性质，使学生能逐步养成熟练技巧，同时介绍余切 函数的图象与性质。 过程: 一、复习正切函数的图象与性质(略) 二、处理《教学与测试》P125第60课 y tanx,3例一、用图象解不等式 y 3 T 3 ,,0 x 32 A 0 x ,,，，k，,k，k,z解:利用图象知，所求解为 ,,,,32，， 亦可利用单位圆求解。 ,,,yx,tan3,例二、求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶,,3,, 性、单调性。 5k,,,,3解:由x,,k，得x,，， ,32318 k5,,,,x|x,R,x,，,k,z？且 所求定义域为 ,,318,, ,值域为R，周期T,，是非奇非偶函数。 3 k,,k,5,,,，，,,，k,z在区间上是增函数。 ,,318318,, tanx,3,，，y,,x,0,2,x,,例三、作出函数且的简图。 2221，tanx ,,3,,,,,sin,,0,,,2,xx,,,,,tantanxx,22,,,,解:,,, y,2,3,,,secx1，tanx,,sin,,,xx,,,22,,,y 1 O 2, , x 三、余切函数的图象及其性质(要求学生了解) ,,,,,,yxxx,cot,tan,,,tan,——即将的图象，向左平移y,tanx,,,,22,,,, ,个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象。 y,cotx2 y ,,,,,0 3x ,, 22 2 x,R且x,k,,k,z定义域: ,,,,,,x,k,k，k,zx,k,,,k,k,z值域:R，当时y,0，当时,,,,,,22,,,, y,0 周期: T,, 奇偶性:奇函数 ，，，，k,,k，1,单调性:在区间上函数单调递减。 二、求下列函数的定义域 。 。 cotxy,y,cotx,cscx1、 2、 tanx,1。 。 ,,,,,k,x,k，cotx,0,,2,,,tanx,1,0,,,,,,,,,,x,k，解:1、 ,,k,k，,k，,k，,k,z,,,,,,,,,,4x,k,442,,,,,,x,k,,x,k，,,,,2x,k，,,,2,, ,x,x,cot0cot0, ,,csc0csc0,,x,或x,,第一象限或第四象限包括y轴2、 ,, ,,x,k,x,k,,, ,, ？x,(2k,,2k,，],[2k,,,2k,)k,z22 四、作业:《教学与测试》 P126练习，全部 第三十六教时 教材:已知三角函数值求角(反正弦，反余弦函数) 目的:要求学生初步(了解)理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正 ,,弦值、余弦值求出0,2,范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示 角或角的集合。 过程: 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由y,sinx,x,R y , ,2 ,,,,0 ,2,3,2, x 2 1:在R上无反函数。 ,,,,，，，，y,sinx,2:在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 ,,,,,,,,2222，，，， ,,，，？y,sinx在上，的反函数称作反正弦函数， ,,,,22，， ，，y,arcsinx,1,x,1记作，(奇函数)。 y,cosx,x,R.同理，由 y , , 2 ,, ,, 0 ,2, 3, x 2, 2 在,,上，的反函数称作反余弦函数， 0,,y,cosx ，，记作 y,arccosx,1,x,1 二、已知三角函数求角 首先应弄清:已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 2,,，，例一、1、已知，求x sin,,,,x且x,,222，， ,,，，？,,解:在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ,,22，， ,2,x,,arcsin ?(即) x,244 2,,sinx,,且x,0,2,2、已知 2 2？sinx,,0？x解:，是第一或第二象限角。 2 23,,,,,,,sinsin, ？,,,？x,或x,,,,,,,442444,, 223,,x,arcsin,或x,,arcsin, 即()。 ,2424 2sinx,,,且x,R3、已知 2 2？sinx,,,0,？解:x是第三或第四象限角。 2 2,,,,,, ，，，，sin，,,sin,,,？x,2k，，,2k，1，k,z,,,,,,44244,, 2,,,,,, ，，，，sin,,,sin,,,？