B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
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题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
目 B-(p,r)-不 变 凸 函 数
的 性 质 和 应 用
专 业 数 学 与 应 用 数 学
班 级 2006级2班
学 生 万 轩
指导教师 彭 再 云
重庆交通大学
2010 年
目 录
摘 要 ............................................................................................................................... ?
ABSTRACT ...................................................................................................................... ?
第一章 前 言 ................................................................................................................... 1
1.1 本课题的研究意义和研究现状 ............................................................................. 1
1.2 选题动机及论文形成缘由 ..................................................................................... 2
1.3 本文的内容及安排 ................................................................................................ 2第二章 B-(p,r)-不变凸函数的基本定义和性质 ............................................................... 4
2.1 B-(p,r)-不变凸函数的基本定义.............................................................................. 4
2.2 B-(p,r)-不变凸函数的基本性质.............................................................................. 6 第三章 B-(p,r)-不变凸函数下的多目标规划问题的对偶问题 ...................................... 10
3.1 多目标规划问题的对偶问题的弱对偶 ............................................................... 10
3.1.1多目标规划问题的对偶问题的基本知识 ................................................... 10
3.1.2多目标规划问题的Mond-weir型对偶的弱对偶 ....................................... 12
3.1.3多目标规划问题的Wolfe型对偶的弱对偶 ............................................... 14
3.2 多目标规划问题的对偶问题的强对偶 ............................................................... 15
3.2.1 多目标规划问题的Mond-weir型对偶的强对偶 ...................................... 15
3.2.2 多目标规划问题的Wolfe型对偶的强对偶 .............................................. 17
3.3 多目标规划问题的对偶问题的严格对偶............................................................ 18
3.4 多目标规划问题的对偶问题的逆对偶 ............................................................... 22
3.5 多目标规划问题的对偶问题的严格逆对偶 ........................................................ 23 第四章 B-(p,r)-不变凸函数下的多目标规划问题的鞍点问题 ...................................... 27
4.1 多目标规划问题的鞍点问题的基本知识............................................................ 27
4.2 多目标规划问题的鞍点问题的基本定理............................................................ 28 第五章 B-(p,r)-不变凸函数下的多目标分式规划问题的对偶问题 ................................ 36
5.1 多目标分式规划问题的对偶问题的弱对偶 ........................................................ 36
5.1.1多目标分式规划问题的对偶问题的基本知识 ........................................... 36
5.1.2 多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶的弱对偶 ............................... 38
5.1.3 多目标分式规划问题的Wolfe型对偶的弱对偶 ....................................... 41
5.2 多目标分式规划问题的对偶问题的强对偶 ........................................................ 43
1
5.2.1 多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶的强对偶 ............................... 43
5.2.2 多目标分式规划问题的Wolfe型对偶的强对偶 ....................................... 44
5.3 多目标分式规划问题的对偶问题的严格对偶 .................................................... 45
5.4 多目标分式规划问题的对偶问题的逆对偶 ........................................................ 49
5.5 多目标分式规划问题的对偶问题的严格逆对偶 ................................................ 50第六章 B-(p,r)-不变凸函数下的多目标分式规划问题的鞍点问题 .............................. 55
6.1 多目标分式规划问题的鞍点问题的基本知识 .................................................... 55
6.2 多目标分式规划问题的鞍点问题的基本定理 .................................................... 56
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
与展望 ........................................................................................................ 63 第七章
致 谢 ............................................................................................................................. 64
参考文献 ........................................................................................................................... 65
2
2010届数学与应用数学专业
毕业论文
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摘 要
B-(p,r)-不变凸函数是一类新的广义凸函数，它既是不变B-凸函数，又是(p,r)-不变凸函数的推广,从而也是熟知的凸函数和不变凸函数的推广。这篇文章利用B-(p,r)-不变凸函数讨论了目标函数和约束函数均可微的多目标规划问题和多目标分式规划问题，并讨论了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数限制下的Mond-weir型对偶，Wolfe型对偶和鞍点问题中的一些应用。
在第二章里，我们回顾了B-(p,r)-不变凸函数的相关定义，并得到了B-(p,r)-不变凸函数的几个性质。
在第三章里，利用B-(p,r)-不变凸函数建立了目标函数和约束函数均可微的多目标规划问题(VP)的Mond-weir型对偶和Wolfe型对偶，证明了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理。
在第五章里，利用B-(p,r)-不变凸函数建立了目标函数和约束函数均可微的多目标分式规划问题(FP)的Mond-weir型对偶和Wolfe型对偶，证明了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理。
在第四章和第六章里，首先引入了一个广义Lagrange向量函数，并利用Lxu,，，B-(p,r)-不变凸函数讨论了多目标规划和多目标分式规划的鞍点最优性条件。
关键词:B-(p,r)-不变凸函数，多目标规划，多目标分式规划，对偶，鞍点
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
ABSTRACT
B-(p,r)-invexity functions are new generalized invex functions.It is generalization of the B-invexity functions and (p,r)-invexity functions,thus it is the generalization of well known invex functions and invexity functions.This paper uses B-(p,r)-invexity functions
discuss the same convex objective function and constraint functions are differentiable mult- iobjective programming problems and multiobjective fractional programming problems, and discuss the objective function and constraint function inB-(p,r)-invexity functions, sub-
ject to the Mond-weir duality,Wolfe duality and saddle point problem in some applications.
In the second chapter,we introduced the B-(p,r)-invexity functions definitions, and has
been a few properties of B-(p,r)-invexity functions.
In the third chapter,by using B-(p,r)-invexity functions，the Mond-weir duality and
Wolfe duality of the multiobjective programming problems(VP)is considered，in which the
objective and the constraint functions are differentiable.The weak duality, strong duality and strict duality,inverse duality and strict converse duality results are established，these
results are obtained under B-(p,r)-invexity functions assumptions on objective and the
constraint functions.
In the fifth chapter,by using B-(p,r)-invexity functions，the Mond-weir duality and
Wolfe duality of the multiobjective fractional programming problems(FP)is considered，in
which the objective and the constraint functions are differentiable. The weak duality, strong duality and strict duality, inverse duality and strict converse duality results are established，
these results are obtained under B-(p,r)-invexity functions assumptions on objective and the constraint functions.
In the fourth chapter and the sixth chapter, a vector valued Lagrangian is Lxu,，，
introduced firstly,and by using B-(p,r)-invexity functions,the saddle point optimality
conditions of the multiobjective programming and the multiobjective fractional programming problem are established.
KEY WORDS:B-(p,r)-invex functions，Multiobjective programming，Muhiobjective
fractional programming，duality，Saddle point
II
2010届数学与应用数学专业毕业论文
第一章 前 言
1.1 本课题的研究意义和研究现状
凸函数是一类很重要的函数，它在数理经济、对策论、工程学、管理科学以及最优化理论等方面都起着非常重要的作用。这主要是因为凸函数在非线性规划中有一些很漂亮的性质，例如一个定义在凸集上的凸函数的局部最小值也一定是全局最小值;一个定义在凸集上的可微的凸函数的某点的梯度等于零，则函数在这一点取极小值。正是由于凸函数在数学规划中的重要应用，六十年代中期，出现了一个数学分支——凸分析。1970年，Rockafellar所写的《Convex Analysis》一
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
和1973年Rokerts所写的《Convex Function》一书的出版，是凸分析发展的一个重要里程碑，极大地推动了凸分析的发展。但是凸函数的局限性也是十分明显的。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，我们把这一部分叫做广义凸函数。在这些广义凸函数中，不变凸函数是一类重要的函数，它继承了凸函数的许多良好性质。由于不变凸函数在数学和其它领域中有着重要应用，因此对不变凸函数的探讨可以推广凸函数已有的许多良好性质，对最优化理论及应用具有重要意义。
有关凸函数理论的研究可以追溯到上个世纪初Holder、Jenson和Minkowski的著作，但引起广泛重视是在40-50年代Neumann、Dantaig、Kuhn和Tuker等人关于对策论和数学规划的研究。由于这方面的需要，从50年代到60年代末，人们对凸函数进行来大量细致的研究，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也按多种途径进行推广。广义凸函数成为大家研究的焦点之一，人们从不同的角度和方面提出许多广义凸函数。
凸性和广义凸性的研究源于80年代，在1981年，Hanson和Craven提出了一类广义凸函数——不变凸函数，并且Craven利用它们建立了分式规划的对偶原理。不变凸性是对凸性的重要补充，其后，在大量的文献利用这类函数讨论了最优性理论，它在数学规划最优性条件中可以代替常用凸性推广的结果。
1991年，C.R.Bector提出一类广义凸函数——B-不变凸函数，它是不变凸函数的推广，利用这类函数讨论了规划问题。2001年，Antczak提出一类广义凸函数——(p,r)-不变凸函数，也是不变凸函数的推广，利用这类函数讨论了多目标分式规划问题的鞍点最优性条件。2003年，Antczak又提出了关于向量的(p,r)-不变凸函数和一类新的广义凸
1
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
函数——B-(p,r)-不变凸函数，它既是不变B-凸的推广，又是(p,r)-不变凸的推广，利用这类函数讨论了单目标规划问题。
在2005年，孙玉华、谢铁军在文献[5]中讨论了B-(p,r)-不变凸规划问题的Wolfe型对偶问题;孙玉华在文献[6]中讨论了B-(p,r)-不变凸规划问题的Mond-Weir型对偶;孙玉
B-(p,r)-不变凸规划问题的最优性问题。在2008年，焦合华华、张艳在文献[7]中讨论了
在文献[8]中讨论了B-(p,r)-不变凸规划的最优性条件及Wolfe型对偶问题;童子双在文献[9]中讨论了B-(p,r)-不变凸性下广义分式规划的一个鞍点最优性准则;焦合华在文献[10]中给出了B-(p,r)-不变凸规划问题的鞍点最优性条件;童子双在文献[11]中讨论了B-(p,r)-不变凸性下广义分式规划的鞍点存在性定理;随后，焉波、魏运才在文献[12]中又讨论了广义B-(p,r)-不变凸函数多目标规划的最优性条件。
1.2 选题动机及论文形成缘由
Tadeusz Antczak在文献[1]定义出了一类新的广义凸函数——B-(p,r)-不变凸函数，并讨论了此类函数单目标规划问题、Mond-weir型对偶问题、Wolfe型对偶问题和鞍点问题，孙玉华、谢铁军[5]讨论了在B-(p,r)-不变凸函数下多目标规划Wolfe型对偶问题;孙玉华[6]讨论在B-(p,r)-不变凸函数下多目标规划Mond-weir型对偶问题;焦合华[8]讨论了在B-(p,r)-不变凸函数下多目标分式规划Wolfe型对偶问题;焦合华[10]讨论了在B-(p,r)-不变凸函数下多目标分式规划鞍点问题。因此，进一步讨论B-(p,r)-不变凸函数的性质及多目标规划问题和多目标分式规划问题在Mond-weir型对偶问题，Wolfe型对偶问题和鞍点问题中的应用，这是本文的选题目的。
