历届高等数学竞赛试卷

历届高等数学竞赛试卷 第二十届高等数学竞赛试卷 专业年级: 学 号: 姓 名: 成 绩: 页号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 说明: 1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2006年6月4日 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 124a,(1,ax),1x,0xsinx1. 若时，与是等价无穷小，则. 解题过程是: 1 2ln(1，x)lim(cosx),x,02. . 解题过程是: x1,2ttx,sind,0,,,30fx,()x, ,a,　　　　 ax,,0,x,0,3. 设函数在处连续，则. 解题过程是: y,z,z设z,xysin,则x，y,x,x,y4. . 解题过程是: 1,微分方程xy，2y,xlnx满足y(1),,的解为:95. . 解题过程是: a若0,x,1,6.设a,0,f(x),g(x),,而D表示全平面，,0,其他, 则 I,f(x)g(y,x)dxdy,_______,,D 解题过程是: ,2005222(x，cosx)tanxdx,.,,,7. 2 解题过程是: n12,,,,,limsin，sin，？，sin,.,,n,,nnnn,,8. 解题过程是: z222设空间区域,由x，y，z,1所界定,计算edv,.,,, ,9. 解题过程是: Dxyy,,(,)|0,,fxy(,)t,010. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的 ,2ftxtytfxy(,)(,),DL都有. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则 yf(x,y)dx,xf(x,y)dy,.,L. 解题过程是: 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 1.用变量代换x,cost(0,t,)化简微分方程:, 2,,,,(1,x)y,xy，y,0，并求满足y,1,y,2的解.x,0x,0 解题过程是: 22zxyz,，,,(01),2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分 xyzyzxzxydd2dd3(1)dd，，,,,,.. 解题过程是: 323.设函数yaxbxcx2在x1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的,，，，, 图形有拐点，试确定常数a,b和c的值. 解题过程是: 4.设函数f(x)在(,,,,)上连续，且对任意的t满足下式: 22224,2，，，f(t)(xy)f(xy)dxdyt,,222x，y,t 求函数f(x). 解题过程是: 225.求旋转抛物面z,x，y与平面x，y,2z,2之间的最短距离(. 解题过程是: htt6.设有一高为()(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 22x，y2()z,ht,()(设长度为厘米，时间为小时)，ht() 已知体积减少的速率与侧面积成正比，(比例系数0.9),问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间, 解题过程是: 226x，8y,2227.设n是曲面2x，3y，z,6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u,z,在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度. 解题过程是: 三、证明题(本题8分): ,设函数(y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，,(y)dx2xydy，曲线积分的值恒为同一常数，,24L2xy， (I)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑, ,(y)dx2xydy，简单闭曲线C，有0;,,24C2xy， (II)求函数,(y)的表达式. 中国石油大学(华东) 第二十届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 124a,(1,ax),1x,0xsinx1. 若时，与是等价无穷小，则. 11224(1,ax),1~,ax2xsinx~xx,04.解 当时，，. 112,ax24(1,ax)14lim,lim,,a,12x,0x,0xsinx4x于是，根据题设有 ，故a=-4. 1 2ln(1，x)lim(cosx), x,02. . 11limlncosx22ln(1，x)x,0，ln(1x)lim(cosx)ex,0解 =, sinx,1,1lncosxlncosx1cosx2limlimlime,,,,,.22x,0x,0x,02x2ln(1x)x，e而 ，故 原式= x1,2ttx,sind,0,3,0fx,()x, ,a,　　　　 ax,,0,x,03. 设函数在处连续，则. lim()(0)fxfa,,fx()x,0x,0解 由题设知，函数在 处连续，则 ， x22sindttsin1x1,0,,,lim()limlimfxa,32,,,000xxxxx333又因为 . 所以 . y,,,,设z,xyf,函数f(u)可导,则xz，yz,,,xy,zyyyyyy,,,,,,,,,,x. 4. ,,,,解:,yf，xyf,,yf,f,,,,,,,,,,,2,xxxxxx,,,,,,,,x,, 2,zyy1yy,,,,,,,,,,,xf，xyf,xf，yf,,,,,,,,, ,yxxxxx,,,,,,,, yy,,,,？xz，yz,2xyf，0,2xysin，0,2z.,,xy xx,, 1,微分方程xy，2y,xlnx满足y(1),,的解为:95. . 2,解:原方程等价为:y，y,lnx，于是通解为:x 22,dxdx,,11112xxy,e[lnx,edx，C],,[xlnxdx，C],xlnx,x，C,,2239xx 111由y(1),,，得C,0，故所求通解为:y,xlnx,x..939 a若0,x,1,6.设a,0,f(x),g(x),,而D表示全平面，,0,其他, 则 I,f(x)g(y,x)dxdy,_______.,, D 0,x,1,0,y,x,1解:本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 . a若0,y,x,1;a若x,y,1，x;,,g(y,x),,g(y,x),,,0,其他,0,其他,,, ,0,,1,x2a,()(,),,,1，,fxgyxxyx, ,0,其他, I,f(x)g(y,x)dxdy,, 11D22,adxdy，0dxdy,adxdy,,,,,,x，0 x12DD122,a[(x，1),x]dx,a., 0,2005222(x，cosx)tanxdx,.,,,7. 2,,, 2005222005222222解:(x，cosx)tanxdx,,xtanxdxdx，cosxtanxdx,,,,,,,,,222 ,,,122,0，2sinxdx,2,,,.,0222 n12,,,,,limsin，sin，？sin,.,,n,,nnnn,,8. 1,,2(n,,1),,limsin，sin，，sin,,,,n解:？nnnn,, nn1i,1,limsin,,limf(,),x,sin,xdx,,ii,0,,,,nnnn,1,1 iifxxn看作(),sin, ,把区间[0，1]分为等份，分点为 ini121x0,,,？,,？,, 取,,,,,iinnnnnn ,1,cos121x,,，，？,sind,,,cos，cos0,.原式xx,,,,0 0` z222设空间区域,由x，y，z,1所界定,计算edv,.,,, ,9. zDz解:？被积函数仅为的函数，截面为圆域 222x，y,1,z，故采用:先二后一:法( 11zzzz2edv,2edv,2edzdxdy,2,(1,z)edz,2,.,,,,,,,,,,00,,上z D Dxyy,,(,)|0,,fxy(,)t,010. