熵增加原理及其应用

熵增加原理及其应用 ( )V o l. 12 N o. 1 聊城师院学报 自然科学版 第12卷 第1期 ()Jo u rna l o f L iao ch eng T each e r s U n ive r sity N a t. Sc i. J an. 1999 1999年1月 α 熵增加原理及其应用 孙国庆 ()曲阜师范大学物理系, 曲阜273165 摘 要 就熵增加原理使用的条件, 熵增加原理的应用进行了充分的讨论, 尤其 是在应用方面有一定的独到之处1 关键词 熵, 熵增加原理, 绝热系统 分类号 O 414 1 熵 在热力学系统处在平衡态时, 存在一个态函数 —— 熵, 一般用字母 S 表示 1 如果系统 B 由平衡态 A 经可逆过程达到平衡态 B , 其熵变为: S - S = ?Q ƒT , 其中 S 、S 分别代B A A B ?A 表系统在初态 A 、终态B 的熵 1 对于无限小的可逆元过程, 其微分形式为 dS = ?Q ƒT 1 从 而我们得到封闭系统的热力学基本方程为 T dS = dU + p dV 1 对于熵应强调以下几点()熵是一个态函数, 一旦状态确定熵就确定, 当系统由平衡态 A 到平衡态 B 时,1 无论过程性质如何, 熵的变化量就完全确定; ()2 熵具有可加性即整个系统的熵等于各部分熵的总和; () 3 当系统处在非平衡态时, 熵也是存在的 1 非平衡态的熵是平衡态熵的推广, 把这种一般态的推广称为广义熵 1 当整个系统处在非平衡态时, 可以把系统分成许多小部 S + S + 1 2 分, 直到每一小部分视为平衡态, 这成为区域平衡 1 根据熵的可加性, 则有, S = + S , 由玻尔兹曼关系式 S = k lnW 可知, 系统对应的微观态数目越多, 热力学概率越n 大, 熵的值越大 1 熵是系统宏观态无序程度的定量量度 1 2 熵增加原理 如果系统的初、终都是非平衡态, 我们可以将初态A和终态B分成许多小部分, 则 S A n m m n = S + S + S + S + S = S , S =+ S = S , S - S ?A 1 A 2 B 1 B 2 A n A i B B m B j B j A i ???? i= 1 j = 1 j = 1 i= 1 BB于是, dS ?0, ?Q ƒT , 即 S B -S A ??Q ƒT 1 如果系统是绝热系统或孤立系统, 则 ?Q ?A ?A =0, 这就是熵增加原理 1 熵增加原理的物理含义为: 在绝热系统或孤立系统中, 不可逆过程 是向着熵增加的方向进行, 一旦熵达到最大值时, 系统达到平衡态; 可逆过程的熵是不变 的 1 它的重要意义在于利用熵的变化来判断自发过程进行的方向和限度 1 3 熵增加原理的应用 熵增加原理在热力学中有重要的应用, 下面结合例子分析几种典型的应用 1 311 热力学第二定律的一种证明 例 1 1851 年, 威廉r 汤姆逊在他发表的《论热的动力理论》中提出“借助于非生物的 物质机构, 通过使物质的任何部分冷却到比周围物体的最低温度还要低的方法而得到机 械效应, 是不可能的”1 此论题被后人描述为“从单一热源吸取热量使之完全变为有用功而不产生其它影响是不可能的”, 即热力学第二定律的开尔文描述 1 下面用熵增加原理来 证明它 1 证明 热机完成循环时, 工作物质状态不变, 它的熵变为 ? S= 0, 单一热源的熵变 1 () 为 ?S= - Q T Q > 0, 热机与热源构成的绝热系统的熵变为: ?S = ?S + ?S = -ƒ2 1 2 Q ƒT < 01 这表明熵变是小于 0 的, 违背了熵增加原理, 所以开尔文描述是成立的 11865 年克劳修斯重新描述的热力学第二定律为:“孤立系统内的熵趋于极大值 1”这实际就是熵 增加原理 1 由于克劳修斯描述与开尔文描述是等效的, 因此可以说热力学第二定律包含 在熵增加原理中 1 312 判断过程进行的方向 例 2T温度为 的理想气体绝热地向真空膨胀, 求体积 V A 到 V B 的熵变 1 Cln T = + nR lnV + 解初态为 T , V A ; 终态为 T , V B. 