等差数列·例
题
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解析(可编辑)
等差数列?例题解析
等差数列?例题解析
?
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?
解 ?100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中
a17,d=7,an=98.
代入an=a1+n-1d中,有
98=7+n-1?7
解得n=14
答 100以内有14个能被7整除的自然数.
【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,
求此数列.
解 设这五个数组成的等差数列为an
由已知:a1=-1,a5=7
?7=-1+5-1d 解出d=2
所求数列为:-1,1,3,5,7.
插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.
【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?
解 设an3n,bm=4m-3,n,m?N
得n=4k-1k?N,得an,bm中相同的项构成的数列cn的通项cn=12n-3n?
N.
则在[1000,2000]内cn的项为84?12-3,85?12-3,…,166?12-3
?n=166-84+183 ?共有83个数.
【例5】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
解 设三个数分别为x-d,x,x+d.
解得x=5,d=?2
? 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.
【例6】 已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
证 ?a、b、c成等差数列
?2ba+c
?b+c+a+b=a+2b+c
=a+a+c+c
=2a+c
?b+c、c+a、a+b成等差数列.
说明 如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如
果求证a、b、c成等差数列,常改证2ba+c.本例的意图即在让读者体会这一点.
可能是等差数列.
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运
用,这时往往用反证法.
证 假设a、b、c是等差数列,则2ba+c
?2ac=ba+c2b2,b2=ac.
又? a、b、c不为0,
? a、b、c为等比数列,
又? a、b、c为等差数列,
? a、b、c为常数列,与a?b矛盾,
? 假设是错误的.
? a、b、c不可能成等差数列.
【例8】 解答下列各题:
1已知等差数列an,an?0,公差d?0,求证:
?对任意k?N,关于x的方程
akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;
分析与解答
1akx2+2ak+1x+ak+2=0
?an为等差数列,?2ak+1=ak+ak+2
?akx2+ak+ak+2x+ak+2=0
?akx+ak+2x+10,ak?0
?an为等差数列,d为不等于零的常数
2由条件得 2ba+c
?4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC
分析至此,变形目标需明确,即要证
由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有
【例9】 若正数a1,a2,a3,…an+1成等差数列,求证:
证明 设该数列的公差为d,则
a1-a2a2-a3=…=an-an+1-d
?a1-an+1-nd
? 原等式成立.
【例10】设x?y,且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,
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