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的 ,2ftxtytfxy(,)(,),DL都有. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则 yf(x,y)dx,xf(x,y)dy,.,L. ,2ftxtytfxy(,)(,),t解 两边对求导得 ,3,,xftxtyyftxtytfxy(,)(,)2(,)，,,xy . ,,xfxyyfxyfxy(,)(,)2(,)，,,xyt,1 令 ，则 ,. 即11,,fxyxfxyyfxy,,,(,)(,)(,)xy22 ? PxyyfxyQxyxfxy(,)(,),(,)(,),,, 设，则 ,,QP,,(,)(,),(,)(,),,,,，fxyxfxyfxyyfxyxy,,xy . ,,QP11,,,,,,,yfxyxfxy(,)(,)yx,,,,xy22,, 则由?可得 . DL 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有 yf(x,y)dx,xf(x,y)dy,0.,L 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 1.用变量代换x,cost(0,t,)化简微分方程:, 2,,,,(1,x)y,xy，y,0，并求满足y,1,y,2的解.x,0x,0 dydt1dy,解:y,,,,， dtdxsintdt2,dydtcostdy1dy1,,y,,,[,],(,),22dtdxdtsintsintsintdt 2dy代入原方程得，y,0，2dt 2解此微分方程，得y,Ccost，Csint,Cx，C1,x1212 ,把初始条件y,1,y,2代入，有C,2,C,1。12x,x,00 2故满足初始条件的特解为:y,2x，1,x. 22zxyz,，,,(01),2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分 xyzyzxzxydd2dd3(1)dd，，,,,,.. 22,zxy,，,1(1)1解 设:，取上侧，则 xyzyzxzxydd2dd3(1)dd，，,,,, ,，，,,，，,xyzyzxzxyxyzyzxzxydd2dd3(1)dddd2dd3(1)dd,,,,,，,,11. 211,xyzyzxzxydd2dd3(1)dd，，,6d6ddd2vrrz,,,,,,,,,,,,r00,，,V1而 ,， xyzyzxzxydd2dd3(1)dd0，，,,,,,1 . xyzyzxzxydd2dd3(1)dd2，，,,,,,,所以 . 323.设函数yaxbxcx2在x1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的,，，，, 图形有拐点，试确定常数a,b和c的值. 32解:f(x),ax，bx，cx，2,f(x)在(,,,，,)二阶可导， 2,,,f(x),3ax，2bx，c,f(x),6ax，2b, ,,,根据题意，f(1),3a，2b，c,f(0),2b,0,f(1),a，b，c，2,0，于是得a,1,b,0,c,,3. 4.设函数f(x)在(,,,,)上连续，且对任意的t满足下式: 22224f(t),2(x，y)f(x，y)dxdy，t求函数f(x).,,222x，y,t ,xr,cos,,tt解:令,,,,f(t),2drf(r)rdr，t,4f(r)rdr，t,2yr,,sin2434, ,,,000,,,两边对t求导:f(t),4f(t)t，4t,4tf(t)，1,333 ,,,,f(t)f(t)1,即,4t,dt,4tdt，,lnf(t)，1,t，C.334,,,f(t)，1f(t)，1,, 1144,t,x由f(0),0,知C,0，？f(t),(e,1)，即f(x),(e,1),, 225.求旋转抛物面z,x，y与平面x，y,2z,2之间的最短距离(. 22解:设P(x,y,z)为抛物面z,x，y上任一点, 1则P到平面x，y,2z,2,0的距离为d,d,x，y,2z,2. 6 1222令F(x,y,z),(x，y,2z,2)，,(z,x,y), 6 1,,,F,(x，y,2z,2),2x,0,(1)x,3,1,,Fxyzy,(，,2,2),2,0,(2),,y3, ,1,F,(x，y,2z,2)(,2)，z,0,(3),z3,22,z,x，y,(4), 111111解此方程组得x,,y,,z,.，即得唯一驻点(,,),448448 111根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一驻点，故必在(,,)448 11117处取得最小值(d,，,,2,..min444646 22x，y2()httz,ht,6.设有一高为()(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()(设长度为厘米，ht()时间为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比，(比例系数0.9),问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间, VS解:设为雪堆的体积，为雪堆的侧面积，则 h(t)h(t),,23V,dzdxdy,[h(t),h(t)z]dz,h(t).,,,,24222100，,,xy[h(t)h(t)z]2dV3dh,2h(t),,dt4dt 22()22xy16，Szzdxdydxdy,1，，,1，xy2,,,,()22hth(t)h(t)2222，,，,xyxy22 1h(t)113,,216222,d[h(t)，r],rdr,h(t).2,2,,12h(t) 00 3313dVdVdhdh,,,2220909由题义，,,.S,？,h(t)，,h(t),,.h(t)4412dtdtdtdt dh131313,,,，,h(t),,t，C,？h(0),0,,h(t),,t，130,dt101010 令h,0,得t,100小时。 ,222.设n是曲面xyz在点P(,,)处指向外侧的法向量,计算72，3，,6111 22xy6，8,,函数u在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.,:n{F,F,F,}{4x,6y,2z}2{2x,3y,z}|{2,3,1},,,,,,,, zxyzP 解2231cos,cos,cos,,,,, 14141423122，，,,, u112x6u18y8,,,,,,,,xzyz,,141426x8y6x8y2222，，PPPP 6x8y22u，,14,,,,,z,z2PP u6283111,14.？,,，,,,,l7,1414141414 ,,,68graduijk.,，，p1414 三、证明题(本题8分): ,设函数(y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上， ,(y)dx2xydy，曲线积分的值恒为同一常数，,24L2xy， (I)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑, ,(y)dx2xydy，简单闭曲线C，有0;,,24C2xy， (II)求函数,(y)的表达式. Y 解 (I) l1 l 2 C o X l 3 lC,l，l312如图，将C分解为:，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 (y)dx2xydyydxxydy(y)dx2xydy，()，2，,,,,,,0242424,,,Cl，ll，l13232xy2xyxy，，2， . ,()2yxy,,PQ,2424PQ,，，22xyxyx,0(II) 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数， 由(?)