在大量文献基础上研究在B-(p,r)-不变凸函数下多目标规划问题的Mond-weir型对偶问题，Wolfe型对偶问题和鞍点问题，以及在B-(p,r)-不变凸函数下多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶问题，Wolfe型对偶问题和鞍点问题，其中，Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题中分别都有弱对偶、强对偶、严格对偶、逆对偶和严格逆对偶定理。
1.3 本文内容安排
首先在第一章中回顾了凸函数理论的研究历程，并介绍了凸函数，B-不变凸函数，(p,r)-不变凸函数及B-(p,r)-不变凸函数的提出及发展情况。
第二章，我们回顾了B-(p,r)-不变凸函数及其相关定义，给出了B-(p,r)-不变凸函
2
2010届数学与应用数学专业毕业论文
的一些基本性质。
第三章，研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题，分别给出了其弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理。
章，研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问第四
题的鞍点问题，并对其相关定理进行证明。
第五章，研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题，分别给出了其弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理。
第六章，研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的鞍点问题，并对其相关定理进行证明。
3
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
第二章 B-(p,r)-不变凸函数的基本定义和性质
B-(p,r)-不变凸函数，它既是2003年，Antczak提出了一类新的广义凸函数——
B-不变凸函数的推广，又是(p,r)-不变凸函数的推广，利用这类函数讨论了单目标规划问题、Mond-weir型对偶问题、Wolfe型对偶问题和鞍点问题。
在本文中，回顾了B-(p,r)-不变凸函数的一些相关定义和定理，并分别对目标函
和多目标分式规划问题数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题
的Mond-Weir型对偶问题、Wolfe型对偶问题及鞍点问题进行研究。对Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题分别给出了其弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理等。
在本章中我们主要回顾了B-(p,r)-不变凸函数的相关定义，并讨论B-(p,r)-不变凸函数的一些基本性质。
2.1 B-(p,r)-不变凸函数的基本定义
大量的文献已经对目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题和多目标分式规划问题作了大量的工作，其中，Tadeusz Antczak在文献[1]定义出了一类新的广义凸函数——B-(p,r)-不变凸函数，并讨论了此类函数单目标规划问题。在国内也有大量文献讨论了在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题和多目标分式规划问题中的应用。
在这一节里，我们回顾了大量文献中已经给出的不变凸集和B-(p,r)-不变凸函数的一些相关定义。
说明:为了方便起见，我们引入以下几个符号，设，。 xxxx,,,,yyyy,,,,，，，，12n12n
xy,xy,in,1,2,,in,1,2,,?是指();是指();xy,是指xy,xy,iiii
xy,in,1,2,,xy,xy,();是指，而。 xy,ii
R?表示全体非负实数集。 ，
为了后面研究问题的需要，我们首先给出下面的定义。
nnnn[13],:RRR，,XR,定义2.1.1 集合是不变凸集，若存在向量函数，使得,,xyX,,,[0,1]，，。 yxyX，,,,,，，
，n[12]rXR,fXR:,定义2.1.2 设非空开集，是上的可微函数，，是任意Xp
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
n,:XXR，,bXXR:，,实数，，若对任意，存在向量函数和函数使yX,xX,，得
11rfxfy,，，，，pxy,,，，，，bxyefyeIpr,10,0,,,,,,,时，，，，，，，，，，rp
1rfxfy,，，，，，，bxyefyxypr,1,0,0,,,,,,时,，，，，，，，，，，r
1pxy,，，,bxyfxfyfyeIpr,0,0,,,,,,,时，，，，，，，，，，，，，，p
bxyfxfyfyxypr,,0,0,,,,,,时，，，，，，，，，，，，，，,
在点处关于向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数。若上面不等式成立。则称fy,b
当时为严格不等式，则称在点处关于向量函数和函数的严格B-(p,r)-不fxy,y,b变凸函数。
,,,,,...,，，,,,n12nn12其中，记，eeee,,,...,。 IR,,1,1,...,1，，，，
显然:当pr,,0,0时，f为在点处关于向量函数和函数的B-不变凸函数。y,b当时，为在点处关于向量函数的(p,r)-不变凸函数。其中，B-不变凸函fbxy,1,y,，，
数和(p,r)-不变凸函数的定义如下:
[15]nr定义2.1.3 设非空开集XR,，fXR:,是上的可微函数，，是任意Xp
n,:XXR，,bXXR:，,实数，yX,，若对任意，存在向量函数和函数使xX,，得
bxyfxfyfyxy,,,,,,，，，，，，，，，，，，
成立。则称f在点处关于向量函数和函数的B-不变凸函数。若上面不等式当y,b
f时为严格不等式，则称在点处关于向量函数和函数的严格B-不变凸函xy,y,b数。
[16]nrXR,定义2.1.4 设非空开集，fXR:,是上的可微函数，，是任意Xp
n,:XXR，,yX,，若对任意，存在向量函数使得 实数，xX,
，，11rrfxrfypxy,,，，，，，，eefyeIpr,，,,,,10,0,时，，，，，，,,rrp，，
11rfxrfy，，，，eerfyxypr,，,,,1,0,0,,时，，，，，，，，，， rr
1pxy,，，,fxfyfyeIpr,,,,,,0,0,时，，，，，，，，，，p
fxfyfyxypr,,,,,,0,0,时，，，，，，，，，，,
f成立。则称在点处关于向量函数的(p,r)-不变凸函数。若上面不等式当时xy,y,
f为严格不等式，则称在点处关于向量函数的严格(p,r)-不变凸函数。 y,
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,,,,,...,，，,,,n12nn12其中，记，。 eeee,,,...,IR,,1,1,...,1，，，，
[1]2例2.1.1 设，定义是上的一个函数XxxRxx,,,,,:0,0fXR:,X，，,,1212
22为，它是关于某向量函数和函数的B-(0,1)-不变凸函数，其中 fxxx,,lnln,b，，12
01,1,ify,,，，,bxy,, ，，,11,1,ify,，，,,
,,01,1,ify,,01,1,ify，，，，12,,,, xy,,xy,,，，，，yy,,1212,,ify1,1,,,ify1,1,，，，，12,,lnylny,1,2
r但对任意实数和，时，不是一个关于某向量函数的(p,r)-不变凸函数。 fpy,1,1,，，
，[56]定义2.1.5 对问题(P):(，为满足问Xmin,,fxfxfxfx,…,xX,，，，，，，，，，，12n
,x是问题(P)的可行解。若不存在(P)的可行解，题(P)的约束条件的所有点的集合)，x
,,,使fxfx,成立，则称为该问题的有效解。若min改为max，fxfx,应改x，，，，，，，，
,为fxfx,。 ，，，，
可行解和有效解的定义如下。
[17]定义2.1.6 满足问题(P)所有约束条件的解，称为该问题(P)的xxxx,,,,，，12n可行解。
[17]定义2.1.7 使问题(P)的目标函数达到最优值的可行解，称为该问题(P)的有效
解。
2.2 B-(p,r)-不变凸函数的基本性质
在这一节里，我们给出了B-(p,r)-不变凸函数的几个基本性质，并给予证明。且
pr,,0,0pr,,0,0pr,,0,0在这些性质的证明过程中，只证时结论成立，当，和
pr,,0,0时较简单，可类似得证。
f定理2.2.1 设是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，Xy,b
fa，，则是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数。 Xy,,,aRb
f证明:因为是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则Xy,b根据定义有:
11rfxfy,，，，，pxy,,，，，，bxyefyeI,,,,,1, ，，，，，，，，rp
所以可得:
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
11rfxafya，，，，，,，，，，，rfxfy,，，，，，，，，，，，，bxyebxye,1,1,,,，，，，，，，，rr 11,,,,pxypxy，，，，,,,,,，,fyeIfyaeI.，，，，，，，，，，，，pp
所以是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数。 fa，Xy,b
是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，定理2.2.2 设fXy,b，则是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,rk)-不变凸函数。 kfXy,,,k0b证明:因为是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则fXy,b
根据定义有:
11rfxfy,，，，，pxy,,，，，，bxyefyeI,,,,,1. ，，，，，，，，rp
再由可得: k,0
rkfxkfy,,,，，，，，，k1,rfxfy，，，，，，kbxyekbxye,1,1,,,，，，，,,，，rr,,
11,,,,pxypxy，，，，kfyeIkfyeI.,,,,,,，，，，，，，，，，，，pp
rk所以kf是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,)-不变凸函数。 Xy,b定理2.2.3 设f和都是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函Xgy,b
rfxfyrgxgy,,rfxfygxgy,，,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，ee，,2e,1数，且当fg，时，有成立，则是上点Xy
处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，其中 b,
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，,ee，,2bxyr,0,,，，,rfxfygxgy,，,，，，，，，，，，，bxy,, ，，,e,1
,bxyr,0.,，，,
证明:先证明。 bxy,0,，，
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,,201)、当时，有
2rfxfygxgyrgxgyrgxgyrgxgy,，,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， eeee12110,,,,,,,,,，，，，
所以有
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,2 ,0.rfxfygxgy，，，，，，，，,，,，，e,1
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,,202)、当时，由已知可得:
rfxfygxgy,，,，，，，，，，，，， e,,10,
所以有:
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,2 ,0.rfxfygxgy，，，，，，，，,，,，，e,1
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,,203)、当时，有
rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，，，，，ee，,2 ,0.rfxfygxgy，，，，，，，，,，,，，e,1
)、2)、3)和，可得:。 所以根据1bxy,0,bxy,0,，，，，又因为和都是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则fgXy,b
根据定义有:
11rfxfy,，，，，pxy,,，，，，bxyefyeI,,,,,1, (2.1) ，，，，，，，，rp
11rgxgy,，，，，pxy,,，，，，bxyegyeI,,,,,1. (2.2) ，，，，，，，，rp
(2.1)式和(2,2)式相加，所以可得:
11rfxfyrgxgy,,，，，，，，，，pxy,,，，，，，，bxyeefygyeI，,,,，,，，,2. (2.3) ，，，，，，，，，，，，rp
根据的定义和(2.3)式，可得: bxy,，，
11rfxgxfygyrfxfyrgxgy，,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，bxyebxyee,1,2,,，,，，，，，，，，rr 1,,pxy，，,,，,fygyeI.，，，，，，，，，，p
fg，所以是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数。 bXy,推论2.2.1 设f和都是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函Xgy,b
fg，数，则是上点处关于同一向量函数和函数的B-(p,0)-不变凸函数。 Xy,b
f推论2.2.2 设是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不Xyin,1,2,,,b，，i
nn
a,0afa,0变凸函数，，且，则是上点处关于同一向量函Xin,1,2,,y，，,,iiiiii,1,1
数和函数的B-(p,0)-不变凸函数。 ,b
f定理2.2.4 设是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，且Xy,b
1,,,xyX,，都有，则是上点处关于同一向量函数和函数b的Xyfxfy,0,，，，，f
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rfxfy,，，，，，，,e,1，，,bxyr,0,,，，r,fxfy,，，，，,,，，2fxfy，，，，,fye,1，，,,，，，，B-(p,r)-不变凸函数，其中 bxy,,，，,,,,,,
,fx，，bxyr,0.,，，,fy，，,
证明:先证明。 bxy,0,，，
当时，因为，都有，则 1)、,,xyX,fxfy,0r,0，，，，
rrfxfy,，，，，，，,,,,,,,,1000,erfxfyfxfy，，，，，，，，，，，，fxfy，，，， rrfxfy,，，，，，，,,,,,,,,1000,erfxfyfxfy，，，，，，，，，，，，fxfy，，，，所以，根据的定义和，易知。 bxy,bxy,0,bxy,0,，，，，，，
2)、当时，由,,xyX,，都有，和，易知。 r,0fxfy,0bxy,0,bxy,0,，，，，，，，，
所以，综合1)、2)可得。 bxy,0,，，
又因为f是上点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则根据Xy,b定义有:
11rfxfy,，，，，pxy,,，，，，bxyefyeI,,,,,1, ，，，，，，，，rp
所以，根据的定义，可得: bxy,，，
,,，，，，11,,r,,,,,,,,,,,111fxfy，，，，rfxfy,，，，，,,,,，，，，，，,,,,bxyebxye,1,1,,,，，，，，，2,,rfyr，，,,
，，1111,,pxypxy,,，，，，fyeIeI.,,,,,,,，，，，，，,,2fyppfy，，，，，，
1,所以是上点处关于同一向量函数和函数b的B-(p,r)-不变凸函数。 Xy,f
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
第三章 B-(p,r)-不变凸函数
下的多目标规划问题的对偶问题
2005年，孙玉华在文献[6]中和孙玉华、谢铁军在文献[5]中，分别研究了利用B-(p,r)-不变凸函数建立了目标函数和约束函数均可微的多目标规划问题的Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题。
在这一章中，我们对文献[5]和文献[6]中的Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题作进一步研究，得出在目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的弱对偶、强对偶、严格对偶、逆对偶和严格逆对偶定理。
3.1 多目标规划问题的对偶问题的弱对偶
在这一节里，我们分别给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的弱对偶定理。
3.1.1 多目标规划问题的对偶问题的基本知识
首先回顾文献[5]和文献[6]中引出的在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题(VP)，以及多目标规划问题(VP)的Mond-weir型对偶问题(MVD)和Wolfe型对偶问题(WVD)。
对于B-(p,r)-不变凸函数下的多目标规划问题:
,min,,,fxfxfxfx,，，，，，，，，，，12k,,stgxjm..0,1,2,,,,,(VP) ，，,j
,xX,.,,
nXR,其中，非空开集，和都是上XfXRik:1,2,,,,gXRjm:1,2,,,,，，，，ij
的可微函数，记(VP)的可行域为:
DxXgxjm,,,,{:0,1,2,,}.，，1j
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
(VP)的Mond-weir型对偶问题:
,max,,,fyfyfyfy,，，，，，，，，，，12k,km,stfyugy..0,,,，,,，，，，,,iijj,,,,ij11(MVD) ,m,ugy,0,，，,jj,,j1,
,,,,,,,0,,,,0uuuu,，，，，1212km,,,,,
记(MVD)的可行域为:
kmm,,km WuyRRXfyugyugy,,,,,:0,0,0.,,，，,，,,,,,，，，，，，，，,,,,,1，，iijjjj,,,111ijj,,
(VP)的Wolfe型对偶问题:
,max,,,,fyfyugyfyugyfyugy,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，111222kkk,km,,stfyugy..0,,，,,，，，，,,iijj,,,,ij11(WVD) ,m,ugy,0,，，,jj,,j1,
,,,,,,,0,,,,0uuuu，，，，,1212km,,,,,
记(WVD)的可行域为:
kmm,,km WuyRRXfyugyugy,,,,,:0,0,0.,,，，,，,,,,,，，，，，，，，,,,,,2，，iijjjj,,,111ijj,,