x,2k，2,,2k，2,k,z,,,,,,44244,, ,,2,,k,,，，x,k，,1arcsin,，，,(即x,2k,或x,2k，k,z 或 ) ,,,,244,, ，，这里用到是奇函数。 arcsin,x,,arcsinx,？y,arcsinx x例二、1、已知,,，求 cosx,0.7660且x,0,, 解:在,,上余弦函数是单调递减的， 0,,y,cosx 且符合条件的角只有一个 2, ，， ？x,即x,arccos0.76609 ,,2、已知，且x,0,2,，求x的值。 cosx,,0.7660 ？解:，x是第二或第三象限角。 ？cosx,,0.7660,0 2,2,,,,,？cos,,cos，,,0.7660 ,,,,,,99,,,, 27211,,,, ？x,,,或x,，,,,9999 cosx,,0.7660,且x,R3、已知，求x的值。 711,,，，解:由上题:。 x,2k，或x,2k，k,z,,99 ，，arccos,x,,,arccosx,介绍:? 7,，，，，?上题 x,2k,arccos,0.7660,2k,k,z,,9 例三、(见课本P74-P75)略。 三、小结:求角的多值性 法则:1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业:P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 第三十七教时 教材:已知三角函数值求角(2) 目的:理解反正切函数的有关概念，并能运用上述知识已知三角函数值求角。 y 过程: , 一、反正切函数y,tanx,x,k，,x,R ,2 1:在整个定义域上无反函数。 ,,，，,, 2:在上y,tanx的反函数称作反正切函数， 0 ,,22x ，， ，， 记作(奇函数)。 y,arctanxx,R 二、例一、(P75例四) 1,,,,x且xtan,,,,1、已知，求x(精确到)。 0.1,,,322,, ,,,,,,解:在区间上是增函数，符合条件的角是唯一的 y,tanx,,22,, ,,,0x,1826' ,,10,, 1,,2、已知且x,0,2,，求x的取值集合。 tanx,3 ,,,,,,tantan,？，,？x,，或x,解: ,,,,10101010,, 11,,11,,？,,arctan,，arctan 所求的x的集合是(即) x和x,,,101033,, 13、已知，求x的取值集合。 tanx,且x,R3 11,,，，解:由上题可知:， x,k，x,k，k,z,,1010 ,，，合并为 x,k，k,z,10 三、处理《教学与测试》P127-128 61课 3,sin,, 例二、已知，根据所给范围求: 2 ,,, 1:为锐角 2:为某三角形内角 3:为第二象限角 4: ,,R , 解:1:由题设, ,3 2,,, 2:设,，或,,, ,,,12333 2,，， 3:,2k，k,z ,,3 3,kk，，，，，，,k，,1arcsin,k，,1k,z 4:由题设 ,,,23 例三、求适合下列关系的x的集合。 32，，2cosx,2x,Rsinx,, 1: 2:3tanx,1,0 3: 5 22,cosx,,x,2k,arccos,2k,,k,z 解:1: ,,224 ,,,x|x,2k,,k,z？ 所求集合为 ,,,4,, ,,3,,tanx,,,x,k,,？x|x,k,,k,z 2:所求集合为 ,,,,636,, 33,,ksin,,,,,,1arcsin 3: ，，xxk,,,55,, B2 例四、直角锐角A，B满足: 2cos,tanA,sinA，1,求，A,ABC2 解:由已知: 1，cosB,tanA,sinA，1 为锐角， ？2sinA,tanA,？A？sinA,0 1,,cos,0, ？A,,A,？，A,223 四、小结、反正切函数 五、作业:P76-77练习与习题4.11余下部分及《教学与测试》P128 61课练习 第三十八教时 教材:复习两角和与差的三角函数(用《导学 创新》) 目的:通过复习让学生进一步熟悉有关内容，并正确运用有关技巧解决具体问题。 过程: 二十二、 复习:有关公式 三十一、 强调有关解题技巧:化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和 积互换 三十二、 例题: 53a) 在?ABC中，已知cosA =，sinB =，则cosC的值为„„„„(A) 513 1656161656或A. B. C. D. , 6565656565 解:?C = , , (A + B) ?cosC = , cos(A + B) 123又?A,(0, ,) ?sinA = 而sinB = 显然sinA > sinB 513 4?A > B 即B必为锐角 ? cosB = 5 1235416，,，,?cosC = , cos(A + B) = sinAsinB , cosAcosB = 13513565 b) 在?ABC中，，C>90:，则tanAtanB与1的关系适合„„„„„„(B) A. tanAtanB>1 B. tanAtanB>1 C. tanAtanB =1 D.