知， ,()2ydxxydy，,,QP,24,L2xy，,,xyx,0曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 2425,，,,,，Qyxyxxyxyy2(2)4242,,,242242,，，xxyxy(2)(2) ? 243243,,,,，,，,Pyxyyyxyyyyy,,,,,()(2)4()2()()4(),,.242242,，，yxyxy(2)(2) ? 比较?、?两式的右端，得 ,,()2,yy,,,? ,435,()4()2. yyyyy,,　,,, ? 2535,()y,()yyc,,，242,ycyy,,由?得，将代入?得 2,().yy,,c,0所以，从而 中国石油大学(华东) 第二十一届高等数学竞赛试卷 专业年级: 学 号: 姓 名: 成 绩: 页号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 说明: 1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2007年6月10日 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 1，xln，,,,1,xx,0x1. 若时，与是等价无穷小，则. 解题过程是: ,arctanxsinx,lim3x,0x2. . 解题过程是: 1xy,，ln(1，e)x3. 曲线，渐近线的条数为: . 解题过程是: y,z,z设z,xytan,则x，y,x,x,y4. . 解题过程是: 5. 微分方程 12,y,的特解是:满足初始条件y,1,,,,x,0yy，y,0x,02 . 解题过程是: 6. ,,若平面区域D为:0,x,,0,y,，则二重积分cos(x，y)dxdy的值为:,,22D . 解题过程是: ,coscosx,x(3,3)dx,.,07. 解题过程是: 2,xf(x)dxxf(x),2的一个原函数是，则= . 8. 设函数 解题过程是: 9. 2222设空间区域,由z,x，y与z,1,x,y所围成,计算(x，z)dV,,, ,= . 解题过程是: 22为x，y,,ax的下半圆周自A(,a,0)到O(0,0)一段(a,0)AnO10. 设曲线， xx，，，，计算esiny,3ydx，ecosy,3dy,, AnO . 解题过程是: 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x,0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(a,0), (1)求L的方程; 8(2)当直线L与y,ax所围平面图形面积为时，确定a的值.3 解题过程是: 22曲面Σ是z,1,x,y(z,0)的上侧. 设，计算曲面积分 2. 332I,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy.,, , 解题过程是: 2223.求椭球面2x，3y，z,9的平行于平面2x,3y，2z，1,0的切平面方程. 解题过程是: 4.设函数f(x)在(0,，,)上连续，且对任意的t(t,0)满足下式: 1222f(t),1，[z，f(x，y]dV,,,2, 222其中,由不等式0,z,h,x，y,4t确定，求f(t). 解题过程是: 222222,,5.求函数f(x,y),x，2y,xy在区域D,(x,y)x，y,4,y,0上的最大值和最小值. 解题过程是: (x，y)dS,,,:x，y，z,1,6. 设曲面，计算曲面积分. 解题过程是: ,,,42,242,7.确定常数使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(xy)ix(xy)j,,,，,，为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 解题过程是: 三、证明题(本题8分): 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,,,,f(a),g(a),f(b),g(b),证明:存在,,(a,b)，使得f(,),g(,). 中国石油大学(华东) 第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 1，xln，,a,1,xx,0x1. 若时，与是等价无穷小，则. 解题过程是: 1，xln，,1,xx,0x若时，与是等价无穷小， 1，x，，ln,ln(1，x),ln1,x,x，o(x)，x，o(x),x，o(x) 1,x， 1,,,，x，o(x)~x,x,02则，故. ,arctanxsinx,lim3x,0x2. . 解题过程是: 33xx33xoxxox[()][()],，,,，xxarctansin1,36limlim,,,336x,x,00xx. 1xy,，ln(1，e)x3. 曲线，渐近线的条数为: 3 .. 解题过程是: 1xy,，ln(1，e)y,0(x,,,)x,0x曲线渐近线有3条:垂直渐近线，水平渐近线， y,x(x,，,)斜渐近线. y,,,,设z,xyf,函数f(u)可导,则xz，yz,,,,,,zyyyyyyxy,,,,,,,,x4. . ,,,,解:,yf，xyf,,,,yf,f,,,,,,,,,,,,xxxxxx2,,,,,,,,x,, 2,zyy1yy,,,,,,,,,,,xf，xyf,xf，yf,,,,,,,,, ,yxxxxx,,,,,,,, yy,,,,？xz，yz,2xyf，0,2xytan，0,2z.,,xy xx,,5. 微分方程 12,y,的特解是:满足初始条件y,1,,,,x,0yy，y,0x,02 . 解题过程是: dPdP2,,,,,,解:y,f(y,y)型，令P,y,y,P,代入yP，P,0,dydy dPdPdydPdyP,0时，y,,P，,,,,,,,,lnP,,lny，lnC，1,,dyPyPy 1dy1111,,P,,？,,？y,,,,,,C,2.1x,0CydxCy22C111 dy12？,,,2ydy,dx,,y,x，C,2dx2y 2？y,1,,1,C,通解:y,x，1,或y,x，1.2x,0 6. ,,若平面区域D为:0,x,,0,y,，则二重积分cos(x，y)dxdy的值为:,,22D . 解题过程是: , x，y,DDD.解:用直线把区域分为、两个区域122 I,cos(x，y)dxdy,cos(x，y)dxdy,,,, DD12 ,,,,,x2222,dxcos(x，y)dy,dxcos(x，y)dy,,,,,000,x2 ,, 22,(1,sinx)dx,(cosx,1)dx,,,2.,,00 ,coscosx,x(3,3)dx,.,07. 解题过程是: ,x,,tsint,sint3,3解:令， 是奇函数，得 2 ,coscosx,x(3,3)dx,0=,,,,,sinsinsinsintttt22(3,3)(,dt),(3,3)dt,0.,,,,, 22 2,xf(x)dxxf(x),28. 设函数的一个原函数是，则= . 解题过程是: 22,2xxxdf(x),xf(x),f(x),xf(x)dx,,,2x2ln2,2，C=. 2222设空间区域,由z,x，y与z,1,x,y所围成,计算(x，z)dV,,, ,9. = 解题过程是: ,？关于yoz面为对称，f(x,y,z),x为x的奇函数，有xdv,0.利用球面坐标系,,, , ,21,,24？(x，z)dv,zdv,ddrcos,rsindr,.,,,,,,,,,,,,,0008 ,, 22为x，y,,ax的下半圆周自A(-a,0)到O(0,0)一段.(a,0)AnO10. 设曲线， xx，，，，.计算esiny,3ydx，ecosy,3dy,,AnO . 解题过程是: 解:补上线段，组成闭曲线OA, ,,,Q,Pxx,,，， ,， ,,dxdy,ecosy,ecosy，3dxdy,3dxdy,,,,,,,,,,,AnOAAnOOA,x,y,,DDD 22a,a13,,,3,,,,,,,228,, 22a,a,a33x，，？,,,,e,,dx，e,,, 030,,,,AnOAnOAOA088. 