，[56]xD,x引理3.1.1 设是(VP)的可行解(即)，是(MVD)(或(WVD))的可,,,uy，，1
m
ug行解，在点处是关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则: by,,jjj,1
m1pxy,,，，ugyeIp,,,,00,，，，，，，,jjpj,1 m
,ugyxyp,,,,00.，，，，，，,jjj,1
m
ug注3.1.1 在上述定理中，当是关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-b,,jjj,1
不变凸函数时，上面不等式为严格不等式。
[6],,,,,，,,,,,,,,,0引理3.1.2 设x是(VP)的有效解，则，，，12k
11
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用 ,,,,，使得下列结论成立; uuuu,,,,,0，，12m
kmm,,,,,,afxugx,,，,,0;bugx,0。 ，，，，，，，，，，,,,jjiijjj,111,,ij
3.1.2 多目标规划问题的Mond-weir型对偶问题的弱对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题的弱对偶定理，并给予证明。
[6]xxD,定理3.1.1 设和分别是(VP)和(MVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，11
k
,f当时，有，是在点处关于某向量函数和函数的严格xy,bxy,0,y,b，，,iii,1
m
ugB-(p,r)-不变凸函数，是在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变by,,jjj,1
凸函数，则。 fxfy,，，，，
xxD,定理3.1.2 设和分别是(VP)和(MVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，11km
,fug是在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，是在点yy,b,,iijji,1j,1处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 b,fxfy,，，，，
证明:利用反证法进行证明。假设，即 fxfy,，，，，
k
,，，fxfy,,0. (3.1) ，，，，,iii，，,1i
由于是(MVD)的可行解，有: ,,,uy，，
km
,,，,,fyugy0. (3.2) ，，，，,,iijjij,,11
k
,f又因为是在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，根据y,b,iii,1
定义和(3.2)式可得:
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k,,mrfyfy,，，,，，，，iii,，，11pxy,,，，i,1,,bxyeugyeIpr,10,0,,,,,,,,，，，，，，，，,jj,,rpj,1,,
k,,mrfyfy，，,，，，，iii,，，,1i,1,,,bxyeugyxypr,1,0,0,,,,,,,，，，，，，，，,jj,,rj,1 ,,
km1,,pxy,，，,bxyfyfyugyeIpr,0,0,，，,,,,,,,，，，，，，，，，，,，，,,iiijj,,，，p,,ij,,11
km,,，，,,,,,ugyxypr,,0,0.bxyfyfy,,，，，，，，，，，，，，,,jjiii,,，，,,,11ij,,
m
ug又因为是在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，by,,jjj,1
则根据其定义，再结合引理3.1.1可得:
k,,rfyfy,,，，，，，，iii,，，1,1i,,bxyer,100,,,,，，，，,,r,,
k,,,bxyfyfyr,00.,,,，，，，，，，，，，,iii,,，，1i,,,
又，得: bxy,0,，，
k
,fyfy,,0.，， ，，，，,iii，，i,1
这与(3.1)式矛盾。所以。 fxfy,，，，，
km
,fug注3.1.2 在上述定理的条件下，当和只要有一个是在点处关于向y,,iijji,1j,1
量函数和函数(或函数)的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到。 b,fxfy,b，，，，
[6]xxD,定理3.1.3 设和分别是(VP)和(MVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，11
km
,fug，是在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则y,b,,iijjij,,11
。 fxfy,，，，，
km
,fug，注3.1.3 在上述定理的条件下，当是在点处关于某向量函数y,,,iijjij,,11
和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到。 fxfy,b，，，，
13
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
3.1.3 多目标规划问题的Wolfe型对偶的弱对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
对偶问题的弱对偶定理，并给予证明。 目标规划问题的Wolfe型
xxD,定理3.1.4 设和分别是(VP)和(WVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，12
kkm
,f,,1ug，当时，有，对，有和在点处关于某xy,ybxy,0,,,r0，，,,,iiijjii,1,1j,1
向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 ,fxfyugy,，b，，，，，，
k
,,1证明:利用反证法进行证明。假设。由，则有 fxfyugy,，，，，，，，,ii,1
kkm
,,fxfyugy,，, ，，，，，，,,,iiiijjiij,,,111
xD,再由，，则有 ,,,uyW,，，12
kmkm
,,fxugxfyugy，,，, (3.3) ，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,1111ijij
km
,,，,,fyugy0. (3.4) ，，，，,,iijjij,,11
km
,fug因为和在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，y,b,,iijji,1j,1
则根据定义、(3.4)式和，可得: bxy,0,，，
mm,,kk,,,,,,rugxugy,，，，，rfxfy,,,,,，，，，jjjj,,iiii,,,,,,1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxfyugxugyr00.,，,,,，，，，，，，，，，,,,,iiiijjjj1111iijj,,,,
对上式利用均值不等式可以得到:
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mm,,kk,,,,rugxugy,，，，，,,rfxfy,,,，，，，jjjj,,iiii,,,,,,jj,,11ii,,11,,,,02ee,，,
r,0,，，kkmm,,,,rfxfyugxugy,，,，，，，，，，，iiiijjjj,,,,,, ,,iijj,,,,1111,,22e,,
kmkm
,,fxugxfyugyr0,，,，,，，，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,ijij1111
先化简，在利用指数函数的单调性，可得
kmkm
,,fxugxfyugy，,，. (3.5) ，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,1111ijij
这与假设得出的(3.3)式矛盾。所以。 fxfyugy,，，，，，，，
km
,fug注3.1.4在上述定理的条件下，当和只要有一个在点处关于同一y,,iijji,1j,1
向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则有。 ,fxfyugy,，b，，，，，，
[5]xxD,定理3.1.5 设和分别是(VP)和(WVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，12kkm
,,1,fug，，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸y,b,,,iiijji,1ij,,11
函数，则。 fxfyugy,，，，，，，，
[5]xxD,定理3.1.6 设和分别是(VP)和(WVD)的可行解(即，)，,,,uy,,,uyW,，，，，12kkm
,,1,fug，，当时，有，在点处关于某向量函数和函xy,ybxy,0,,，，,,,iiijji,1ij,,11
数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则。 fxfyugy,，b，，，，，，
3.2 多目标规划问题的对偶问题的强对偶
在这一节里，我们分别给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Mond-Weir对偶问题和Wolfe型对偶问题的强对偶定理。
3.2.1 多目标规划问题的Mond-weir型对偶的强对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用 目标规划问题的Mond-weir型对偶问题的强对偶定理，并给予证明。
[6],,xy,定理3.2.1 设是(VP)的有效解，是(MVD)的可行解，当时，x,,,uy，，
k,,f，在点处是关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函bxy,0,y,b，，,iii,1
m
ug数，在点处是关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则by,,jjj,1
,,,,,,,,,,,，，使是(MVD)的有效解。 ，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,,ux，，，，，，12k12k
k,,f是(VP)的有效解，是(MVD)的可行解，在点处是定理3.2.2 设xy,,,uy，，,iii,1
m,,xy,ug关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，当时，bxy,0,，,b，，,jjj,1在点处是关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则by,
,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，使,,,ux是(MVD)的有效解。 ，，，，，，12k12k
,,,,,证明:因为是(VP)的有效解，则根据引理3.1.2可知，，,,,,,,,,,0，x，，12k,,,,uuuu,,,,,0，使得 ，，12k
kmm,,,,,,,,，,,,fxugxugx0,0, ，，，，，，,,,iijjjj111,,,ijj
,,,,,,ux成立，从而可知是(MVD)的可行解。又由注3.1.2可知，对(MVD)的可行解，，
,,,,有fxfy,，所以由定义2.1.5可知，,,,ux是(MVD)的有效解。 ,,,uy，，，，，，，，
km
,fug注3.2.1在上述定理的条件下，当和都是在点处是关于同一向量y,,iijji,1j,1
,,,,,,ux函数和函数(或函数)的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到是b,b，，(MVD)的有效解。
,,xy,定理3.2.3 设x是(VP)的有效解，是(MVD)的可行解，当时，,,,uy，，
km,,fug，bxy,0,，在点处是关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不y,b，，,,iijjij,,11
,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,,ux变凸函数，则，，使是(MVD)，，，，，，12k12k
的有效解。
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,,,,,证明:因为是(VP)的有效解，则根据引理3.1.2可知，，，,,,,,,,,,0x，，12k,,,,，使得 uuuu,,,,,0，，12k
kmm,,,,,,,,，,,,fxugxugx0,0, ，，，，，，,,,iijjjj111,,,ijj
,,,成立，从而可知是(MVD)的可行解。又由注3.1.3可知，对(MVD)的可行解,,,ux，，
,,,,有，所以由定义2.1.5可知，是(MVD)的有效解。 fxfy,,,,ux,,,uy，，，，，，，，
3.2.2 多目标规划问题的Wolfe型对偶的强对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的Wolfe型对偶问题的强对偶定理，并给予证明。
,定理3.2.4 设是(VP)的有效解，是(WVD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，2kk
,,1,f，当时，有，对，有在点处关于某向量函数xy,bxy,0,y,,r0,，，,,iiiii,1,1
m
ug和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数y,bb,jjj,1
,,,,,,,,,,,的B-(p,r)-不变凸函数，则，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，使得,,,ux，，，，，，12k12m是(WVD)的有效解。
,,,,,证明:因为是(VP)的有效解，则根据引理3.1.2可知，,,,,,,,,,0，x，，12k,,,,uuuu,,,,,0，使得结论、成立，即 ab，，，，，，12m
kmm,,,,,,afxugx,,，,,0bugx,0,， ，，，，，，，，，，,,,jjiijjj,111,,ij
,,,,,,ux成立，从而可知是(WVD)的可行解。再由注3.1.4可知对(WVD)的任意可行，，
,fxfyugy,，解，有:，再由可得: ,,,uyb，，，，，，，，，，
m,,,,,,fxugxfxugxfyugy，,，,，. ，，，，，，，，，，，，,jj1,j
,,,,,,ux最后由定义2.1.5可得是(WVD)的有效解。 ，，
,推论3.2.1 设x是(VP)的有效解，是(WVD)的可行解(即)，,,,uy,,,uyW,，，，，2kk
,,1,f，当时，有，对，有在点处关于某向量函数xy,bxy,0,y,,r0,，，,,iiiii,1,1
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万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
m
ug和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数的严y,bb,jjj,1
,,,,,,,,,,,格B-(p,r)-不变凸函数，则，，使得，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,,ux，，，，，，12k12m是(WVD)的有效解。
km
,fug和都是在点处关于同一向量函注3.2.2 在上述定理的条件下，当y,,iijji,1j,1
,,,数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可得是(WVD)的有效解。 ,,,ux,b，，
[5],定理3.2.5 设是(VP)的有效解，是(WVD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，kkm
,,1,fug，，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸y,b,,,iiijji,1ij,,11
,,,,,,,,,,,函数，则，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，使得,,,ux是(WVD)，，，，，，12k12m的有效解。
3.3 多目标规划问题的对偶问题的严格对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的严格对偶定理。
,,,,定理3.3.1 设和,,,uy分别为(VP)和(MVD)(或(WVD))的有效解，对x，，
k,,,,,fxy,ybxy,0,，，有，在点处关于某向量函数和函数的严格,,,xXb，，,ii,i1
m,,yugB-(p,r)-不变凸函数，在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸,b,jj,j1
k,,,,,,,1xy,,,,uy函数，且当为(WVD)的有效解时，有和，则。 r,0，，,ii,1
,,xy,证明:利用反证法进行证明。假设。
,1)因为x为(VP)的有效解，则根据定理3.2.1(或定理3.2.4)可知,对
,，,,,,,,,,,0,,,ux，，使得为(MVD)(或(WVD))的有uuuu,,,,,0，，，，，，12k12m
效解。
,,,,,,uy又因为为(MVD)(或(WVD))的有效解，则: ，，
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,, (3.6) fxfy,,，，，，
km,,,,,,，,,fyugy0. (3.7) ，，，，,,iiiiij,,11
m,,yug又因为在点处关于向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，根据其,b,jj,j1
定义和(3.7)式，可得:
mm,,,,,,,,,,rugxugy()(),kjjjj,,,,,,pxy,,11，，,,,,,,11jj,,,,,,,，,,,,,bxyefyeIpr,100,0,,，，，，，，,,,ii,,,,rpi,1,,,,
mm,,,,,,,,,,rugxugy()(),kjjjj,,,,1,,,,,,,,jj,,11,,,，,,,,bxyefyxypr,1,00,0,，，，，，，，，,,,ii,,ri,1,, ,,
mmk,,,,pxy,,1，，,,,,,,,,,,bxyug,()()00,0,xugyfyeIpr,，,,,,,,，，，，，，,,,,,,,jjjjii,,pjji,,,111,,
mmk,,,,,,,,,,,,,()(),00,0,,，,,,,bxyugxugyfyxypr，，，，，，，，,,,,,,,jjjjiijji,,,111,,
,,,,,,,,由于,,,uy,,,uy和分别为(VP)和(MVD)(或(WVD))的有效解，则和分别xx，，，，
为(VP)和(MVD)(或(WVD))的可行解，有:
mm,,,,ugx,0,ugy,0, ，，，，,,jjjjj,j,11,,再由bxy,0,，则: ，，
mm,,,,,,,,,,rugxugy()(),jjjj,,,,1,,jj,,,,11,,bxyer,100,,,,，，，，,,r,, ,,
mm,,,,,,,,bxyugxugyr,()()00.,,,，，，，,,,,jjjjjj,,11,,
则有:
k,,,,pxy1，，,,,,,,,,,fyeIp00,，，，，,,,ii,,p,1i (3.8) k,,,,fyxyp,,,,00.，，，，，，,,,ii,1i
