高等数学-多元函数极值

高等数学-多元函数极值高等数学-多元函数极值 1、求下列函数极值 22zxy,,，,121) 函数。，，，， ,z,,,,210x，，,x,1,x,,解:解方程组得 ,,,zy,2,,,,,220y，，,y,, 222,,,zzz， ABC,,,,,,2,0,222,,,,xxyy 20因为，所以在点处函数取极小值。 1,2ACBA,,,,40,0，， 222) 函数。 zxxyyxy,,，,，2 ,z,,,,,220xy,x,1,x,,解:解方程组得 ,,,zy,0,,,,，，,xy210,y,, 222,,,zzz， ABC,...

高等数学-多元函数极值 1、求下列函数极值 22zxy,,，,121) 函数。，，，， ,z,,,,210x，，,x,1,x,,解:解方程组得 ,,,zy,2,,,,,220y，，,y,, 222,,,zzz， ABC,,,,,,2,0,222,,,,xxyy 20因为，所以在点处函数取极小值。 1,2ACBA,,,,40,0，， 222) 函数。 zxxyyxy,,，,，2 ,z,,,,,220xy,x,1,x,,解:解方程组得 ,,,zy,0,,,,，，,xy210,y,, 222,,,zzz， ABC,,,,,,,2,1,222,,,,xxyy 2,11,0因为，所以在点处函数取极小值。 ACBA,,,,30,0，， 44223) 函数。 zxyxxyy,，,,,2 ,z,3,,,,4220xxy,xxx,,,,101,x,,,,解:解方程组得 ,,,,,,,z3yyy,,,,101,,,,,,,,4220yxy,y,, 222,,,zzz22， AxBCy,,,,,,,,,122,2,12222,,,,xxyy 当时， xy,,1,1 2,21,1因为，所以在点处函数取极小值。 ACBA,,,,960,0，，当xy,,,,1,1时， 2,2,,1,1因为，所以在点处函数取极小值。 ACBA,,,,960,0，，xy,,0,0当时， 422因为，所以充分条件无法判断。但注意到，当时，zxx,,24xy,ACB,,0 4x,0x,0是极大值点;当时，是极小值点，所以不是zx,20,0xy,,，， 4422的极值点。 zxyxxyy,，,,,2 22zxy,,，14) 函数。 ,zx,,,0,22,xxy，,解:解方程组得此方程组无解，但函数存在一点处不可导。 0,0，，,,zy,,,022,,yxy，, 2211,，,xy因为，且在点处函数值为1，所以在点处函数取极大值1。 0,00,0，，，， 2222222Dxyxyy,，,,,4,0、求函数fxyxyxy,2,，,在区域上的最大值，，，，,, 和最小值。 D解:1)在的内部时， ,z,2,,,220xxy,,,,x,xx,,,22,,解方程组得; ,,,,,z2yy,,11,,,,,,,,420yxy,y,, 2fxx,0, 2)时， yx,,,,0,22，，此时最大值为4，最小值为0; 2224222fxyyyyyyy,4434,0,2,，,,,,，, 3)时， xyy，,,4,0，，,,，， 7 此时最大值为8最小值为; 4 8综上可得，时，取最大值，当时，取最小值0。 xy,,0,2xy,,0,0 V3、已知容积为的开顶长方体，当其尺寸怎样时，有最小表面积。 Sxyz,,解: 设长方体长、宽、高分别为，设以上长方体表面积为，则有 Sxyxzyz,，，2 ，， FxyzxyxzyzxyzV,,,2,,,，，，,设，解方程组，，，，，， ,Fyzyz,，，,20,,x3,xV,2,Fxzxz,，，,20,,y,,323得解，所求最下表面积为。 SV,34yV,2,,Fxyxy,，，,20，，,z,,32V,,z,FxyzV,,,0,,,,2 222,x，y,R4、求椭圆的长半轴和短半轴。 ,xyz，，,1, 解:注意此椭圆的中心坐标为，设椭圆上任意点坐标为，，，，0,0,1x,y,z 222，，d,x，y，z,1所谓长半轴和短半轴无非就是的最大值和最小值。 222222考虑函数，，，，，，，，Fx,y,z,,,,,x，y，z,1，,x，y,R，,x，y，z,1 ,,22,,,F,2x，2x，,0xx,,Rx,,R,,,22,,,,F,2y，2y，,0y,,,22,，，,F,2z,1，,0y,,R解方程组得y,,R和 ,,,z22,,,222F,x，y,R,0,z,1,,,z,1,2R,,,,，，,1,0Fxyz,,,, 22,,,,2222,,,,因为，，,R，,R，1,2R,1,3R,,,,22,,,, 22,,,,2222,,,, ，，,R，,R，1,1,R,,,,22,,,, 所以长半轴和短半轴分别为。 3R,R 222222FxyxyxyxyR,,,,,，，，，，,方法二、考虑，，，，，，

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