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x,0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax,(a,0) (1)求L的方程; 8(2)当直线L与y,ax所围平面图形面积为时，确定a的值.3 解题过程是: 解:(1)设曲线L的方程为y,f(x),由题设得， y,y,,ax,x 这是一阶线性微分方程.,由通解公式， 11,,dx,dx,,,,2xxy,eaxedx，C,x(ax，C),ax，Cx,,,,,,, 2f(1),0,？C,,a,y,ax,ax(x,0)又故曲线L的方程为:. (2)L与直线y,ax(a,0)围成的平面图形面积 2 24822，，Daxaxaxx,,,d，，,,,,axxxa2d，，, ，，,0033 故a,2.22曲面Σ是z,1,x,y(z,0)的上侧.2. 设，计算曲面积分 332I,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy.,, , 解题过程是: 22解:补充xoy平面圆域x，y,1的下侧为Σ，组成闭曲面.1 332332I,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy.,,,, ,，,,11 332222xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,6(x，y，z)dxdydz,,,,, ,，,,1 22,11,r1122232,6,ddr(z，r)rdz,12,[r(1,r)，r(1,r)]dr,2,.,,,,00002 3322xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,,,3dxdy,3,,,,,22,x，y,11而 I,2,,3,,,,.故 2223.求椭球面2x，3y，z,9的平行于平面2x,3y，2z，1,0的切平面方程. 解题过程是: 222解:设F(x,y,z),2x，3y，z,9,切点M(x,y,z),000 ,,,,,,,,n{F,F,F}{4x,6y,2z},n{4x,6y,2z},n{2,3,2},nn,.,,,由题意,,?xyz000000 4x6y2z,,000,,,,,x,,y,,,z,,,0002,3222 22,,,,,,2222M(x,y,z)在椭球面上2x，3y，z,1,2，3,，,,9,解得,,,2.,,,,00000022,,,, 2x,3y，2z,9,及2x,3y，2z,,9.切点(1,,1,2),(,1,1,,2),代入得切平面方程. 4.设函数f(t)在(0,,)上连续，且对任意的t(t,0)满足下式: 1222f(t),1，[z，f(x，y]dV,,,2, 222其中,由不等式0,z,h,x，y,4t确定，求f(t). 解题过程是: 解:在柱坐标系下，等式可写为 2π2thr2f(t),1，dθrdr[z，f()]dz,,,2 000 2t2hr即，f(t),1，2πhr[，f()]dr,32 02h,f(t),8,ht[，f(t)],3等式两边对t求导得 分离变量并积分 ,f(t)dt,8πhtdt,,22hh2得ln(，f(t)),4πht，C，f(t)33 2h由原等式可得f(0),limf(t),1,,C,ln(，1),，3,t0 221h24πht？f(t),(1，h)e,.33 222222,,5.求函数f(x,y),x，2y,xy在区域D,(x,y)x，y,4,y,0上的最大值和最小值. 解题过程是: 222222,,f,2x,2xy,f,4y,2xy,求函数f(x,y),x，2y,xyxy解:(1)的驻点 2,,,2,2,0,fxxy,x,222,,4,2,0fyxy,,,区域D,(x,y)x，y,4,y,0y, 内的驻点为:(,2,1). 2222求函数f(x,y),x，2y,xy在区域D边界上的极值.(2) 222222L(x,y,,),x，2y,xy，,(x，y,4)构造拉格朗日函数: ,,L2,,2,2，(2),0xxyx,,x,,L,2,,4,2，(2),0yxyy,,y,,L,22,x，y,4,0,,,, 53(,,)22条件极值驻点为: 2222函数f(x,y),x，2y,xy在这些点的值的大小，.(3)比较最小值为0。最大值为8. (x，y)dS,,,:x，y，z,1,6. 设曲面，计算曲面积分. 解题过程是: ,:x，y，z,1解:由曲面的对称性和被积函数对称轮换性， xdS,0,zdSydSxdS,,,,,,,, ,,,,==， 11(x，y)dSydS(ydS，xdS，zdS)(x，y，z)dS,,,,,,,,,,,,33,,,,,,=== 14831,dS,,,,33323,===. ,,,42,242,7.确定常数使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(xy)ix(xy)j,,,，,，为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 解题过程是: 42,242,解令Pxy,xyx，yQxy,,xx，y:(,)2(),(,)() ,,u,u向量Axy为某函数uxy的梯度则P,Q,(,)(,),,,,x,y ,Q,P由判别法则,,Pdx，Qdy为某函数u(x,y)的全微分.,x,y ,Q42,242,,1342,542,,1,,2x(x，y),x,(x，y),4x,,2x(x，y),4,x(x，y),x ,P42,42,,142,242,,1,2x(x，y)，,2xy(x，y),2y,2x(x，y)，4,xy(x，y),y ,P,Q42,42,,142由,得:4x(x，y)，4,x(x，y)(x，y),0,,y,x 42,即4x(x，y)(,，1),0,,,,1. 在x,0的半平面取点(1,0),作起点, 22(,)xyxy2xydx,xdy2x,0xyu(x,y),，C,dx,dy，C,,arctan，C.,,,4242422(1,0)10x，yx，yx，yx 三、证明题(本题8分): 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,,,,f(a),g(a),f(b),g(b),证明:存在,,(a,b)，使得f(,),g(,). h(x),f(x),g(x),h(a),0,h(b),0,证:构造辅助函数 则 存在x,(a,b)，h(x),0,00证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论. 若f(x),g(x)的最大值在(a,b)内同一点x取得，存在x,(a,b)，00(1)则使得h(x),0,0 ，x,(x,b)，x,(a,x)f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数2010已知，用罗尔定理，与， ,,,,h(,),0h(x),0h(x),0，,,(x,x),(a,b)1212使得，，进而，使得，即,,,,f(,),g(,). 若f(x),g(x)的最大值不在(a,b)内同一点取得，存在x,(a,b)1(2)则与x,(a,b)x,x112，。 f(x),maxf(x),g(x),maxg(x)12x,(a,b)x,(a,b)使得， h(x),f(x),g(x),0且h(x),f(x),g(x),0111222， h(x),0,x,(a,b)，x,x0012由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得又h(a),0,h(b),0, ，,,(a,x)，,,(x,b)f(x),g(x)在(a,b)内具有二阶导数1020，由罗尔定理，与， ,,,,h(,),0h(,),0h(,),0，,,(,,,),(a,b)1212使得，，进而，使得，即,,,,f(,),g(,). ，,,(a,b)综合上述，，使得 中国石油大学(华东) 第二十二届高等数学竞赛试卷 专业班级: 学 号: 姓 名: 成 绩: 页号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 说明: 1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2008年6月8日 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 2x，1若lim(,ax,b),0,a,;b,x，1x,,1. . 