,,fxfy,2)由(3.6)式，即: ，，，，
19
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
kk,,,,,,fxfy()()0,,, ,,iiii11ii,,
所以有:
kk,,,,,,,,rfxfy,,,,()(),iiii,,,,1ii,,,,11,,er,,,10(0),,,r,, (3.9) kk,,,,fxfyr()()0(0).,,,,,,,iiiiii,,11
k,,,fy在点处关于向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，根又因为,b,ii,i1
据其定义和(3.9)式，可得:
k,,pxy,,1，，,,,,,,,,,fyeIp00,，，，，,,,ii,,pi,1
k ,,,,,,,fyxyp,00.，，，，，，,,,iii,1
,,xy,这与(3.8)式矛盾。所以。
,,,,推论3.3.1 设和,,,uy分别为(VP)和(MVD)(或(WVD))的有效解，对x，，
k,,,,,fxy,y，，有bxy,0,，在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-,,xX,b，，,ii,i1
m,,yug不变凸函数，在点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函,b,jj,j1
k,,,,,,,1xy,,,,uy数，且当为(WVD)的有效解时，有和，则。 r,0，，,ii,1
km,,fyug注3.3.1在上述定理的条件下，当和都是在点处关于同一向量函,,iijji,1j,1
,,xy,数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也有。 ,b
,,,,,,,uy定理3.3.2 设x和分别为(VP)和(MVD)(或(WVD))的有效解，，，
km,,,y,fug，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，且,b,,iijj,,ij11
20
2010届数学与应用数学专业毕业论文
k,,,,,,,1xy,当为(WVD)的有效解时，有，则。 ,,,uy，，,ii,1
,,,xy,证明:利用反证法进行证明。假设。因为为(VP)的有效解，则根据定理x
,3.2.3(或定理3.2.5)可知,，，使得为，,,,,,,,,,0,,,uxuuuu,,,,,0，，，，，，12k12m(MVD)(或(WVD))的有效解。
,,,又因为为(MVD)(或(WVD))的有效解，则有: ,,,uy，，
,, (3.10) fxfy,,，，，，
km,,,,,,，,,fyugy0, (3.11) ，，，，,,iiiiij,,11
m,ugy,0. (3.12) ，，,jjj,1
(3.10)式即为:
kk,,,,,,fxfy,. (3.13) ，，，，,,iiii11ii,,
km,,,y,fug，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，,b,,iijj,,ij11
根据其定义和(3.11)(3.13)式，可得:
mm,,,,,,,,,,rugxugy,，，，，jjjj,,,,1,,,,11jj,,,,bxyer,100,,,,，，，，,,r,, ,,
mm,,,,,,,,bxyugxugyr,00,,,,，，，，，，，，,,,,jjjj11jj,,,,
即
mm,,,,ugxugy,, ，，，，,,jjjj11,,jj
再结合(3.12)式，可得
m,,ugx,0. (3.14) ，，,jjj,1
,,再由于x为(VP)的有效解，则x为(MVD)(或(WVD))的可行解，有
m,,ugx,0. ，，,jjj,1
21
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,,xy,这与(3.14)式矛盾。所以。
3.4 多目标规划问题的对偶问题的逆对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的逆对偶定理。
,,,,xy,定理3.4.1 设为(MVD)(或(WVD))的有效解，对，，有,,,uy,,xX，，
k,,,,fy，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，bxy,0,,b，，,ii,i1
m,,,,,yug在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，且当,,,uy,b，，,jj,j1
k,,,1y为(WVD)的有效解时，有和，则为(VP)的有效解。 r,0,ii,1
,,y证明:利用反证法进行证明。假设不是(VP)的有效解，则设为(VP)的有效解，x
,,,,,,xy,则有。又因为为(VP)的有效解，,,,uy为(MVD)(或(WVD))的有效解，x，，
km,,,,,fyyug在点处关于向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，在点,b,,iijj,i1,j1
,,xy,处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则根据定理3.3.1可知，，,b
,,,xy,y这与矛盾。所以为(VP)的有效解。
,,,,xy,,,,uy推论3.4.1 设为(MVD)(或(WVD))的有效解，，，有,,xX，，
k,,,,fybxy,0,，在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，,b，，,ii,i1
m,,yug在点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，且当,b,jj,j1
k,,,,,,1y,,,uy为(WVD)的有效解时，有和，则为(VP)的有效解。 r,0，，,ii,1
km,,fyug注3.4.1在上述定理的条件下，当和都是在点处关于同一向量函,,iijji,1j,1
22
2010届数学与应用数学专业毕业论文
,y数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到为(VP)的有效解。 ,b
km,,,,,,y定理3.4.2 设为(MVD)(或(WVD))的有效解，,fug，在点,,,uy，，,,iijj,,ij11
,,,处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，且当为(WVD)的,,,uy,b，，
k,,,1y，则为(VP)的有效解。 有效解时，有,ii,1
,,y证明:利用反证法进行证明。假设不是(VP)的有效解，则设为(VP)的有效解，x
,,,,,,xy,则有。又因为为(VP)的有效解，为(MVD)(或(WVD))的有效解，,,,uyx，，
km,,,y,fug，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则,b,,iijj,,ij11
,,,,,xy,xy,y根据定理3.3.2可知，，这与矛盾。所以为(VP)的有效解。
3.5 多目标规划问题的对偶问题的严格逆对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的严格逆对偶定理。
x定理3.5.1 设和分别是(VP)和(MVD)(或(WVD))的可行解，且,,,uy，，
k
,f，当时，有，对，有是在点处xy,,,fxfyugy,，bxy,0,y,,r0，，，，，，，，,iii,1
m
ug关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和是在点处关于同一,yb,jjj,1向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则有 ,b
x(1);(2)是(VP)的有效解; xy,
k,,,,,,1，,,,,,,,,,0(3)当为(WVD)的有效解时，有，则，,,,uy，，，，,i12ki,1
,,,,,,uuuu,,,,,0,,,uy，使得是(MVD)(或(WVD))的有效解。 ，，，，12k
x证明:1)利用反证法进行证明。假设。因为和分别是(VP)和xy,,,,uy，，(MVD)(或(WVD))的可行解，所以有:
23
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
m
ugx,0, (3.15) ，，,jjj,1
km
,,，,,fyugy0. (3.16) ，，，，,,iijjij,,11
k
,f又因为是在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，y,b,iii,1
m
ug是在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，根据其定义、y,b,jjj,1
(3.16)式、当时，有，可得: xy,bxy,0,，，
mm,,kk,,,,,,rugxugy,，，，，rfxfy,,,,,，，，，jjjj,,iiii,,,,,,1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxfyugxugyr00.,，,,,，，，，，，，，，，,,,,iiiijjjj1111iijj,,,,
对上式利用均值不等式可以得到:
mm,,kk,,,,rugxugy,，，，，,,rfxfy,,,，，，，jjjj,,iiii,,,,,,jj,,11ii,,11,,,,02ee,，,
r,0,，，kkmm,,,,,，,rfxfyugxugy，，，，，，，，iiiijjjj,,,,,, ,,iijj,,,,1111,,,,22e
kmkm
,,fxugxfyugyr，,，,0,，，，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,ijij1111
先化简，在利用指数函数的单调性，可得
kmkm
,,fxugxfyugy，,，. (3.17) ，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,1111ijij
结合(3.15)(3.17)式，可得:
kkm
,,fxfyugy,，. ，，，，，，,,,iiiijj,,,111iij
这与已知条件矛盾。所以。 xy,,,fxfyugy,，，，，，，，
x2)假设不是(VP)的有效解。由定义2.1.5知，存在(VP)的可行解，使x'
，即有: fxfx',，，，，
kk
,,fxfx'., (3.18) ，，，，,,iiii,,11ii
24
2010届数学与应用数学专业毕业论文 同1)中方法，可得知:
m
ugx'0,, (3.19) ，，,jj,1j
kmkm
,,fxugxfyugy''.，,， (3.20) ，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,1111ijij
再利用(3.18)(3.19)式和已知条件，可得 ,,fxfyugy,，，，，，，，
kmkm
,,fxugxfyugy''.，,， ，，，，，，，，,,,,iijjiijj,,,,1111ijij
x这与(3.20)式矛盾。所以是(VP)的有效解。
,,,,,,,,3)根据定理3.2.1(定理3.2.4)可知，，，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0，，，，12k12k
,,使,,,uy是(MVD)(或(WVD))的有效解。 ，，
x推论3.5.1 设和分别是(VP)和(MVD)(或(WVD))的可行解，且,,,uy，，
k
,f，当时，有，对，有是在点处xy,,,fxfyugy,，bxy,0,y,,r0，，，，，，，，,iii,1
m
ug关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和是在点处关于同一向量,yb,jjj,1
函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则有 ,b
x(1);(2)是(VP)的有效解; xy,
k,,,,,,1(3)当为(WVD)的有效解时，有，则，,,,,,,,,,0，,,,uy，，，，,i12ki,1
,,,,,,uuuu,,,,,0,,,uy，使得是(MVD)(或(WVD))的有效解。 ，，，，12k
km
,fug注3.5.1在上述定理的条件下，当和都是在点处关于同一向量函y,,iijji,1j,1
x数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到，为(VP)的有效解，xy,,b
,,,,,uy是(MVD)(或(WVD))的有效解。 ，，
x定理3.5.2 设和分别是(VP)和(MVD)(或(WVD))的可行解，且,,,uy，，
km
,fug，，是在点处关于某向量函数和函数的严y,,fxfyugy,，,b，，，，，，,,iijjij,,11
25
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用 格B-(p,r)-不变凸函数，则有
x(1);(2)是(VP)的有效解; xy,
k,,,,,,1(3)当为(WVD)的有效解时，有和，则，，,,,,,,,,,0,,,uyr,0，，，，,i12ki,1
,,,,,,，使得是(MVD)(或(WVD))的有效解。 uuuu,,,,,0,,,uy，，，，12k
x证明:根据文献[6]定理4(或文献[5]定理4)可得和为(VP)的有效解，又根xy,
,,,,,,,,据定理3.2.3(或定理3.2.5)可知，，使，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0，，，，12k12k
,,是(MVD)(或(WVD))的有效解。 ,,,uy，，
26
2010届数学与应用数学专业毕业论文
第四章 B-(p,r)-不变凸函数
下的多目标规划问题的鞍点问题
在这一章中，我们对目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标
,x规划问题的鞍点问题作进一步研究，得出在为(VP)的有效解和为(VP)的可行解x
时，在目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下广义Lagrange向量函数
的一些定理。 Lxu,，，
4.1 多目标规划问题的鞍点问题的基本知识
在这一节中，我们首先回顾文献中引出的在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题(VP)，广义Lagrange向量函数的定义和一些基本引理。 Lxu,，，
对于B-(p,r)-不变凸函数下的对于多目标规划问题:
,min,,,,fxfxfxfx,，，，，，，，，，，12k,,stgxjm..0,1,2,,,,,(VP) ，，,j
,xX,.,,
nXR,其中，非空开集，和都是上XfXRik:1,2,,,,gXRjm:1,2,,,,，，，，ij
的可微函数。记(VP)的可行域为:
DxXgxjm,,,,{:0,1,2,,}.，，2j
[14]多目标规划问题(VP)的广义Lagrange向量函数的定义: Lxu,，，
LxuLxuLxuLxu,,,,,,,,，，，，，，，，，，12k
m
Lxufxugx,,，其中，，，。 ik,1,2,,uuuu,,,,,0xX,，，，，，，，，，，,iijj12m,1j
,m[10]m,,,,uR,,,uRLxuLxu,,,,，，若，。有 定义4.1.1 设xX,,,xX，，，，，，
,,,Lxu,xu,，则称为的鞍点。 Lxu,，，，，，，
下面我们来介绍几个引理，这些引理对研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标规划问题的鞍点问题中有重要的作用。
[18],引理4.1.1 设x是(VP)的有效解，则，，，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
，使得下列结论成立: ,,,0,，，
27
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
kmm,,,afxgx,,,，,,0bgx,,0;。 ，，，，，，，，，，,,,iijjjjij,,111,j
[18],引理4.1.2 设是(VP)的有效解，且满足K-T约束规格。xgxjm,1,2,,，，，，j
则，，使得下列结论成立: ，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
kmm,,,afxgx,,,，,,0bgx,,0;。 ，，，，，，，，，，,,,iijjjjij,,111,j
4.2 多目标规划的鞍点问题的基本定理
在这一节里，我们将讨论目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标规划问题的鞍点问题的一些基本定理。
,,定理4.2.1设为(VP)的有效解，且对引理4.1.1中的，，，当xxx,,,,,xX
km,,,,f,g时，bxx,0,，对，有和在点处关于某向量函数,xx,和x,,r0，，，，,,iijji,1j,1
,,,,,,,函数bxx,的严格B-(p,r)-不变凸函数，则，,,uuuu,,,0，使xu,为Lxu,，，，，，，，，12m的鞍点。
,证明:因为为(VP)的有效解，则有引理4.1.1可知，，x，,,,,,,,,,0，，12k
，，使得成立。 ,,,,,,,,,0,,,0,ab，，，，，，，，12m
km,,,,f,g由于和在点处关于某向量函数,xx,和函数bxx,的严格x，，，，,,iijji,1j,1
,B-(p,r)-不变凸函数，根据其定义、条件和bxx,0,，可以得到: a，，，，
mm,,kk,,,,,,,,rgxgx,,,，，rfxfx,,,,,，，，，jjjj,,，，iiii,,,,,,1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm,,,,,,fxfxgxgxr00,,，,,,，，，，，，，，，，,,,,iiiijjjj1111iijj,,,,
再由条件，则有: b，，
mkk,,,,,rgx,rfxfx，，,,,,,，，jj，，,iiii,,,,1j,1ii,,11,,,,eer200,，,,,，，,,r ,,
kkm,,,,fxfxgxr,，,,00,，，，，，，，，,,,iiiijj111iij,,,
28
2010届数学与应用数学专业毕业论文 对上式利用均值不等式可以得到:
mkkmkk,,,,,,rgxrfxfxrgx,,,,,,,，rfxfx,,,,,，，，，，，，，，，jjiiiijj，，,,,,iiii,,,,,,jiij,,,,1111,,ii,,11,,220,eeer,，,,，， kkm,,,,fxfxgxr00,,，,,，，，，，，，，,,,iiiijj111iij,,,
先化简，在利用指数函数的单调性，可得:
kkm,,,,fxfxgx,，,0. (4.1) ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
xD,又因为，则。由(4.1)式可知，可令gx,0,,,,,,,,,0，，，，2j12k
k,u,,,。 jm,1,2,,，，,jjii,1
,,,,,,1)若LxuLxu,,,，即必存在，，LxuLxu,,,，而1,,tkt，，，，，，，，tt,,,,LxuLxu,,,，，。利用条件和的定义有: 1,,rkburt,，，，，，，rrj
m,,,,,LxuLxufxfxugx,,0,,,,,, ，，，，，，，，，，,ttttjj1,j
m,,,,,LxuLxufxfxugx,,0,,,,,, ，，，，，，，，，，,rrrrjj1,j
,由，，和的定义，可得 ,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0,,,0,u，，，，，，12k12mj
kkm,,,,fxfxhx,，,0. ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