由 S V S 0 知 S = Cln T nR lnV + S , S = ClnT nR lnV + S , + + B V B 0 A V A 0 ) (S B - 所以 S A = nR ln V B ƒV A > 0, 这符合孤立系统熵增加原理, 表明这个过程是可以自 ) (发地实现的 1 系统是否可由V B 到V A 自发收缩? 由 S A - S B = nR ln V A V B < ƒ0 可知, 这 违背了熵增加原理, 从而表明这个过程是不可自发实现的过程 1 313 证明最大功原理 热力学中另一个态函数 —— 自由能为, F = U - T S 1 在可逆等温过程中, 系统作的 功最大, 等于系统自由能的减少, 这称为最大功原理 1 例 3 证明最大功原理 1 ) (证明 由熵增加原理 dS ? ?Q T = dS + ?W T 可得 dF ?- S dT - ?W , 由ƒƒ 自 由能的定义及 dT = 0 得 - dF ? ?W , 于是最大功原理得 证. 314 实际应用 1 100 K 例三个相同的物体, 热容量均为常数, 温度分别为 T 1 = T 2 = 300 K , T 3 = 三个物体对外界没有作功也没有热量交换, 由于可逆热机作用, 使三个物体中的一个升高 温度, 问能达到的最高温度是多少? 分析要使温度升高, 只能利用一热机工作在两不同温度的物体之间, 并利用热机 输出的功带动一致冷机工作, 使另一物体的温度升高 1 解 将一热机工作在物体 1、3 之间, 设二物体达到的相同温度为 T , 则由熵增加原理 ′′ T T ′2 得CdT ƒT + CdT ƒT = Cln T ƒT T = 0, 即V V V 1 3 ?T ?T 1 2 ′2 ()T T . 1 T =1 3 300 K 的物体之间. 设温用热机所作的功带动一致冷机工作在 T ′的两个物体与 T =2 T h度为 T ′的物体最后达到的温度为 T , 另一物体达到的最高温度为 T , 则CdT ƒT +f h V ?T 2 T f2CdT ƒT = 0, 即V ′?T 2 2 T T =T T ,()h f 1 3 2 当物体 2 达到 T 时, 吸收的热量为h () () () CT - T = CT + T - 2T ′+ 2CT ′- T , T - T = T + T - 2 T , V h 2 V 1 3 V f h 2 1 3 f ()3 () () 联立方程 1, 3并解方程得 T = 400 K 1h 由以上四种应用, 可以看出熵及熵增加原理在热力学中的重要物理意义 1 熵成了过 程演化或发展的指标, 熵增加原理引入了“时间的箭头”, 在物理学中第一次引入了真正能 和演化或发展概念相匹配的时间概念 1 对 热力学的研究, 随着时代的发展而愈深刻, 熵及熵增加原理的应用也更加广泛.1946 年山农将熵引入信息论中, 创立了信息熵学说 1 随着研究地不断深入, 它将在社会、 经济、军事和通信等各领域有更加广泛的应用 1 P rinc ip le o f Inc re a s e o f the En t ro p y a nd Its A p p lic a t io n Su n Guo q ing ()D ep a r tm en t o f P h y sic s, Q ufu T eache r s U n ive r sity, Q ufu 273165 A b strac t T h e adm issib le co nd it io n s o f p r inc ip le o f inc rea se o f th e en t rop y an d it s app lica t io n a re d iscu ssed. In e sp ec ia l, it h a s som e c rea t io n in th e app lica t io n o f p r in c ip le o f in c rea se o f th e en t rop y. Key word s E n t rop y, P r inc ip le o f in c rea se o f th e en t rop y, A d iaba t ic sy stem