解题过程是: 1x1，tan3xlim().,x1，sin,x02. . 解题过程是: 2xf(x),ln(2，t)dt,,f(x)设函数03. ，则的零点个数为: . 解题过程是: 4. zz,,2x,3zzzxyzey设函数,(,)由方程,，2所确定,则3，,xy,,. 解题过程是: 3dyy1y,,微分方程,,满足y,1的特解为:,,x,1dxx2x,,5.. 解题过程是: 3曲线y,5，3x,x的拐点为:6. . 解题过程是: x7.设曲线积分[f(x),e]sinydx，f(x)cosydy与路径无关，,L 其中f(x)一阶导数连续，且f(0),0，则f(x),. 解题过程是: 22222设曲面,:x，y，z,R，(x，y，z)dS的值为:,, ,8. . 解题过程是: 9. 2222设Ω是由曲面 z,x，y 与 z,1,z,2所围成的区域.，(x，y)dxdydz的值为:,,, Ω . 解题过程是: 10. 2y2设,为曲面z,1,x,(0,z,1)的上侧，I,xzdydz，2zydzdx，3xydxdy的值为:..,,4, 解题过程是: 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 21x，xx2cos计算dx1..,,12，,x11 解题过程是: 2. 222222.区域D是由x，y,4和(x，1)，y,1所围成的，(x，y，y)d,，.的值为:,, D . 解题过程是: 3. 2222,,xyabxy,,,,求函数z,1,，在点P,处,沿曲线，,1在此点的内法线方向的方向导数.,,2222,,22,,abab,, 解题过程是: 4.设函数f(x)在(,,,，,)内具有一阶连续的偏导数,L是上半平面(y,0)内的分段光滑曲线，其起点为(1,4),终点为(4,1).求曲线积分 1x22I,[1，yf(xy)]dx，[yf(xy),1]dy的值.,2yyL 解题过程是: 222,,x，y,2z,0,已知曲线C:求曲线C上距离xOy面的最远的点.和最近的点.。,,x，y，3z,5,5. , 解题过程是: ,(x)6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分 2(1,x) ,(x) dydz，4xy ,(x) dzdx，4xz dxdy,,S 与曲面S的形状无关. 解题过程是: 222x，y，(z，1),47. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围 ,成的立体的体积. 解题过程是: 三、证明题(本题8分): 3,,,,,,设函数(x)具有二阶导数，且满足(2),(1),(2),(x)dx,证明:至少存在一点,(1,3)，,2 ,,使得,(,),0. 中国石油大学(华东) 第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题(每小题5分，本题共50分): 2x，1若lim(,ax,b),0,a,;b,x，1x,,1. . 解题过程是: 2x，ax，b2(1)lim,5及lim(1,x),0,,lim(x，ax，b),1，a，b,0,,,b,,a,11,xx,x,x,111 22x，ax，bx，ax,a,1(x，1，a)(x,1)5,lim,lim,,,lim,,a,2,,a,,7.1,x1,xx,1x,1x,1x,1 221,a,0,x，1(1,a)x,(a，b)x，1,b(2)lim(,ax,b),lim,0,,.,a,1,b,,1.,,(a，b),0x，1x，1x,,x,,, 1x1，tan3xlim().,x1，sin,x02. . 解题过程是: 11，xx,x1tantansin33xx,，,,，原式lim[1(1)]lim[1],，x，x1sin1sin,,x0x0. xxxxxxtan,sin1sin(1,cos)1sin1,cos11？lim,,lim,,lim,,,,332xxxxxx1，sin(1，sin)cos(1，sin)cos2x,x,x,000xxx 1 2？原式,e. 2xf(x),ln(2，t)dt,,f(x)设函数03. ，则的零点个数为: 1 个 . 4. zz,,2x,3zzzxyzey设函数,(,)由方程,，2所确定,则3，,xy,, . 2x,3zFxyzeyz:(,,),，2,解2x,3zzezzz,2,2,,,,,,3，,2.2x,3z2x,3zxyxyee,,,, 1，31，33dyy1y,,微分方程,,满足y,1的特解为:,,x,1dxx2x,,5.. 解题过程是: ddd1d1yyuuu33，，解:令,,,,u,y,xu,u，x,u，x,u,u,x,,uxdxdxdx2dx2 2d1dd1d11uxuxy,,,,ln,ln,,,,,,,,,,,x，C,,x，C,,,,332222xxx,,2uuu x由1，得,1，特解为:.y,Cy,x,11ln，x 3曲线y,5，3x,x的拐点为:6. . 12,,,,,,,解:f(x),3,,f(x),,f(x),0;但当x,0时，f(x)不存在.，拐点为(0,5)33223x9xx . x7.设曲线积分[f(x),e]sinydx，f(x)cosydy与路径无关，,L 其中f(x)一阶导数连续，且f(0),0，则f(x),.解题过程是: ,P,Qx,解:由曲线积分与路径无关的充要条件,,[f(x),e]cosy,f(x)cosy,,y,x xxx,,,[f(x),e],f(x),f(x),f(x),,e,y,y,,e,一阶线性微分方程. ,,dx,dxxxxx,,y,e[,eedx，C,e[,dx，C],,xe，Ce,,, xx由f(0),0，,y,,xe，f(x),,xe. 22222设曲面,:x，y，z,R，(x，y，z)dS的值为:,, ,8. . 解题过程是: 222222I,(x，y，z，2xy，2xz，2yz)dS,(x，y，z)dS，2(xy，xz，yz)dS,,,,,, ,,, 24 ,RdS,4,R,, , . 9. 2222设Ω是由曲面 z,x，y 与 z,1,z,2所围成的区域.，(x，y)dxdydz的值为:,,, Ω . 解题过程是: : 解先二后一法， ,2222z222223,,,，)ddd,，,,Ixyxyzdzxydxdydzrrdrddzdrdr，，(,,,,,,,,,,,,11100,DDzz 455,,,,,,2z,,2222211112131rz,44,,,,,,,dd,dd,2,,2,,2,,,.zzzzdz,,,,,,,,,,,,,,,,10101014444545510,,,,,, 10. 2y2设,为曲面z,1,x,(0,z,1)的上侧，I,xzdydz，2zydzdx，3xydxdy的值为:..,,4, 解题过程是: 2y,,2解:补上xoy平面上的曲面块,为被椭圆x，,1所围部分的下侧.114,,,和组成闭曲面围成立体，应用高斯公式，得1 1I,xzdydz，2zydzdx，3xydxdy,(z，2z，0)dxdydz,3zdzdxdy1,,,,,,,,0,,,2y，21x，,1,z4I,xzdydz，2zydzdx，3xydxdy1,,,,，1 11,(z，2z，0)dxdydz,3zdzdxdy,6,z(1,z)dz,,.,,,,,,,002y,2x，,1,z4 I,xzdydz，2zydzdx，3xydxdy,,3xydxdy,0.I,I,I,,.212,,,,2y,21，,x14. 二、计算题(每小题6分，本题共42分): 21x，xx2cos计算dx1..,,12，,x11 222211112xxcosxxx(1,1,x)dx，dx,4dx,4dx,,,,2,,11002221,(1,x)1，1,x1，1,x1，1,x 1122,4(1,1,x)dx,4,41,xdx,4,,.,,00 2. . 222222.区域D是由x，y,4和(x，1)，y,1所围成的，(x，y，y)d,，.的值为:,, D . 