,,,LxuLxu,,,这与(4.1)式矛盾。所以。 ，，，，
mmkm,,,,m,,uRugxgxugx,,,0,,2)因为，，所以有 ，，，，，，,,,,，jjjjijj1111,,,,jjij
mm,,,,,fxugxfxugx，,，, ，，，，，，，，,,ijjijj11,,jj
,,,,,,LxuLxuik,,1,2,,,,LxuLxu,,,即。所以。 ，，，，，，，，ii
,,xu,综合1)2)可得为的鞍点。 Lxu,，，，，
由上面的定理我们可以很容易的得到下面的推论。
,,推论4.2.1 设x为(VP)的有效解，且对引理4.1.1中的，，，当xx,,,,,xX
k,,,,,fbxx,0,,xx,bxx,x时，，对，有在点处关于某向量函数和函数,,r0，，，，，，,iii,1
29
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
m,,,,g的严格B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数,xx,bxx,x，，，，,jjj,1
,,,,,,的B-(p,r)-不变凸函数，则，使为的鞍点。 ，,,uuuu,,,0xu,Lxu,，，，，，，12m
,,推论4.2.2 设为(VP)的有效解，且对引理4.1.1中的，，，当xxx,,,,,xX
k,,,,,f时，，对，有在点处关于某向量函数和函数bxx,0,,xx,bxx,x,,r0，，，，，，,iii,1
m,,,,g的B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数的,xx,bxx,x，，，，,jjj,1
,,,,,,严格B-(p,r)-不变凸函数，则，使为的鞍点。 ，,,uuuu,,,0xu,Lxu,，，，，，，12m
,定理4.2.2 设为(VP)的有效解，且满足K-T约束规格，对xgxjm,1,2,,，，，，j
km,,,f,g引理4.1.2中的，，，当时，bxx,0,，对，有和xx,,,,,xX,,r0，，,,iijji,1j,1
,,,都在点处关于某向量函数,xx,和函数bxx,的B-(p,r)-不变凸函数，则x，，，，
,,,,,,，,,uuuu,,,0，使xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,证明:因为为(VP)的有效解，则有引理4.1.2可知，，x，,,,,,,,,,0，，12k
，使得、成立。 ,,,,,,,,,0ab，，，，，，12m
类似定理4.2.1的证明，可得:
kkm,,,,fxfxgx,，,0. (4.2) ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
k,ujm,,,,1,2,,由已知，可令。 ,,,,,,,,,0，，,jji12k1i,
,,,LxuLxu,,,1)若，类似定理4.2.1的证明，可得: ，，，，
m,,fxfxugx,,,0, ，，，，，，,ttjj1,j
m,,fxfxugx,,,01,,,rk,， rt,，，，，，，,rrjj1,j
,再由，和的定义，可得 ,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0u，，，，12k12mj
30
2010届数学与应用数学专业毕业论文
kkm,,,,fxfxgx,，,0. ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
,,,这与(4.2)式矛盾。所以。 LxuLxu,,,，，，，
,,,2)类似定理4.2.1的证明，可得。 LxuLxu,,,，，，，
,,综合1)2)可得为的鞍点。 xu,Lxu,，，，，
km,,,fg，定理4.2.3 设为(VP)的有效解，且对引理4.1.1中的，，在x,,,,ijjij,,11
,,,点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，，,xx,bxx,x,,xX，，，，
,,,,,,,,当时，，则，使为的鞍点。 bxx,0,，,,uuuu,,,0xu,xx,Lxu,，，，，，，，，12m
,证明:因为为(VP)的有效解，则有引理4.1.1可知，，x，,,,,,,,,,0，，12k
，，使得、成立。 ,,,,,,,,,0,,,0,ab，，，，，，，，12m
km,,,,,fg，由于在点处关于某向量函数和函数的严格,xx,bxx,x，，，，,,ijjij,,11
,B-(p,r)-不变凸函数，根据其定义、条件和bxx,0,，可以得到: a，，，，
kmkm,,,,,,,,rfxgxfxgx,,,,，,,，，，，，，，，iijjiijj,,,,,,1,,,,,,1111ijij,,er时100,,,,，，,,r,, ,,
kkmm,,,,,,fxfxgxgxr时00,,，,,,，，，，，，，，，，,,,,iiiijjjj1111iijj,,,,
由条件，则有: b，，
kkm,,,,,,,rfxfxgx,,,,，，，，，，，iiiijj,,,,,1,,111iij,,,,,er时100,,,,，，,,r,, ,,
kkm,,,,fxfxgxr00,时,，,,，，，，，，，，,,,iiiijj111iij,,,
即
kkm,,,,fxfxgx,，,0. (4.3) ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
xD,又因为，则。由(4.3)式可知，可令gx,0,,,,,,,,,0，，，，2j12k
k,ujm,,,,1,2,,。 ,jjii,1
31
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,,,1)若，类似定理4.2.1的证明，可得: LxuLxu,,,，，，，
kkm,,,,fxfxgx,，,0. ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
,,,(4.3)式矛盾。所以。 这与LxuLxu,,,，，，，
,,,2)类似定理4.2.1的证明，可得: LxuLxu,,,，，，，
,,综合1)2)可得为的鞍点。 xu,Lxu,，，，，
,定理4.2.4 设为(VP)的有效解，且满足K-T约束规格，对xgxjm,1,2,,，，，，j
km,,,,fg，引理4.1.2中的，，在点处关于某向量函数和函数,xx,x,,，，,,ijjij,,11
,,,的B-(p,r)-不变凸函数，，当时，，则bxx,bxx,0,xx,,,xX，，，，
,,,,,,，,,uuuu,,,0，使xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,证明:因为为(VP)的有效解，则有引理4.1.2可知，，x，,,,,,,,,,0，，12k
，使得成立。 ,,,,,,,,,0ab，，，，，，12m
类似定理4.2.3的证明，可得:
kkm,,,,fxfxgx,，,0. (5.4) ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
k,ujm,,,,1,2,,由已知，可令。 ,,,,,,,,,0，，,jji12ki,1
,,,1)若LxuLxu,,,，类似定理4.2.1的证明，可得: ，，，，
m,,fxfxugx,,,0, ，，，，，，,ttjj1,j
m,,fxfxugx,,,01,,,rk,， rt,，，，，，，,rrjj1,j
,再由，和的定义，可得 ,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0u，，，，12k12mj
kkm,,,,fxfxhx,，,0. ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
,,,LxuLxu,,,这与(4.4)式矛盾。所以。 ，，，，
,,,LxuLxu,,,2)类似定理4.2.1的证明，同理可得。 ，，，，
,,xu,综合1)2)可得为的鞍点。 Lxu,，，，，
,定理4.2.5 设x为(VP)的可行解，若，，，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
32
2010届数学与应用数学专业毕业论文
km,,f使得引理4.1.1中成立，对，有和,g在点处关于某向量函xab,,r0，，，，,,iijji,1j,1
,,,,数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，，当时，，,xx,bxx,bxx,0,xx,,,xX，，，，，，
kkk,,,,,,,则为(VP)的有效解，且，xuuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
,,为的鞍点。 xu,Lxu,，，，，
,,证明:1)先证为(VP)的有效解。对(VP)的任意可行解，由定理4.2.1xxx,x，，
可得:
kkm,,,,fxfxgx,，,0, ，，，，，，,,,iiiijj111,,,iij
x又因为为(VP)的任意可行解，所以有:
gx,0jm,1,2,,,，，，，j
从而可得:
kkkkm,,,,,,,fxfxfxfxgx,,,，,0, ，，，，，，，，，，,,,,,iiiiiiiijj11111,,,,,iiiij
,Xx再利用的定义，即可知不存在(VP)的任意可行解，使 i
,,, fxfxfxfxfxfx,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，1212kk
,成立。所以为(VP)的有效解。 x
,,xu,2)由定理4.2.1可得:为的鞍点。 Lxu,，，，，
由上面的定理我们可以很容易的得到下面的推论。
,推论4.2.3 设为(VP)的可行解，若，，x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
k,,,fbxx,0,使得引理4.1.1中成立，，当xx,时，，对，有ab,,xX,,r0，，，，，，,iii,1
m,,,,g,xx,bxx,在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和x，，，，,jjj,1
,,,,,xx,bxx,在x点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则x为(VP)，，，，
kkk,,,,,,,,xu,的有效解，且对，为uuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
的鞍点。 Lxu,，，
33
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,推论4.2.4 设为(VP)的可行解，若，，x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
k,,,f使得引理4.1.1中成立，，当时，，对，有bxx,0,xx,ab,,xX,,r0，，，，，，,iii,1
m,,,,g在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在,xx,bxx,x，，，，,jjj,1
,,,,点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则为,xx,bxx,xx，，，，
kkk,,,,,,(VP)的有效解，且对，uuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
,,为的鞍点。 xu,Lxu,，，，，
,推论4.2.5 设为(VP)的可行解，若，，x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
k,,,f使得引理4.1.2中成立，，当时，bxx,0,，对，有xx,ab,,xX,,r0，，，，，，,iii,1m,,,,g和在点处关于某向量函数,xx,和函数bxx,的B-(p,r)-不变凸函数，则x，，，，,jjj,1
kkk,,,,,,,为(VP)的有效解，且，xuuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
,,xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，
,推论4.2.6 设为(VP)的可行解，若，，x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
km,,,,fg，,xx,使得引理4.1.1中、成立，且在点处关于某向量函数xab，，，，，，,,iijjij,,11
,,,,bxx,bxx,0,和函数的B-(p,r)-不变凸函数，，当时，，则为(VP)xx,x,,xX，，，，
kkk,,,,,,,,xu,的有效解，且，为uuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
的鞍点。 Lxu,，，
,推论4.2.7 设x为(VP)的可行解，若，，，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
km,,,,fg，,xx,使得引理4.1.2中、成立，且在x点处关于某向量函数ab，，，，，，,,iijjij,,11
34
2010届数学与应用数学专业毕业论文
,,,,和函数的B-(p,r)-不变凸函数，，当时，，则为(VP)bxx,bxx,0,xx,x,,xX，，，，
kkk,,,,,,,,的有效解，且对，为xu,uuuu,,,,,,0,,,,,,,,,，，，，,,,1212miimi,,111,,,,,iii
的鞍点。 Lxu,，，
35
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
第五章 B-(p,r)-不变凸函数
下的多目标分式规划问题的对偶问题
2008年，焦合华在文献[8]中，研究了利用B-(p,r)-不变凸函数建立了目标函数和约束函数均可微的多目标分式规划问题(FP)的Wolfe型对偶问题。并证明了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的弱对偶，强对偶和严格逆对偶定理。
章中，我们对多目标分式规划下的Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶在这一
问题的一些定理进行研究和推广，得出在目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的Mond-Weir型对偶和Wolfe型对偶的弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶定理。
5.1 多目标分式规划问题的对偶问题的弱对偶
在这一节里，我们分别给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的弱对偶定理。
5.1.1多目标分式规划问题的对偶问题的基本知识
首先回顾文献中引出的在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题(FP)，以及多目标分式规划问题(FP)的Mond-weir型对偶问题(MFD)和Wolfe型对偶问题(WFD)。
对于B-(p,r)-不变凸函数下的多目标分式规划问题:
min,,,,fxfxgxfxgxfxgx,，，，，，，，，，，，，，，，，1122kk
(FP) ,hxjm,,0,1,2,,,，，,jst..,xX,.,,
nXR,其中，非空开集，和都是XfgXRik,:1,2,,,,hXRjm:1,2,,,,，，，，iij
上的可微函数，。记(FP)的可行域为: gik,,01,2,,，，i
DxXhxjm,,,,{:0,1,2,,}.，，3j
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2010届数学与应用数学专业毕业论文 (FP)的Mond-weir型对偶:
max,,,,fyfxgxfxgxfxgx,，，，，，，，，，，，，，，，，1122kk
kkm,,,,,,，,,fyXgyugy0,，，，，，，,,,iiiiijj,(MFD) ,,,iij111,st..,m,uhy,0,，，,jj,,j1,
fx，，i其中，，，，。 ,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,X,，，，，，，12k12migx，，i
记(MFD)的可行域为:
kk,kmWuyRRXfyXgy,,,,,:,,，，,,,，，，，，，，,,,3，，iiiii,,11ii, mm,ugyugyu0,0,,0.,,,,,，，，，，，,,,,jjjj,,11jj,(FP)的Wolfe型对偶:
max,,,,,,,,LyuLyuLyuLyu,，，，，，，，，，，12k
kkm,,,,，,,fyXgyugy0,,,，，，，，，,,,iiiiijj,(WFD) iij111,,,,st..,m,uhy,0,，，,jj,j1,,
mhyfyfx，，，，，，jii其中，，，，,,，ik,1,2,,,,,,,,,,,0LyuuX,，，，，，，,12kiijgygygx，，，，，，,1jiii
，。 uuuu,,,,,0,,0u,，，，，12m
记(WFD)的可行域为:
kk,kmWuyRRXfyXgy,,,,,:,,，，,,,，，，，，，，,,,4，，iiiii,,11ii, mm,ugyugyu0,0,,0.,,,,,，，，，，，,,,,jjjj,,11jj,
[8],,,,Xfxgxik,,1,2,,引理5.1.1设x是(FP)的有效解，则，，，，，，iii,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,，，使得下列结论成立; ，，，，，，12k12m
kkmm,,,,,,,,,afxXgxuhx,,,,,，,,0buhx,0;。 ，，，，，，，，，，，，,,,,jjiiiiijjj,1111,,,iij
37
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
5.1.2 多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶的弱对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题的弱对偶定理，并给予证明。
xD,x定理5.1.1假设和分别是(FP)和(MFD)的可行解(即，,,,uy，，3
kk
,,1,fXg,)，，当时，有，对，有和xy,,,,uyW,bxy,0,,,r0，，，，，，,,iiiii3i,1i,1m
uh在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 y,fxfy,b，，，，,jjj,1
证明:利用反证法进行证明。假设，即 fxfy,，，，，
fxgxfygyik,,1,2,,,，，，，，，，，iiii
再由于，则有 gyik,,01,2,,，，，，i
fyXgyik,,,0,1,2,,,，，，，iii
k
,,1又由于，可得: ,ii,1
k
,，，fyXgy,,0. (5.1) ，，，，,iiii，，,1i
由于，则有 ,,,uyW,，，3
kkm
,,,,,，,,fyXgyugy0. (5.2) ，，，，，，,,,iiiiijj,,,111iij
km
,fXg,uh再由于和在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不y,b，，,,iiiijji,1j,1
变凸函数，根据其定义、(5.2)式和，可以得到: bxy,0,，，
mm,,kk,,,,,,ruhxuhy,，，，，rfxXgxfyXgy,,,,,,,，，，，，，，，，，，，jjjj,,iiiiiiii,,，，，，,,,,1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxXgxfyXgyuhxuhyr00,,,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，1111iijj,,,,
k