不确定 解:在?ABC中 ?，C>90: ?A, B为锐角 即tanA>0, tanB>0 tanA，tanB,又:tanC<0 于是:tanC = ,tan(A+B) = <0 1,tanAtanB ?1 , tanAtanB>0 即:tanAtanB<1 又解:在?ABC中 ?，C>90: ?C必在以AB为直径的?O内(如 图) 过C作CD,AB于D，DC交?O于C’， C’ 设CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q， h' C 22hhhh',,,,,1 则tanAtanB h pqpqpqA B q p D ,3,3,5,3,cos(，,),,c) 已知，0,,,，，sin(，,),， ,,,44445413 求sin(, + ,)的值 ,3,,, 解:? ? ,,,,，,,,4424 ,3,4cos(，,),,sin(，,), 又 ? 4545 ,3,3,0,,, ? ?,，,,, 444 3,123,5cos(，,),,sin(，,), 又 ? 413413 ,3, ?sin(, + ,) = ,sin[, + (, + ,)] = ,sin[(，,)，(，,)]44 ,3,,3, ,,[sin(，,)cos(，,)，cos(，,)sin(，,)]4444 4123563,,[，(,),，], 51351365 2d) 已知sin, + sin, = ，求cos, + cos,的范围 2 解:设cos, + cos, = t， 1222 则(sin, + sin,) + (cos, + cos,) = + t 2 12?2 + 2cos(, , ,) = + t 2 132即 cos(, , ,) = t , 24 132又?,1?cos(, , ,)?1 ?,1?t ,?1 24 1414,??t? 22 ,,2x，33x，4,0e) 设,，,,(,,)，tan,、tan,是一元二次方程的两个22 根，求 , + , ,tanα，tanβ,,33解:由韦达定理: ,tanα,tanβ,4, tan,，tan,,33tan(,，,),,,3 ? 1,tan(,，,)1,4 ,,又由,，,,(,)且tan,，tan, < 0 (?tan,+tan,<0, tan,tan, >0) ,22 2,得, + ,, (,,, 0) ?, + , = , 3 tan,11f) 已知sin(,+,) =，sin(,,,) =，求的值 tan,210 31,,sin,cos,,sin,cos,，cos,sin,,,,102解:由题设: ,,,11,,sin,cos,,cos,sin,,cos,sin,,105,, tan,sin,cos,33,,，5,从而: tan,cos,sin,102 sin(,，,)tan,,5或设:x = ? tan,sin(,,,) sin(,，,)tan,，1tan,，tan,x，1cos,cos,tan,,,,,5? sin(,,,)tan,tan,,tan,x,1,1cos,cos,tan, tan,33?x = 即 = tan,22 三十三、 作业:《课课练》P63—64 第34课 课外作业:课本P88 复习参考题 14—180 第三十九教时 教材:复习二倍角的正弦、余弦、正切 目的:通过梳理，突出知识间的内在联系，培养学生综合运用知识，分析问题、 解决问题的能力。 过程: 二十三、 复习:1(倍角公式 2(延伸至半角、万能、积化和差、和差化积公式 三十四、 例题: a) 化简:21，sin8，2，2cos8 解:原式 222 ,21，2sin4cos4，2，2(2cos4,1),2(sin4，cos4)，2cos4 = 2|sin4 + cos4| +2|cos4| 3,? ?sin4 + cos4 < 0 cos4 < 0 4,(,,)2 cos4 = ,2sin4 , 4cos4 ?原式= ,2(sin4 + cos4) ,2 ,,1,b) 已知，求sin4,的值 sin(，,)sin(,,),,,,(,,)4462 ,,1,,1sin(，,)sin(,,),2sin(，,)cos(，,),解:? ? 