解题过程是: 解:把区域D分为D、D两个区域.12 2222令D,{(x,y)|x，y,4},D,{(x,y)|(x，1)，y,1}12 ,由对称性，yd,0,, D 222222,,,x，yd,x，yd,x，yd,,,,,, DDD12 ,3,,,,222cos16321622,,,2,drdr,drdr,,,(3,2)，,,,,,000399 2 1622故(x，y，y)d,,(3,,2),,9D 2. 2222,,xyabxy,,,,求函数z,1,，在点P,处,沿曲线，,1在此点的内法线方向的方向导数.,,2222,,22,,abab,, 解题过程是: ,,,,2222xy解:,(,,),,,,gradzijijp22ababp 22,,，zz222ab22,,,,，,,()().gradz,n,lababpp 4.设函数f(x)在(,,,，,)内具有一阶连续的偏导数,L是上半平面(y,0)内的分段光滑曲线，其起点为(1,4),终点为(4,1).求曲线积分 1x22I,[1，yf(xy)]dx，[yf(xy),1]dy的值.,2yyL 解题过程是: ,P,,Q11,,，yfxy,,，fxy，xyfxy,[()]()(),所以曲线积分与路径无关，2,y,yy,xy 411x142222I,[1，yf(xy)]dx，[yf(xy),1]dy,[1，4f(4x)]dx，[yf(4y),1]dy,,,22y4yy14L 414,1444115,，4f(4x)dx，4f(4y)dy，,,,,。,,41414414 5. 222,,x，y,2z,0,已知曲线C:求曲线C上距离xOy面的最远的点.和最近的点.。,,x，y，3z,5,, 解题过程是: 解: 2222L(x,y,z,,,,),z，,(x，y,2z)，,(x，y，3z,5)构造拉格朗日函数: ,,,,,Lxxy,2，,0 ,,x,,,,,Ly,2，,0y,,,,,Lzz,2,4，3,0,,,,z ,,22222x，y,2z,0 ,2x,2z,0,, ,,xyzxz，，3,5,0,2，3,5,0,, (1,1,1)(,5,,5,5)(,5,,5,5)(1,1,1)条件极值驻点为:，，最远点为，最近点为 ,(x)6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分 2(1,x) ,(x) dydz，4xy ,(x) dzdx，4xz dxdy,,S 与曲面S的形状无关. ？,,,,,S,SSSS*1212[解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一侧，，记 ,，,0,,,,,,,SS*SSS1212,为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得 ,P,Q,R(，，)dV,0,,,,x,y,z,,，由的任意性得 ,P,Q,R2，，,0,,2x,(x)，(1,x),'(x)2，4x,(x)，4x,0(1,x),'(x)，2x,(x)，4x,0,x,y,z, 即解线 2,(x),,cx，c,2性非齐次方程得. 222x，y，(z，1),47. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围 ,成的立体的体积. x(x,x)，y(y,y)，(z，1)(z,z),0(x,y,z)000000000[解]设点Q为，则球面的切平面方程为 xyz,,,x,tx,y,ty,z，1,tz000222x，y，(z，1),4xyz，1000000垂线方程为代入及切平面方程 4222x，y，z,22222222222222(x，y，z，z),4(x，y，z)x，y，z，z,t(x，y，z)t得，，即(P点 ,,2,cos,轨迹).化为球坐标方程得. ,2, 2,cos, ,,223,40V,,dsin,,d,d,,(2,cos,)d(2,cos,),,,,,3 0 0 0 03. 三、证明题(本题8分): 3,,,,,,设函数(x)具有二阶导数，且满足(2),(1),(2),(x)dx,证明:至少存在一点,(1,3)，,2 ,,使得,(,),0. 3,(x)dx,,(,)(3,2),,(,),,,,[2,3]，2证:由定积分中值定理，可知 至少存在一点 3,(2),,(x)dx,,(,)知,2,,,3.,2又由 对,(x)在[1,2]和[2,3]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到,(1),,(2),,(,),,(2),得 ,,,,,(2),(1)(),(2),,,,(),,0,1,,,2,,,(),,0,2,,,,,3,11222,1,2, ,对,(x)在[,,,]应用拉格朗日中值定理，得12 ,,,,,,(),()21,,,,(),,0,,,(,,,),(1,3).12,,,21 中国石油大学(华东) 第二十三届高等数学竞赛试卷 专业年级: 学 号: 姓 名: 成 绩: 页号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 说 明:1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页. 中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2009年6月7日 一、填空题(每小题4分，本题共20分): ，，n123,,,,lim1，cos，1，cos，1，cos，...，1，cos,,,n,,nnnnn，，1(_____ tanx,1,e,x,0,x,arctanf(x),,2,2x,ae,x,0,x,0a,,22(设在处连续，则_______ a22,,,,f(x)，f(,x)sinx，a,xdx,,,a3( 22xy22，,1(2xy，3x，4y)ds,____,a43L4(设L为椭圆，其周长记为，则.12a 24dS,4,()x，y，zR,,2222，，,(R,0)yxzR,,5(设的方程是，则 二、选择题(每小题4分，本题共20分): fx()lim,,1x,0f(x)xx(1,cos)1(若连续，且，则(A) (A)x,0是f(x)的驻点，但不是f(x)的极值点; (B)x,0是f(x)的驻点，且是f(x)的极小值点; (C)x,0是f(x)的驻点，且是f(x)的极大值点; (D)x,0不是f(x)的驻点. f(x)f(1，x),2f(1,x),3x，o(x),x,02(若可导，且在的某邻域内有则(A) (A)f(1),0,f'(1),1; (B)f(1),0,f'(1),2; (C)f(1),0,f'(1),,1; (D)f(1),0,f'(x)在x,1处不一定可导 1，f(a)n,limnlnn,,f(x),0f(a)3(设且可导，则(D) ,f(a) ,lnf(a)f(a), (A)0 (B) (C) (D) 32yx,yx,C4.设为曲线和直线所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分 23xydx，ydy,,C( B ). 1123,23;;.,;44444444(A) (B) (C) (D) f(xy)dxdy,22,,,,D,(x,y)x，y ,2yf(u)5(设函数连续，区域，则D() 2 1 1,x2 2 2y,y(A)dxf(xy)dy ;(B)2dyf(xy)dx ;,,2,, ,1 ,1,x 0 0 ,2sin, ,2sin,22(C)d,f(rsin,cos,)dr ;(D)d,f(rsin,cos,)rdr ;,,,, 0 0 0 0 三、计算下列各题 f(x),g(x)1。(本题8分)如图，是 两个逐段线性的连续函数，设 u(x),f(g(x))u'(1)，求 u'(1),f'(g(1))g'(1)解: 1g(1),3,g'(1),,3,f'(g(1)),f'(3),,4 3u'(1),4所以 ,,f(xsinx)xcosxdxf(xsinx)sinxdx,1f(x),,002((本题8分)设为连续函数，且，求 ,,f(xsinx)sinxdx，f(xsinx)xcosxdx,,00解: ,,,f(xsinx)d(xsinx),F(xsinx),0,00 ,f(xsinx)sinxdx,1F(x)f(x),0其中为的原函数 ，又 ,f(xsinx)xcosxdx,,1,0所以 f(x)3((本题8分)设函数是以2为周期的连续函数，它在 [0,2]g(x)y,f(x)上的图形为分段直线，是线性函数，， 2f(g(x))dx, 0。 