,fxXgx,,0，，又因为，所以:，则有: Xfxgx,，，，，，，，，,iiiiiii，，,1i
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
mm,,k,,,,ruhxuhy,，，，，,,rfyXgy,，，jjjj，，，，,,iiii,，，,,1,,,,11jj,,,1ieer200,，,,,，，,,r,, ,,
mmk
,uhxuhyfyXgyr0,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,jjjjiiii，，111jji,,,
再对上式利用均值不等式可以得到:
mmmmk,,,,k,,,,ruhxuhyruhxuhyrfyXgy,,,,,，，，，，，，，，，，，，，rfyXgy,,,，，jjjjjjjjiiii，，，，,,,,,，，iiii,，，,,,,,,,,,11111jjjji,,,,,1i220,eeer,，,,，， mmk
,uhxuhyfyXgyr0,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,jjjjiiii，，111jji,,,
先化简，在利用指数函数的单调性，可得:
mkm
uhxfyXgyuhy,,，,，，. (5.3) ，，，，，，，，,,,jjiiiijj，，,,,111jij
m
xD,uhy,0又因为，，则、和，,,,uyW,hx,0uuuu,,,,,0，，，，，，，，,3jj3j12mj,1
mm
uhx,0uhy,0所以可得:和，则有: ，，，，,,jjjjjj,1,1
k
,fyXgy,,0.，， ，，，，,iiii，，i,1
这与(5.1)式矛盾。所以。 fxfy,，，，，
km
,fXg,uh注5.1.1在上述定理的条件下，当和只要有一个是在点y，，,,iiiijji,1j,1
处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则有成立。 ,fxfy,b，，，，
xD,x定理5.1.2 假设和分别是(FP)和(MFD)的可行解(即，,,,uy，，3
kkm
,,1,fXguh,，)，，当时，有，在点xy,y,,,uyW,bxy,0,，，，，，，,,,iiiiijj1i,1ij,,11
处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 ,fxfy,b，，，，证明:利用反证法进行证明。假设，即 fxfy,，，，，
fxgxfygyik,,1,2,,,，，，，，，，，iiii
再由于，可得: gyik,,01,2,,，，，，i
fyXgyik,,,01,2,,,，，，，iii
39
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
k
,,1又由于，则有: ,ii,1
k
,，，fyXgy,,0. (5.4) ，，，，,iiii，，,1i
由于，则有 ,,,uyW,，，3
kkm
,,,,,，,,fyXgyugy0. (5.5) ，，，，，，,,,iiiiijj,,,111iij
km
,fXguh,，再由于在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不y,b，，,,iiiijjij,,11
变凸函数，根据其定义、(5.5)式和，可以得到: bxy,0,，，
kkmm,,,,,,rfxXgxfyXgyuhxuhy,,，，，，,,,，,，，，，，，，，，，，，iiiiiiiijjjj,,,,，，，，,,1,,,,,,1111iijj,,er时100,,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxXgxfyXgyuhxuhyr时00,,,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，1111iijj,,,,
即
kkmm
,,，，，，fxXgxfyXgyuhxuhy,,,，,,0, ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，,,,,1111iijj
k
,fxXgx,,0，，又因为，所以，则有 Xfxgx,，，，，，，，，,iiiiiii，，,1i
mkm
uhxfyXgyuhy,,，,，，. (5.6) ，，，，，，，，,,,jjiiiijj，，,,,111jij
m
xD,uhy,0又因为，，则、和，,,,uyW,hx,0uuuu,,,,,0，，，，，，，，,3jj3j12mj,1
mm
uhx,0uhy,0所以，，则(5.6)式可化为: ，，，，,,jjjjjj,1,1
k
,fyXgy,,0.，， ，，，，,iiii，，i,1
这与(5.4)式矛盾。所以。 fxLyu,,，，，，
km
,fXguh,，注5.1.2在上述定理的条件下，当在点处关于某向量函y，，,,iiiijjij,,11
40
2010届数学与应用数学专业毕业论文 数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则有成立。 ,fxfy,b，，，，
5.1.3 多目标分式规划下Wolfe型对偶的弱对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标分式规划问题的Wolfe型对偶问题的弱对偶定理，并给予证明。
xD,x定理5.1.3假设和分别是(FP)和(WFD)的可行解(即，,,,uy，，3
kk
,,1,fXg,)，，当时，有，对，有和xy,,,,uyW,bxy,0,,,r0，，，，，，,,iiiii4i,1i,1m
uh在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 y,fxLyu,,b，，，，,jjj,1
证明:利用反证法进行证明。假设，即 fxLyu,,，，，，
mhyfxfy，，，，，，jii ,，,1,2,,,uik,jgxgygy，，，，，，,1jiii
又由于，则有 gyik,,01,2,,，，，，i
m
fyXgyuhyik,，,,0,1,2,,, ，，，，，，,iiijj,1j
k
,,1又由于，可得: ,ii,1
km
,，，fyXgyuhy,，,0. (5.7) ，，，，，，,,iiiijj，，,,11ij
由于，则有 ,,,uyW,，，4
kkm
,,,,,，,,fyXgyugy0. (5.8) ，，，，，，,,,iiiiijj,,,111iij
km
,fXg,uh再由于和在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不y,b，，,,iiiijji,1j,1
变凸函数，根据其定义、(5.8)式和，可以得到: bxy,0,，，
41
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
mm,,kk,,,,,,ruhxuhy,，，，，rfxXgxfyXgy,,,,,,,，，，，，，，，，，，，jjjj,,iiiiiiii,,，，，，,,,,1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxXgxfyXgyuhxuhyr00,,,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，1111iijj,,,,
kfx，，i,fxXgx,,0，，又因为，所以有，则有 X,，，，，,iiiii，，gx，，,1ii
mm,,k,,,,ruhxuhy,，，，，,,rfyXgy,，，jjjj，，，，,,iiii,，，,,1,,,,11jj,,,1ieer200,，,,,，，,,r,, ,,
mmk
,uhxuhyfyXgyr0,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,jjjjiiii，，111jji,,,
又对上式利用均值不等式可以得到:
mmmmk,,,,k,,,,ruhxuhyruhxuhyrfyXgy,,,,,，，，，，，，，，，，，，，rfyXgy,,,，，jjjjjjjjiiii，，，，,,,,,，，iiii,，，,,,,,,,,,11111jjjji,,,,,1i220,eeer,，,,，， mmk
,uhxuhyfyXgyr0,,,,,，，，，，，，，，，，，,,,jjjjiiii，，111jji,,,
先化简，在利用指数函数的单调性，可得:
mkm
uhxfyXgyuhy,,，,，，. (5.9) ，，，，，，，，,,,jjiiiijj，，,,,111jij
m
xD,uhx,0又因为，则和，所以，则有 hx,0uuuu,,,,,0，，，，，，,3jjj12mj,1
km
,，，fyXgyuhy,，,0. ，，，，，，,,iiiijj，，,,11ij
这与(5.7)式矛盾。所以。 fxLyu,,，，，，
km
,fXg,uh注5.1.3在上述定理的条件下，当和只要有一个在点处y，，,,iiiijji,1j,1
关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则有。 ,fxLyu,,b，，，，
[8]x定理5.1.4 假设和分别是(FP)和(WFD)的可行解(即，,,,uyxD,，，
kkm
,,1,fXguh,，)，，在点处关于某向量函数和函数y,,,uyW,,b，，，，,,,iiiiijj2i,1ij,,11
的严格B-(p,r)-不变凸函数，则。 fxLyu,,，，，，
42
2010届数学与应用数学专业毕业论文
[8]定理5.1.5 假设x和分别是(FP)和(WFD)的可行解(即，,,,uyxD,，，
kkm
,,1)，，当时，有，,fXguh,，在点xy,y,,,uyW,bxy,0,，，，，，，,,,iiiiijj2i,1ij,,11
处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 ,fxLyu,,b，，，，
5.2 多目标分式规划问题的对偶问题的强对偶
在这一节里，我们分别给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Mond-Weir对偶问题和Wolfe型对偶问题的强对偶定理。
5.2.1 多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶的强对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶问题的强对偶定理，并给予证明。
,定理5.2.1 设是(FP)的有效解，是(MFD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，3kk,,fXg,,,1，当时，有，对，有在点处关于某xy,ybxy,0,,,r0，，，，,,iiiiii,i1,1
m
uh向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数y,b,jjj,1
,,,,,,,,和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，,b，，，，12k12k,,,,,,,0u,，使得,,,ux是(MFD)的有效解。 ，，，，
,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0证明:由引理5.1.1可知，，，，，，12k12k,,,,,,,0u,,,,ux，使得结论成立，可知是(MFD)的可行解。又由注5.1.1ab，，，，，，，，
,,,,fxfy,,,,ux可知，对(MFD)的可行解有，所以由定义2.1.5可知，,,,uy，，，，，，，，是(MFD)的有效解。
由上面的定理很容易得到下面的推论。
,推论5.2.1 设x是(FP)的有效解，是(MFD)的可行解(即)，,,,uy,,,uyW,，，，，3kk,,,1,fXg,，当时，有，对，有在点处关于某xy,bxy,0,y,,r0，，，，,,iiiiii,i1,1
43
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
m
uh向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和y,,b,jjj,1
,,,,,,,,函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则，，，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0b，，，，12k12k,,,,,，使得是(MFD)的有效解。 ,,0u,,,,ux，，，，
km,,fXg,uh注5.2.1在上述定理的条件下，当和都在点处关于某向y，，,,iiiijj,i1j,1
,,,量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到是(MFD)的有,,,ux,b，，效解。
,定理5.2.2 设是(FP)的有效解，是(MFD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，3kkm,,,1,fXguh,，，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-y,b，，,,,iiiiijji,1ij11,,
,,,,,,,,,,不变凸函数，则，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，,,0u,，使得，，，，，，12k12k
,,,,,,ux是(MFD)的有效解。 ，，
,,,,,,,,证明:由引理5.1.1可知，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，，，，，12k12k,,,,,,,0u,,,,ux，使得结论成立，可知是(MFD)的可行解。又由注5.1.2ab，，，，，，，，
,,,,可知，对(MFD)的可行解有fxfy,，所以由定义2.1.5可知，,,,ux,,,uy，，，，，，，，是(MFD)的有效解。
5.2.2 多目标分式规划下Wolfe型对偶的强对偶
下面我们就具体地给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Wolfe型对偶问题的强对偶定理，并给予证明。
,定理5.2.3 设是(FP)的有效解，是(WFD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，4kk,,fXg,,,1，当时，有，对，有在点处关于某xy,ybxy,0,,,r0，，，，,,iiiiii,i1,1
m
uh向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数， 在点处关于同一向量函数y,b,jjj,1
,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则，，,b，，，，12k12k
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
,,,,,，使得是(WFD)的有效解。 ,,0u,,,,ux，，，，
,,,,,,,,证明:由引理5.1.1可知，，，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0，，，，12k12k,,,,,，使得结论、成立，从而可知是(WFD)的可行解。由注,,0u,,,,uxab，，，，，，，，
,5.1.3可知对(WFD)的任意可行解，有。再联合可得: fxLyu,,,,,uyb，，，，，，，，
,,mmfxhxhy，，，，fy，，，，ijji,，,，,,1,2,,,uuik ,,jj,,gygy，，，，gxgx11，，jj，，,,iiii
,,,,,即，所以，由定义2.1.5可得是(WFD)的有效解。 LxuLyu,,,,,,ux，，，，，，
由上面的定理很容易得到下面的推论。
,推论5.2.2 设是(FP)的有效解，是(WFD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，4kk,,fXg,,,1，当时，有，对，有在点处关于某xy,bxy,0,y,,r0，，，，,,iiiiii,i1,1
m
uh向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和,y,b,jjj,1
,,,,,,,,函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，b，，，，12k12k,,,,,,,0u,,,,ux，使得是(WFD)的有效解。 ，，，，
km,,fXg,uh注5.2.2 在上述定理的条件下，当和都在点处关于某向y，，,,iiiijj,i1j,1
,,,,,,ux量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得出是(WFD)的有,b，，效解。
[8],定理5.2.4 设是(FP)的有效解，是(WFD)的可行解(即)，x,,,uy,,,uyW,，，，，4kkm,,,1,fXguh,，，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-y,b，，,,,iiiiijji,1ij11,,
,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,不变凸函数，则，，，使得，，，，，，12k12k
,,,,,,ux是(WFD)的有效解。 ，，
5.3 多目标分式规划对偶问题的严格对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
45
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用 目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的严格对偶定理。
k,,,,,,1定理5.3.1 设和分别为(FP)和(MFD)(或(WFD))的有效解，，,,,uyx，，,ii,1
k,,,,,,fXg,xy,y对，，有，对，有在点处关于某向bxy,0,,,xX,,r0，，，，,iiiii,1
m,,yuh量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函,,b,jj,j1
,,xy,数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则。 b
,,,xy,证明:利用反证法进行证明。假设。因为为(FP)的有效解，则根据推论x
，，，使5.2.1(或推论5.2.2)可知,，,,,,,,,,,0,,0u,uuuu,,,,,0，，，，，，12k12m
,得,,,ux为(MFD)(或(WFD))的有效解。 ，，
,,,又因为为(MFD)(或(WFD))的有效解，则: ,,,uy，，
,,fxfy,, (5.10) ，，，，
kkm,,,,,,,,,,,,，,,fyXgyuhy0. (5.11) ，，，，，，,,,iiiiiii111,,,iij
,,,,,又由于和,,,uy分别为(FP)和(MFD)(或(WFD))的有效解，则和xx，，
m,,,,,uhx,0,,,uy分别为(FP)和(MFD)(或(WFD))的可行解，有和，，，，,jjj,1m,,,,uhy,0bxy,0,，再由，可得: ，，，，,jjj,1
mm,,,,,,,,,,ruhxuhy()(),jjjj,,,,1,,,,11jj,,,,bxyer,100,,,,，，，，,,r,, (5.12) ,,
mm,,,,,,,,bxyuhxuhyr,()()00.,,,，，，，,,,,jjjjjj,,11,,
m,,yuh又因为在点处关于向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，根,b,jj,j1
据其定义和(5.11)(5.12)式，可得:
46
2010届数学与应用数学专业毕业论文
kk,,,,pxy1，，，，,,,,,,,,,fyXgyeIp,,,,,,00,，，，，，，,,,,iiiii,,,,p,,，，ii11 (5.13) kk，，,,,,,,,fyXgyxyp,,,,,,00.，，，，，，，，,,,,,iiiii,,，，,,11ii