446443 ,11sin[2(，,)],? ?cos2, = 433 ,又? ?2,, (,, 2,) ,,(,,)2 12222,,,,,,,,1cos21()?sin2, = 33 221422，(,)，,,?sin4, = 2sin2,cos2, = 339 22c) 已知3sin, + 2sin, = 1，3sin2, , 2sin2, = 0，且,、,都是锐角， 求,+2,的值 22222解:由3sin, + 2sin, = 1 得1 , 2sin, = 3sin, ?cos2, = 3sin, 3由3sin2, , 2sin2, = 0 得sin2, =sin2, = 3sin,cos, 22?cos(,+2,) = cos,cos2, ,sin,sin2, = cos,3sin, , sin,3sin,cos, = 0 ?0:<,<90:, 0:<,<90: ?0:< ,+2, <270: ?,+2, = 90: d) 已知sin,是sin,与cos,的等差中项，sin,是sin,、cos,的等比中项， ,2 求证:cos2,,2cos(，,),2cos2, 4 证:由题意: 2sin, = sin, + cos, ? 2 sin, = sin,cos, ? 222?,2?:4sin, , 2sin, = 1 22?1 , 2sin, = 2 , 4sin, ?cos2, = 2cos2, 2 由?:1 , 2sin, = 1 , 2sin,cos, ,,222 ?cos2, = (sin, , cos,) = [2cos(，,)],2cos(，,) 44 ,2cos2,,2cos(，,),2cos2,? 原命题成立 4 ,,(,,)5((《教学与测试》P129备用题)奇函数f (x)在其定义域上是减22 2函数， 并且f (1,sin,) + f (1,sin,) < 0，求角,的取值范围。 22解:?f (1,sin,) < f (sin, ,1) ? 1,sin, < sin, ,1 11 ,<1,sin,< 22 112 ,1)，求证: cos,,a证:?sin, = sin[(,+,),,] = sin(,+,)cos,,cos(,+,)sin, = asin(,+,) ?sin(,+,)(cos, , a) = cos(,+,)sin, sin,tan(,，,),? cos,,a 三十五、 作业:《导学 创新》印成讲义 课外作业 P88 复习参考题 19—22 :正确 ?2 ,,解二:对于1:取x=-，x=则有f (x)=f (x)=0但x-x不是,的整数倍 12121263 ?1:不正确 ,,,,对于2: ?sin(2x+)=cos(2x+,)=cos(2x-) 故2:正确 2336 ,,对于3:点x,y关于点(-,0)的对称点是(,,x,,y)，设点A(x,y)是 63 函数y=f (x)的图象上任一点，则由 ,,,,,y=4sin(2x+)得,y=,4sin(2x+)=4 sin(-2x,)=4sin[2(,x,)+] 33333 ,,即点A关于点(,,0)的对称点(,,x,,y)也在函数y=f (x)的图象上，该函63 ,数关于点(,,0)对称 故3:正确 6 ,,对于4:，点A(0,4sin)是函数y=f (x)的图象上的点，它关于直线x=,36 ,,,,,,,2的对称点为A’(,,4sin) 由于f ()=4sin(-+)=-4sin,4sin ,3333333 ?点A’不在函数y=f (x)的图象上 ?4:不正确 8(如图半?O的直径为2，A为直径MN延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任一点，以AB为边作等边?ABC (A、B、C按顺时针方向排列)问，AOB为多少时，四边形OACB的面积最大,这个最大面积是多少, 32C 解:设，AOB=, 则S=sin, S= AB??AOBABC4 作BD,AM, 垂足为D, 则BD=sin, OD=,cos, AD=2,cos, 22222? AB,BD，AD,sin,，(2,cos,)B , =1+4,4cos,=5,4cos, A M D O N 533?S=(5,4cos,)= ,3cos,?ABC44 ,5353于是S=sin,,3cos,+=2sin(,,)+ 四边形OACB443 ,553?当,=，AOB=时四边形OACB的面积最大，最大值面积为2+ 46 ,图象关于直线x=,对称，那么a等于„„(D) 9(如果函数y=sin2x+acos2x的8 (A) (B)1 (C), (D),1 22 解一:(特殊值法) ,,, 点(0,0)与点(,,0)关于直线x=,对称 ?f (0)=f (,) 448 ,,即sin0+acos0=sin(,)+acos(,) ?a=,1 22 解二:(定义法) ,?