求 ,g(x),3x，1,g(x),3.g(x),t解:令， 则 2 7 2 211f(g(x))dx,f(t)dt,，3，f(t)dt,f(t)dt,1.,,,, 01 0 033 yy,f(x)4. (本题9分)如图，曲线C的方程为，点(3,2)是ll214ll12它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的3 f(x)2切线，其交点为(2,4). 设函数具有三阶连续导数，计算y,f(x)C132,,,(x，x)f(x)dx.4O1x32,0定积分 f(x)x,0x,3解 题设图形相当于已知在的函数值与导数值，在处的函数值及一阶、 ,,,,f(0),0f(0),2f(3),2f(3),,2,f(3),0.二阶导数值.由题设图形知，, ; , 由分部积分，知 3333222,,,,,,,,,(x，x)f(x)dx,(x，x)df(x),(x，x)f(x),f(x)(2x，1)dx,,,0000 333,,,,(2x，1)df(x),,(2x，1)f(x)，2f(x)dx,,000 = 16，2[f(3),f(0)],20. = f(x,y)(0,1)(0,1)5. (本题9分)设函数在点的某邻域内有定义，且在点处可微，又 f(x,1，y),1，2x，3y，o(,). n1，，nlimf(0,e),,22,,n,,x，y，， 其中 ，求 f(x,y)(0,1)(0,1)解:由于函数在点处可微，故在点处连续，对 f(x,1，y),1，2x，3y，o(,). 取极限，得 limf(x,1，y),f(0,1),1.x,0y,0 f(x,1，y),1，2x，3y，o(,).将式子变形为 f(0，x,1，y),f(0,1),2x，3y，o(,). f(0,1),2,f(0,1),3xy 根据微分的定义得 f(x,y)(0,1)f(0,1),1,0因为函数在点处连续且，有连续函数的局部保号性可知 n1，，nf(0,e),0,, ，， n1，，nx,f(0,e),,n ，，令并取对数得 111nnefeln[0,1(1)]ln(0,1)1，,,,nxnfelnln(0,),,,n11ne1,n 111nnefeln[0,1(1)]ln(0,1)1，,,,nxnfelimlnlimln(0,)limlim,,,n1,,,,,,,,nnnn1ne1,n所以 f(x,y)f(0,1)x,0x,0,lnf(x,y)yy,,,,3y,1y,1,yf(x,y)f(0,1) 6. (本题9分)计算 xxIeybxydxeyaxdy,,，，,[sin()](cos),ab,,L其中 2yaxx,,2Aa(2,0)为正的常数，L为从点沿曲线到点 O(0,0)的弧(如图). Ly:0,O(0,0)1解法1 可考虑添加有向线段，从点 Aa(2,0)到点，构成封闭曲线，然后利用格林公式计算. ,,PQ,,QPxxcos,cos,,,ba,,,,eybeya,,xy,,yx，， xxIeybxydxeyaxdy,,，，,[sin()](cos) ,，LL1 xx,,，，,[sin()](cos)eybxydxeyaxdy,L1 2a,,,,,2223,,,,,,，,，,()()22badxdybxdxabaababa,,,,,0222,,D. 解法2 此题亦可将其分为两部分进行计算. xxIeydxeydybxydxaxdy,，,，，sincos(),,LL，其中，前一积分与路径无关，故 xxeydxeydysincos0，,y,0Aa(2,0)O(0,0),L可选择沿直线段从到积分 ，得. xaat,，cos,L:,yat,sin0t,,后一积分，可直接化为对参变量的定积分，，从到. ,bxydxaxdybaatatataaatatdt()[(cossin)(sin)(cos)cos]，，,，，,，，,,L0 11,,22323,,,，,,Iaba,，,(2)2ababa2222，故 . x,a,x,b,y,f(x)xx((本题9分)证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形7 成的立体 b,4Ifxdx,().x,f(x)a,x2对轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数. 22yzfx，,()y,f(x)x证明:曲线弧绕轴旋转一周所形成的旋转曲面为 yrzr,,cos,sin,,,r,f(x)设曲面的柱坐标方程为. bb2,f(x)2223I,(y，z)dxdydz,dxr,rdrd,,dxd,rdrx,,,,,,,,,aa00,DX bb,1442,,,fxdxfxdx()().,,aa42 = 中国石油大学(华东) 第二十四届高等数学竞赛试卷 专业年级: 学 号: 姓 名: 成 绩: 页 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 说明:1.本试卷正文共6页。 2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿3. 纸中， 否则答案无效。 中国石油大学(华东)教务处、数学学院主办 基础数学系承办 2010年6月6日 一、填空题(每小题4分，本题共20分): n12n,1本页满分40分 nnnlime,e？e,e, 本n,,、 。 1页2,uy得uxy,，2,yx2、设，则= 。 分 23、设L为沿抛物线y=x上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则 对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分 _____ ______，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续 函数。 22,z,z，xx,22zeyey,，sincos,x,y4、设，则= 。 12xlim(cosx),,x05、 。 二、选择题(每小题4分，本题共20分): xe,1设I,dx,则I,x,e，11、( ) xx(A)　ln(e,1)，c(B)　ln(e，1)，c; xx(C)　2ln(e，1),x，c;(D)　x,2ln(e，1)，c f(x),f(a)设　lim,,1,则点x,a2x,a(x,a)2、 ( ) (A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f(x)的极小值点 (C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点 x02,t21，tdt，edt,0,,x0cos3、方程的根的个数 ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3 ,t,tttxetyetze,,,cos,sin,4zx4、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是( ) 21 33(A) (B) (C) 0 (D) 1 2(x，y)dx,,L5、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分( ) (A) πab (B) 0 2 2(C) a+b(D) ,πab 本页满分14分 三、计算下列各题(每小题7分，本题共42分): 本 ff(),()0100,,fx()fx(),1、设二阶连续可微，且，试确定，使页 2得,,(f，f)ydx，f,fdy,L曲线积分与路径无关。 