,,,,,又由(5.10)式，和，可得 fxfy,Xfxgxik,,1,2,,，，，，，，，，，，iii
kk,,,,,,,,，，，，,,fxXgxfyXgy,,,,0, ，，，，，，，，,,iiiiiiii，，，，11,,ii
所以有
kk,,,,,,,,,,,,，，，，rfxXgxfyXgy,,,,,,,，，，，，，，，iiiiiiii,,,,，，，，1,,ii,,11,,er,,,10(0),,,r,, (5.14) kk,,,,,,,,，，，，,,fxXgxfyXgyr0(0).,,,,,，，，，，，，，,,iiiiiiii，，，，ii,,11
k,,,,fXg,y又因为在点处关于向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，,b，，,iiiii,1
根据其定义和(5.14)式，可得:
kk,,,,pxy1，，，，,,,,,,,,,fyXgyeIp,,,,,,00,，，，，，，,,,,iiiii,,p,,,,11ii，，
kk ，，,,,,,,,fyXgyxyp,,,,,,00.，，，，，，，，,,,,,iiiii,,,,11ii，，
,,xy,这与(5.13)式矛盾。所以。
k,,,,,,1,,,uy推论5.3.1 设和分别为(FP)和(MFD)(或(WFD))的有效解，，x，，,ii,1
k,,,,,,fXg,xy,ybxy,0,，，有，对，有在点处关于某向量,,xX,,r0，，，，,iiiii,1
m,,yuh函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和,,b,jj,j1
,,xy,函数的B-(p,r)-不变凸函数，则。 b
km,,fXg,uh注5.3.1在上述定理的条件下，当和都在点处关于某向y，，,,iiiijj,i1j,1
,,xy,量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到。 ,b
47
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
k,,,,,,1定理5.3.2 设和分别为(FP)和(MFD)(或(WFD))的有效解，，,,,uyx，，,ii,1
km,,,,y,fXguh,，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸,b，，,,iiiijj,,ij11
,,xy,函数，则。
,,,xy,证明:利用反证法进行证明。假设。因为为(FP)的有效解，则根据定理x5.2.2(或定理5.2.4)可知,，，，使，,,,,,,,,,0,,0u,uuuu,,,,,0，，，，，，12k12m
,为(MFD)(或(WFD))的有效解。 得,,,ux，，
,,,又因为为(MFD)(或(WFD))的有效解，则有下面结论: ,,,uy，，
,, (5.15) fxfy,,，，，，
kkm,,,,,,,,,,,,，,,fyXgyuhy0, (5.16) ，，，，，，,,,iiiiiji111,,,iij
m,,uhy,0. (5.17) ，，,jj1,j
,,,又因为Xfxgxik,,1,2,,，所以(5.15)式可化为: ，，，，，，iii
kk,,,,,,,,，，，，,,fxXgxfyXgy,,,,0. (5.18) ，，，，，，，，,,iiiiiiii，，，，11,,ii
km,,,,y,fXguh,，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不,b，，,,iiiijj,,ij11
变凸函数，根据其定义和(5.16)(5.18)式，可得:
mm,,,,,,,,,,ruhxuhy,，，，，jjjj,,,,1,,,,11jj,,,,bxyer,100,,,,，，，，,,r,, ,,
mm,,,,,,,,bxyuhxuhyr,00,,,,，，，，，，，，,,,,jjjj11jj,,,,
即
mm,,,,uhxuhy,, ，，，，,,jjjjjj,,11
再结合(5.17)式，可得
m,,uhx,0. (5.19) ，，,jjj,1
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
,,再由于为(FP)的有效解，则为(FP)的可行解，有 xx
m,,uhx,0. ，，,jjj,1
,,xy,这与(5.19)式矛盾。所以。
5.4 多目标分式规划对偶问题的逆对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多
目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的逆对偶定理。
k,,,,,,1xy,定理5.4.1 设,,,uy为(MFD)(或(WFD))的有效解。，，，,,xX，，,ii,1
k,,,,,fXg,y有bxy,0,，对，有在点处关于某向量函数和函数的,,r0,b，，，，,iiiii,1
m,,uhyB-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不,b,jj,j1
,y变凸函数，则为(FP)的有效解。
,,y证明:利用反证法进行证明。假设不是(FP)的有效解，则设为(FP)的有效解，x,,,,,,xy,,,,uy则。又因为为(FP)的有效解，为(MFD)(或(WFD))的有效解，x，，
km,,,,,fXg,yuh在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，,b，，,,iiiijji,1,j1,y在点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则根据定理5.3.1,b
,,,,,xy,xy,y可知，，这与矛盾。所以为(FP)的有效解。
k,,,,,,1xy,,,,uy推论5.4.1设为(MFD)(或(WFD))的有效解。，，，,,xX，，,ii,1
k,,,,,fXg,ybxy,0,有，对，有在点处关于某向量函数和函数的,,r0,b，，，，,iiiii,1
m,,uhy严格B-(p,r)-不变凸函数和在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不,b,jj,j1
49
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,y变凸函数，则为(FP)的有效解。
km,,fXg,注5.4.1在上述定理的条件下，当和uh都在点处关于某向y，，,,iiiijj,i1j,1
,y量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也可以得到为(FP)的有效解。 ,b
k,,,,,1定理5.4.2 设为(MFD)(或(WFD))的有效解。，,,,uy，，,ii,1km,,,,y,fXguh,，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸,b，，,,iiiijj,,ij11
,y函数，则为(FP)的有效解。
,,y证明:利用反证法进行证明。假设不是(FP)的有效解，则设为(FP)的有效解，x,,,,,,xy,则。又因为为(FP)的有效解，,,,uy为(MFD)(或(WFD))的有效解，x，，
km,,,,y,fXguh,，在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸,b，，,,iiiijj,,ij11
,,,,,xy,xy,y函数，则根据定理5.3.2可知，，这与矛盾。所以为(FP)的有效解。
5.5 多目标分式规划对偶问题的严格逆对偶
在这一节里，我们给出了目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的Mond-Weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的严格逆对偶定理。
x定理5.5.1 设和分别是(FP)和(MFD)(或(WFD))的可行解，且,,,uy，，
kkm
,,1,，，fyXgyuhy,，,0，，当时，有，对，xy,bxy,0,,,r0，，，，，，，，,,,iiiiijj，，i,1ij,,11
k
,fXg,有是在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数和y,b，，,iiiii,1
m
uh是在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则: y,b,jjj,1
x(1);(2)为(FP)的有效解; xy,
50
2010届数学与应用数学专业毕业论文
,,,,,,,,,,,,(3)，，，使得是，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,,,,uy，，，，，，，，12k12k
(MFD)(或(WFD))的有效解。
x证明:1)利用反证法进行证明。假设。因为和分别是(FP)和xy,,,,uy，，
(MFD)(或(WFD))的可行解，所以有:
m
uhx,0, (5.20) ，，,jjj,1
kkm
,,,,,，,,fyXgyugy0. (5.21) ，，，，，，,,,iiiiijj,,,111iij
k
,fXg,又因为是在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变y,b，，,iiiii,1
m
uh凸函数，是在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，根据y,b,jjj,1
其定义，(5.21)式和时，有，可得: xy,bxy,0,，，
mm,,kk,,,,,,ruhxuhy,，，，，,,rfxXgxfyXgy,,,,,，，，，，，，，，，，，jjjj,,iiiiiiii,,，，，，,,,,1,,jj,,11ii,,11,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm
,,fxXgxfyXgyuhxuhyr00,，，，，,,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，1111iijj,,,,
对上式利用均值不等式可以得到:
mm,,kk,,,,ruhxuhy,，，，，rfxXgxfyXgy,,,,,,,，，，，，，，，，，，，jjjj,,iiiiiiii,,，，，，,,,,jj,,11ii,,11,,,,02,，,eer,0,，，kkmm,,,,rfxXgxfyXgyuhxuhy,,,，,，，，，，，，，，，，，，，，，iiiiiiiijjjj,,,,,,，，，， ,,iijj,,,,1111,,22e,,
kmkm,,，，fyXgyuhyr,，,0,fxXgxuhx,，,，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，ij,,11ij,,11
先化简，再利用指数函数的单调性，可得: kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy,，,,，.(5.22) ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
X结合(5.20)(5.22)式和的定义，可得: i
km
,，，fyXgyuhy,，,0. ，，，，，，,,iiiijj，，,,11ij
51
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
km
,，，fyXgyuhy,，,0这与已知条件矛盾。所以。 xy,，，，，，，,,iiiijj，，ij,,11
x2)假设不是(FP)的有效解。由定义2.1.5知，存在(FP)的可行解，使x'
，即有: fxfx',，，，，
fxfx'，，，，ii ,,ik1,2,,,gxgx'，，，，ii
fxXgxik''01,2,,,,,,，，，，iii
即
k
,fxXgx''0.,,，， (5.23) ，，，，,iiii，，,1i
同1)中方法，可得知:
m
uhx'0,, (5.24) ，，,jjj,1
kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy'''.,，,,，(5.25) ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
km
,，，fyXgyuhy,，,0再由(5.23)(5.24)式和已知条件，可得: ，，，，，，,,iiiijj，，ij,,11kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy'''0.,，,,,， ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
x这与(5.25)式矛盾。所以是(FP)的有效解。
,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,03)根据定理5.2.1(或定理5.2.3)可知，，，，，，12k12k
,,,,,,0u,，使,,,uy是(MFD)(或(WFD))的有效解。 ，，，，
x推论5.5.1 设和分别是(FP)和(MFD)(或(WFD))的可行解，且,,,uy，，
kkm
,,1,，，fyXgyuhy,，,0，，当时，有，对，xy,bxy,0,,,r0，，，，，，，，,,,iiiiijj，，i,1ij,,11
k
,fXg,有是在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和y,b，，,iiiii,1
m
uh是在点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则: y,b,jjj,1
x(1);(2)为(FP)的有效解; xy,
52
2010届数学与应用数学专业毕业论文
,,,,,,,,,,,,(3)，，，使得是，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,,,,uy，，，，，，，，12k12k(MFD)(或(WFD))的有效解。
km
,fXg,uh注5.5.1在上述定理的条件下，当和都是在点处关于某y，，,,iiiijji,1j,1
x向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数时，也有，为(FP)的有效解，和xy,,b
,,,,,,,,,,,,，，，使得是，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,0,,0u,,,,uy，，，，，，，，12k12k(MFD)(或(WFD))的有效解。
x和分别是(FP)和(MFD)(或(WFD))的可行解，且定理5.5.2 设,,,uy，，
kkmkm
,,1,，，fyXgyuhy,，,0,fXguh,，，，是在点y，，，，，，，，,,,,,iiiiijjiiiijj，，i,1ij,,11ij,,11处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则: ,b
x(1);(2)为(FP)的有效解; xy,
,,,,,,,,,,,,(3)，,,,,,,,,,0，uuuu,,,,,0，,,0u,，使得,,,uy是，，，，，，，，12k12k(MFD)(或(WFD))的有效解。
x证明:1)利用反证法进行证明。假设。因为和分别是(FP)和xy,,,,uy，，
(MFD)(或(WFD))的可行解，所以有:
m
uhx,0, (5.26) ，，,jjj,1
kkm
,,,,,，,,fyXgyugy0. (5.27) ，，，，，，,,,iiiiijj,,,111iij
km
,fXguh,，又因为是在点处关于某向量函数和函数的严格y,b，，,,iiiijjij,,11
B-(p,r)-不变凸函数，根据其定义，(5.27)式和，可得: bxy,0,，，
kmkm,,,,,,rfxXgxuhxfyXgyuhy,,，，，，,，,,,，，，，，，，，，，，，iiiijjiiiijj,,,,，，，，,,1,,,,,,1111ijij,,er时100,,,,，，,,r,, ,,
kmkm
,,fxXgxuhxfyXgyuhyr时00,,，,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，1111ijij,,,,
即
53
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy,，,,，. (5.28) ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
X结合(5.26)(5.28)式和的定义，可得: i
km
,，，fyXgyuhy,，,0. ，，，，，，,,iiiijj，，,,11ij
km
,，，fyXgyuhy,，,0这与已知条件矛盾。所以。 xy,，，，，，，,,iiiijj，，ij,,11
x2)假设不是(FP)的有效解。
定义2.1.5知，存在(FP)的可行解，使，即有: 由fxfx',x'，，，，
fxgxfxgxik''1,2,,,,,，，，，，，，，iiii
fxXgxik''01,2,,,,,,，，，，iii
即
k
,，，fxXgx''0.,, (5.29) ，，，，,iiii，，,1i
同1)中方法，可得知:
m
uhx'0,, (5.30) ，，,jjj,1kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy'''.,，,,，(5.31) ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
km
,，，fyXgyuhy,，,0再由(5.29)(5.30)式和已知条件，可得 ，，，，，，,,iiiijj，，ij,,11kmkm
,,，，，，fxXgxuhxfyXgyuhy'''0.,，,,,， ，，，，，，，，，，，，,,,,iiiijjiiiijj，，，，,,,,1111ijij
x这与(5.31)式矛盾。所以是(FP)的有效解。
,,,,,,,,，,,,,,,,,,0uuuu,,,,,03)根据定理5.2.2(或定理5.2.4)可知，，，，，，12k12k
,,,,,,0u,,,,uy，使是(MFD)(或(WFD))的有效解。 ，，，，
54
2010届数学与应用数学专业毕业论文
第六章 B-(p,r)-不变凸函数
下的多目标分式规划问题的鞍点问题
2008年，焦合华在文献[10]中介绍了一个广义Lagrange向量函数，并利Lxu,，，用B-(p,r)-不变凸函数讨论了多目标分式规划问题的鞍点最优性条件。
在这一章中，我们对文献[10]中的广义Lagrange向量函数，在B-(p,r)-不Lxu,，，
,分式规划鞍点问题作进一步研究，得出在为(FP)的有效解变凸函数条件下的多目标x
x和为(FP)的可行解时，在目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下广义Lagrange向量函数的一些定理。 Lxu,，，
6.1 多目标分式规划问题的鞍点问题的基本知识
在这一节中，我们首先回顾文献[10]中引出的在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题(FP)，广义Lagrange向量函数的定义和一些基本引理。 Lxu,，，
对于B-(p,r)-不变凸函数下的对于多目标分式规划问题:
,min,,,,fxfxgxfxgxfxgx,，，，，，，，，，，，，，，，，1122kk,,sthxjm..0,1,2,,,,,(FP) ，，,j
,xX,.,,
nXR,其中，非空开集，和都是XfgXRik,:1,2,,,,hXRjm:1,2,,,,，，，，iij
上的可微函数，。记(FP)的可行域为: gxik,,01,2,,，，，，i
DxXhxjm,,,,{:0,1,2,,}.，，4j
[10]多目标分式规划问题(FP)的广义Lagrange向量函数的定义: Lxu,，，