函数图象关于直线x=,对称 8 ,,,,?sin2(,+x)+acos2(,+x)= sin2(,,x)+acos2(,,x) 8888 ,,?2cossin2x=,2asinsin2x ?a=,1 44 解三:(反推检验法) 33当a=时y=sin2x+cos2x ?y= y=, 22maxmin 2,3而当x=,时 y=1,,? 可排除A，同理可排除B、C 28 10(函数f (x)=Msin(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f (a)=M，f (b)=,M 则函数g (x)= Mcos(ωx+φ))在区间[a,b]上„„„„„„„„„„„(C) (A)是增函数 (B)是减函数 (C)可取得最大值M (D)可取得最小值-M ,,解一:由已知M>0 ,+2k,?ωx+φ?+ (k,Z) 22 ?有g (x)在[a,b]上不是增函数也不是减函数，且 当ωx+φ=2k,时 g (x)可取得最大值M ,,解二:令ω=1, φ=0 区间[a,b]为[,,] M=1 22 则g (x)为cosx，由余弦函数g (x)=cosx的性质得最小值为-M。 11(直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx (ω为常数且ω>.0)相交的相邻 两点间的距离 是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(C) ,,2(A), (B) (C) (D)与a有关 ,, 解:由正切函数的图象可知“距离”即为周期。 ,, 12(求函数y=3tan(+)的定义域、最小正周期、单调区间。 x36 ,,,解:+,k,+得x,6k+1 (k,Z) 定义域为{x|x,6k+1, k,Z } x236 ,由T=得T=6 即函数的最小正周期为6 , ,,,,k,+<+< k,+ (k,Z)得:6k,5tan,，比较,+,与的大小。 2 ,解:cot,= tan(,,) 2 ,?cot,>tan, ?tan(,,)>tan, 2 ,,,?0<,,< 0<,<且y=tanx在此区间内递增 222 ,,?,,>, ?,+,< 22 114(求函数f (x)=的最小正周期。 tanx,cotx 112sinxcosxsin2x1,,,,,tan2x解:f (x)= 2222sinxcosxsinx,cosx,2(cosx,sinx),2cos2x2,cosxsinxsinxcosx ,?最小正周期T= 2 三、作业:见《导学•创新》 第四十一教时 教材:复习已知三角函数值求角 目的:要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深，并且能较正确的 根据三角函数值求角。 过程: 二十四、 复习:反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 三十六、 例题: 53,例三、1:用反三角函数表示中的角x sinx,,,x,(,,)62 7, 2:用反三角函数表示中的角x tanx,5,x,(3,,)2 3,, 解:1: ?,,x, ? ,,,,x,022 55sin(,,x),, 又由 得 sinx,,66 55 ? ? ,,x,arcsin(,)x,,,arcsin(,)66 ,7,0,x,3,, 2: ?3,,x, ? 22 又由 得tan(x,3,),5 tanx,5 ? ? x,3,,arctan5x,3,，arctan5 x,1cos(，),,例四、已知，求角x的集合。 232 x,1x,2,cos(，),, 解:? ? ，,2k,,(k,Z)232233 x,2,2,，,2k,， 由 得 x,4k,，(k,Z)2333 x,2,，,2k,, 由 得 x,4k,,2,(k,Z) 233 2, 故角x的集合为{x|x,4k,，或x,4k,,2,,k,Z} 3 例三、求的值。 arctan1，arctan2，arctan3 解:arctan2 = ,, arctan3 = , 则tan, = 2， tan, = 3 ,,,,,,, 且， ,,, 4242 tan,，tan,2，3tan(,，,),,,,1 ? 1,tan,tan,1,2，3 ,3, 而,,，,,, ?, + , = 42 , 又arctan1 = ?= , arctan1，arctan2，arctan34 ,2,,,x,例四、求y = arccos(sinx), ()的值域 33 3,2,,,u,1,,x, 解:设u = sin x ? ? 233 5,5, ?0,arccos(sinx), ?所求函数的值域为 [0,]66。三、作业:《导学 创新》