分 ,,设函数f(x)在a，b上有连续导数(a,0)，又设x,rcos,，f(x),rsin,(2、 计算表达式 b,fafb()()2fxdx，r,d,的值其中,,，,,(2()() ,arctanarctan,,a,ab 本页满分14分 1x2 本,tf(x)dxf(x),edt,,页013、设，计算积分 得 分 b a，ba，bf(x)dxf(，x),,f(,x),f(x)a22、设连续，且满足，计算积分 4 本页满分14分 1 本Idxdy,,,223xy，()D页5、 计算二重积分，其中D是由直线 得yxx,,,2及上半圆周 分 2yxx,,2所围成的区域. xxcoscoseexx[sinln()],，eexydxdy22,Lxy(2)(2)2xy,，,, 6、 计算，其中L是圆周 B(3,3)A(1,1)沿正向从点到点的一段圆弧. 本页满分12分 本 页 得 分 四(证明题:(每小题6分，本题共18分): 1f(0),0,f(x)dx,0,f(x)01、设在[0，1]上连续，且。证明在(0， ,f(x)dx,,f(),,,,01)内至少存在一点，使得。 01 xf(x)dx,0,xf(x)dx,0,,f(x)f(x)(,1,1),102、设连续，且，证明:在内至少有一个零点。 本页满分6分 x,a,x,b,y,f(x)xx3、 证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一 本 b,页4I,f(x)dx.x,,ax得2周所形成的立体对轴的转动惯量 (密度=1) 为 分 f(x)其中是连续的正值函数. 中国石油大学(华东) 第二十四届高等数学竞赛试题答案 一、填空题(每小题4分，本题共20分): 12n,1nnnnlime,e？e,e,en,,1、 。 2,uyuxy,，2,yx2.设，则= 0 。 23.设L为沿抛物线y=x上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分___________，其中P(x,y)和 p(x,y)，2xQ(x,y)ds,21，4xLQ(x,y)是在L上的连续函数。 22,z,z，xx,22zeyey,，sincos,x,y4.设，则= 0 。 11,2x2lim(cosx),e,x05、。 二、选择题(每小题4分，本题共20分): xe,1设I,dx,则I,x,e，11、( C ) xx(A)　ln(e,1)，c(B)　ln(e，1)，c; xx(C)　2ln(e，1),x，c;(D)　x,2ln(e，1)，c f(x),f(a)设　lim,,1,则点x,a2x,a(x,a)2、(A) (A)　是f(x)的极大值点　　　　　　　(B)是f(x)的极小值点 (C)　是f(x)的驻点,但不是极值点,　　(D)不是f(x)的驻点 x02,t21，tdt，edt,0,,x0cos3、方程的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3 ,t,tttxetyetze,,,cos,sin,4zx4、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的 正弦值是(A) 21 33(A) (B) (C) 0 (D) 1 5、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分 (B) (A) πab (B) 0 2 2(C) a+b(D) ,πab 三、计算下列各题(每小题7分，本题共42分): ff(),()0100,,fx()fx(),、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分 1 2()ddffyxffy，，,,,,L与路径无关。 解 由曲线积分与路径无关的条件得 22fffff，,，,,,,, 即 fx()1,,, 积分两次得 12fxxCxC(),，，122 ff(),()0100,,CC,,01,,12代入条件，得 12fxx(),，12故所求函数为: ,,设函数f(x)在a，b上有连续导数(a,0)，又设x,rcos,，f(x),rsin,(2、 计算表达式 b,fafb()()2fxdx，r,d,的值其中,,，,,(2()() ,arctanarctan,,a,ab 解 fx()()()xfxfx,,222因为，，rxfx,，,,()arctan,,ddx22xxfx，() ,b2于是　rdxfxfxdx()()(),,,,,,,,,,a bb,xfxdxfxdx()(),,,,aa bbb,xf(x),f(x)dx,f(x)dxa,,aa b,bf(b),af(a),2f(x)dx,a b,2所以　2f(x)dx，r(,)d,,bf(b),af(a),,a, 1x2,tf(x)dxf(x),edt,,013、设，计算积分 11121,x,1f(x)dx,xf(x),xedx,(e,1),,0200解 b a，ba，bf(x)dxf(，x),,f(,x),f(x)a224、设连续，且满足，计算积分 b a，bf(x)dxx,，t,a2解 在中令，有 b,ab,a b022a，ba，ba，bf(x)dx,f(，t)dt,f(，t)dt，f(，t)dt,,,,222b,ab,aa0,,22 0a，bf(，t)dt,2b,a,t,,u2在中令，则 b,ab,a022a，ba，ba，bf(，t)dt,f(,u)du,,f(，u)du,,,222b,a00,2 b f(x)dx,0,a从而 1Idxdy,,,223xy，()yxx,,,2D5、 计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周 2yxx,,2所围成的区域. 2,2cos,,,,,,cos,,,,0,,,,,4解 积分域D如图所示，可表示为，则 ,2,111,,4cos4,Idd,,,,,,,cos,,d,,3,,,02cos0,22cos,,,, ,1124,,,，,,,，,,,()[sinln|sectan|][ln21]0222. xxcoscoseexx[sinln()],，eexydxdy22,Lxy(2)(2)2xy,，,, 6、 计算，其中L是圆周 A(1,1)B(3,3)沿正向从点到点的一段圆弧. xx,,PeeQsin,,,,,yyxAEB解 ，积分与路径无关，选折线段为积分路径. xxcoscoseexx[sinln()],，eexydxdy,Lxy xxxxcoscoscoscoseeeexxxx,,，，,，[sinln()][sinln()]eexydxdyeexydxdy,,AEEBxyxy x333coscoseexx,,,，(sinln)eexdxdy,,311xy,,2ln3cose. 四(证明题:(每小题6分，本题共18分): 1f(0),0,f(x)dx,0,f(x)01、设在[0，1]上连续，且。证明在(0，1)内至少存在一点 ,f(x)dx,,,f(,),,0，使得。 xftdt(),[0,1],0证明:设:F(x)=x,x(2分) F(x)在[0，1]连续，(0，1)可导，且F(0),F(1),0 ,F()0,,由罗尔定理: ,ftdtf()(),,,,,0即: 01 xf(x)dx,0,xf(x)dx,0,,f(x)f(x)(,1,1),102、设连续，且，证明:在内至少有一个零 点。 0 xf(x)dx,,f(,),011,[,1,0],,,1证明:由积分中値定理，存在使得 1 0 xf(x)dx,0,[,1,0),,0,,f(,),0,111因，所以，于是存在使得，同理 1 ,,(0,1]f(,),0,,f(,),0(,,,)2212存在使得，由零点定理存在，使得 x,a,x,b,y,f(x)xxx3、证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对 b,4Ifxdx,().x,f(x)a,2轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数. 22yzfx，,()，则 证明:曲线弧y=f(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面为 22I,(y，z)dxdydzx222,,,,:a,x,b,(y,z),D,{y，z,f(x)}.x 其中 , b22,dx(y，z)dydz,,,aDx (用“先二后一法”) b2,f(x)3,dxdrdr,,,,yrzr,,cos,,,sin,a00 (令则 D:0,,,2,,0,r,f(x).x) bb1,442,f(x)dx,f(x)dx.,,,aa42 =