LxuLxuLxuLxu,,,,,,,,,，，，，，，，，，，12k
mhxfx，，，，ji其中，，，。 ,,，ik,1,2,,uuuu,,,,,0xX,Lxuu，，，，，，,12mijgxgx，，，，,1jii
,mm[10],,,,uR,,,uRLxuLxu,,,,定义6.1.1 设，xX,，若，。有 ,,xX，，，，，，
,,,Lxu,xu,，则称为的鞍点。 Lxu,，，，，，，
下面我们来介绍几个引理，这些引理对研究目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的鞍点问题中有重要的作用。
55
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
[10],,,,引理6.1.1 设是(FP)的有效解，则Xfxgxik,,1,2,,x，，，，，，iii
，，使得下列结论成立: ，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0,,,0,，，，，，，12k12m
kkmm,,,,,afxXgxhx,,,,,,，,,0bhx,,0;。 ，，，，，，，，，，，，,,,,jjiiiiijjj,1111,,,iij
[10],,,,引理6.1.2 设是(FP)的有效解，，且 Xfxgxik,,1,2,,xhx，，，，，，，，iiij
满足K-T约束规格。则，使jm,1,2,,，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，，，12k12m得下列结论成立:
kkmm,,,,,afxXgxhx,,,,,,，,,0bhx,,0;。 ，，，，，，，，，，，，,,,,jjiiiiijjj,1111,,,iij
6.2 多目标分式规划问题的鞍点问题的基本定理
在这一节里，我们将讨论目标函数和约束函数在B-(p,r)-不变凸函数条件下的多目标分式规划问题的鞍点问题的一些基本定理。
[10],,,,定理6.2.1 若xu,gxik,,01,2,,为的鞍点，且，则为(FP)xLxu,，，，，，，，，i
m,,uhx,0的有效解，且。 ，，,jjj,1
,,,,Xfxgxik,,1,2,,定理6.2.2 设为(FP)的有效解，，且对引理x，，，，，，iii
k,,,,fXg,6.1.1中的bxx,0,，，，当时，，对，有xx,,,,,xX,,r0，，，，,iiii,i1
m,,,,h,xx,bxx,和都在x点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函，，，，,jjj,1
,,,,,,，,,uuuu,,,0xu,数，则，使为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,证明:因为x为(FP)的有效解，则有引理6.1.1可知，，，,,,,,,,,,0，，12k
，,使得成立。 ,,,,,,,,,0,,,0,ab，，，，，，，，12m
km,,,,fXg,,h,xx,由于和都在x点处关于某向量函数和函数，，，，,,iiiijj,i1j,1
,,bxx,bxx,0,的严格B-(p,r)-不变凸函数，根据其定义、条件和，对a，，，，，，
56
2010届数学与应用数学专业毕业论文
,可以得到: ,,,xDxx，，
mm,,kk,,,,,,,,,,,，，，，rhxhx,,,，，rfxXgxfxXgx,,,,,,,，，，，，，jjjj,,，，，，iiiiiiii,,，，,,,,，，1,,,,11jj,,11ii,,,,eer200,，,,,，，,,r,, ,,
kkmm,,,,,，，，，,,,,fxXgxfxXgxhxhxr00,,,,，,,,，，，，，，，，，，，，，，,,,,iiiiiiiijjjj，，，，1111iijj,,,,
,,,又因为和条件，则有 Xfxgxik,,1,2,,b，，，，，，，，iii
mk,,,，，rhx,，，rfxXgx,,，，，，jj,iiii,，，1j,1i,1,,eer200,，,,,，，,,r ,,
km,，，,,fxXgxhxr,，,,00,，，，，，，，，,,iiiijj，，ij,,11
对上式利用均值不等式可以得到:
mkmk,,，，，，rhxrfxXgxrhx,,,,，，，，，，，，，rfxXgx,,，，，，jjiiiijj,,,iiii,，，，，jij,,,111i,1220,,，,,eeer，， km,，，,,fxXgxhxr00,,，,,，，，，，，，，,,iiiijj，，11ij,,
先化简，再利用指数函数的单调性，可得:
km,，，,,fxXgxhx,，,0. (6.1) ，，，，，，,,iiiijj，，11,,ij
xD,又因为，则。由(6.1)式可知，可令hx,0,,,,,,,,,0，，，，4j12k
k,ujm,,,,1,2,,。 ,jji1i,
,,,,,,LxuLxu,,,LxuLxu,,,1)若，即必存在，，，而1,,tkt，，，，，，，，tt
,,,,,XLxuLxu,,,，，。利用条件，的定义和的定义有 bu1,,rkrt,，，，，，，irrj
m，，1,,,,, LxuLxuXgxfxuhx,,0,,,,,,，，，，，，，，，，,,,tttttjjgx，，1,jt，，
m，，1,,,,, LxuLxuXgxfxuhx,,0,,,,,,，，，，，，，，，，,,,rrrrrjjgx，，1,jr，，
又由于，所以 gxik,,01,2,,，，，，i
m,,Xgxfxuhx,,,0, ，，，，，，,tttjj1,j
57
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
m,,Xgxfxuhx,,,0, ，，，，，，,rrrjjj,1
,又由，，和的定义，可得 ,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0,,,0,u，，，，，，12k12mj
km,，，,,fxXgxhx,，,0. ，，，，，，,,iiiijj，，11,,ij
,,,这与(6.1)式矛盾。所以。 LxuLxu,,,，，，，
mmkm,,,,m,,uRuhxhxuhx,,,0,,2)因为，，所以有 ，，，，，，,,,,，jjjjijj1111,,,,jjij
,,,,mmfxhxfxhx，，，，，，，，ijij,，,，,uu ,,jj,,,,gxgxgxgx11jj,,，，，，，，，，iiii
,,,,,,即LxuLxuik,,1,2,,,,。所以LxuLxu,,,。 ，，，，，，，，ii
,,综合1)2)可得xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，
由上面的定理我们可以很容易的得到下面的推论。
,,,,推论6.2.1 设为(FP)的有效解，Xfxgxik,,1,2,,，且对引理x，，，，，，iii
k,,,,fXg,6.1.1中的，，，当时，bxx,0,，对，有xx,,,,,xX,,r0，，，，,iiii,i1
m,,,,h在点处关于某向量函数,xx,和函数bxx,的严格B-(p,r)-不变凸函数和x，，，，,jjj,1
,,,,xx,bxx,在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则x，，，，
,,,,,,，,,uuuu,,,0xu,，使为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,,,,Xfxgxik,,1,2,,推论6.2.2 设为(FP)的有效解，，且对引理x，，，，，，iii
k,,,,fXg,bxx,0,6.1.1中的，，，当时，，对，有xx,,,,,xX,,r0，，，，,iiii,i1
m,,,,,h,xx,bxx,在x点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数和在x，，，，,jjj,1
,,,xx,bxx,点处关于同一向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，则，，，，
,,,,,,，,,uuuu,,,0xu,，使为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,,,,Xfxgxik,,1,2,,定理6.2.3 设x为(FP)的有效解，，且 hx，，，，，，，，iiij
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2010届数学与应用数学专业毕业论文
,满足K-T约束规格，对引理6.1.2中的，，，当时，xx,,jm,1,2,,,,,xX，，
km,,,,,fXg,，对，有和,h在点处关于某向量函数bxx,0,,xx,x,,r0，，，，，，,,iiiijj,i1j,1
,,,,,,,和函数的B-(p,r)-不变凸函数，则，使为的bxx,，,,uuuu,,,0xu,Lxu,，，，，，，，，12m
鞍点。
,为(FP)的有效解，则有引理6.1.2可知，，证明:因为x，,,,,,,,,,0，，12k
，使得、成立。 ,,,,,,,,,0ab，，，，，，12m
类似于定理6.2.2的证明，可得
km,，，,,fxXgxhx,，,0. (6.2) ，，，，，，,,iiiijj，，11,,ij
k,ujm,,,,1,2,,由已知，可令。 ,,,,,,,,,0，，,jji12ki,1,,,1)若，类似于定理6.2.2的证明，可得 LxuLxu,,,，，，，
m,,Xgxfxuhx,,,0, ，，，，，，,tttjj1,j
m,,Xgxfxuhx,,,0，，1,,,rk rt,，，，，，，,rrrjj1,j
,又由，和的定义，可得 ,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0u，，，，12k12mj
km,，，,,fxXgxhx,，,0. ，，，，，，,,iiiijj，，11,,ij
,,,LxuLxu,,,这与(6.2)式矛盾。所以。 ，，，，
,,,LxuLxu,,,2)类似于定理6.2.2的证明，同理可得。 ，，，，
,,xu,综合1)2)可得为的鞍点。 Lxu,，，，，
[10],,,,Xfxgxik,,1,2,,定理6.2.4 设为(FP)的有效解，，且对引x，，，，，，iii
km,,,,,fXgh,，,xx,理6.1.1中的，，在x点处关于某向量函数和函,,，，，，,,iiiijj,,ij11
,,,bxx,bxx,0,数的严格B-(p,r)-不变凸函数，，当xx,时，，则,,xX，，，，
,,,,,,，,,uuuu,,,0xu,，使为的鞍点。 Lxu,，，，，，，12m
,,,[10],Xfxgxik,,1,2,,定理6.2.5 设x为(FP)的有效解，，且 hx，，，，，，，，iiij
59
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
km,,,fXgh,，满足K-T约束规格，对引理6,1.2中的，，,jm,1,2,,,，，，，,,iiiijj,,ij11
,,,在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，，当,xx,bxx,x,,xX，，，，
,,,,,,,,时，，则，使为的鞍点。 bxx,0,，,,uuuu,,,0xu,xx,Lxu,，，，，，，，，12m
,定理6.2.6 设为(FP)的可行解，若，，使x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
,,得引理6.1.1中成立，且，当时，有，对，有bxx,0,xx,ab,,xX,,r0，，，，，，
mk,,,,,fXg,,h和在点处关于向量函数和函数的严格B-(p,r)-,xx,bxx,x，，，，，，,,jjiiii,i1j,1
kkk,,,,,,,不变凸函数，则为(FP)的有效解，且对，x,,,uuuu,,,,,,0,,,,,,，，,,,miimi1212,,iii,,,111,,,,xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，
,,证明:1)先证为(FP)的有效解。对(FP)的任意可行解xxx,，由定理6.2.2x，，
可得:
km,，，,,fxXgxhx,，,0, ，，，，，，,,iiiijj，，11,,ij
x又因为为(FP)的任意可行解，所以有
hx,0jm,1,2,,,，，，，j
从而可得
kkm,,，，，，,,,fxXgxfxXgxhx,,,，,0. ，，，，，，，，，，,,,iiiiiiiijj，，，，111,,,iij
,Xx再利用的定义，即可知不存在(FP)的任意可行解，使 i
,,,,,fxfxfx,,，，，，，，fxfxfx，，，，，，12k12k,,,,, ,,,,,,,,,yyy,,，，,,12k,,,,,,,gxgxgx，，，，，，gxgxgx，，，，，，12k12k,,,,
,成立。所以为(FP)的有效解。 x
,,xu,2)由定理6.2.2可得:为的鞍点。 Lxu,，，，，
由上面的定理我们可以很容易的得到下面的推论。
,推论6.2.3 设x为(FP)的可行解，若，，，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
,,bxx,0,使得引理6.1.1中成立，，当xx,时，，对，有ab,,xX,,r0，，，，，，
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2010届数学与应用数学专业毕业论文 k,,,,,fXg,在点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变,xx,bxx,x，，，，，，,iiii,i1
m,,,,h凸函数和在点处关于同一向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸,xx,bxx,x，，，，,jjj,1
kkk,,,,,,,函数，则为(FP)的有效解，且对，x,,,uuuu,,,,,,0,,,,,,，，,,,miimi1212,,iii,,,111,,,,为的鞍点。 xu,Lxu,，，，，
,为(FP)的可行解，若，，推论6.2.4 设x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
,,使得引理6.1.1中成立，，当时，，对，有bxx,0,xx,ab,,xX,,r0，，，，，，k,,,,,fXg,在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函,xx,bxx,x，，，，，，,iiii,i1
m,,,,h数和在点处关于某向量函数,xx,和函数bxx,的严格B-(p,r)-不变凸函x，，，，,jjj,1
kkk,,,,,,,数，则为(FP)的有效解，且对，x,,,uuuu,,,,,,0,,,,,,，，,,,miimi1212,,iii,,,111,,,,xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，
,推论6.2.5 设为(FP)的可行解，若，，x，,,,,,,,,,0,,,,,,,,,0，，，，12k12m
,,bxx,0,使得引理6.1.2中成立，，当时，，对，有xx,ab,,xX,,r0，，，，，，km,,,,,fXg,,h,xx,bxx,和都在点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-x，，，，，，,,iiiijj,i1j,1
kkk,,,,,,,不变凸函数，则为(FP)的有效解，且对，x,,,uuuu,,,,,,0,,,,,,，，,,,miimi1212,,iii,,,111,,,,xu,为的鞍点。 Lxu,，，，，
[10],定理6.2.7 设x为(FP)的可行解，若，，,,,,,,,,,0，，12k
km,,,fXgh,，，使得引理6.1.1中成立，且在,,,,,,,,,0ab，，，，，，，，,,iiiijj12m,,ij11
,,,,xx,bxx,x点处关于某向量函数和函数的严格B-(p,r)-不变凸函数，，,,xX，，，，
61
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
,,,,,,,当时，，则为(FP)的有效解，且对 bxx,0,uuuu,,,,,xx,x，，，，12mkkk,,,,，为的鞍点。 xu,Lxu,,,,,,,,,,0,，，，，,,,12iimi,,,,,111iii,,
[10],定理6.2.8 设为(FP)的可行解，若，x，,,,,,,,,,0，，12k
km,,,fXgh,，，使得引理6.1.2中成立，且在,,,,,,,,,0ab，，，，，，，，,,iiiijj12m,,ij11
,,,点处关于某向量函数和函数的B-(p,r)-不变凸函数，，当,xx,bxx,x,,xX，，，，
,,,,,,,时，，则为(FP)的有效解，且对 bxx,0,uuuu,,,,,xx,x，，，，12mkkk,,,,，xu,为的鞍点。 Lxu,,,,,,,,,,0,，，，，,,,12iimi,,,,,111iii,,
62
2010届数学与应用数学专业毕业论文
第七章 总结与展望
凸函数和广义凸函数在数理经济、对策论、工程、管理科学以及在最优化理论中起着非常重要的作用。近几十年来，人们对广义凸函数进行了大量而又深入的研究，且从不同角度和方面加以推广，并将其应用于最优化理论，数理经济等学科中。
本文进一步研究了B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用，讨论了在B-(p,r)-不变凸函数下多目标规划Mond-weir型对偶问题，Wolfe型对偶问题和鞍点问题，以及在B-(p,r)-不变凸函数下多目标分式规划Mond-weir型对偶问题，Wolfe型对偶问题和鞍点问题。
本文得到了在B-(p,r)-不变凸函数下建立了目标函数和约束函数均可微的多目标规划问题(FP)的Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶，以及目标函数和约束函数均可微的多目标分式规划问题(FP)的Mond-weir型对偶问题和Wolfe型对偶问题的弱对偶，强对偶，严格对偶，逆对偶和严格逆对偶，多目标规划问题的鞍点问题的相关性质以及多目标分式规划问题的鞍点问题的相关性质。
B-(p,r)-不变凸函数是一类新的广义凸函数，它即是B-不变凸函数的推广，又是(p,r)-不变凸函数的推广，在本篇论文中的结论具有一般性，推广了许多涉及凸函数，不变凸函数，B-不变凸函数和(p,r)-不变凸函数的文献中关于多目标规划问题和多目标分式规划问题的Mond-weir型对偶，Wolfe型对偶和鞍点问题的结论。
当然在这篇论文也有许多不足的地方。比如，在研究B-(p,r)-不变凸函数的性质的时候，只讨论了一个B-(p,r)-不变凸函数加上一个常数、数乘和倒数以及两个B-(p,r)-不变凸函数的加法的情况，没有讨论两个B-(p,r)-不变凸函数的乘法和除法等的情况;还有在讨论鞍点问题的时候，只讨论了多目标规划问题和多目标分式规划问题的相关性质，没有讨论广义分式规划时候的相关性质，等等。这些将是我以后是一个研究方向。
Tadeusz Antczak在文献[1]同样定义出了一类新的广义凸函数——B-(p,r)-预不变凸函数，给出了B-(p,r)-预不变凸函数和B-(p,r)-不变凸函数之间的一个关系。B-(p,r)-预不变凸函数即是B-预不变凸函数的推广，又是(p,r)-预不变凸函数的推广，则B-(p,r)-预不变凸函数的性质和在Mond-weir型对偶问题、Wolfe型对偶问题以及鞍点问题中应用，也将成为我以后研究的一个方向。
63
万轩:B-(p,r)-不变凸函数的性质和应用
致 谢
近一个学期的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，这也是我在重庆交经过
通大学四年学习中的最后一次作业，因此我倾注了我全部的精力尽力完成好此次毕业设计作业。但作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有彭再云老师和王其林老师的督促和指导，以及同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。
首先要感谢在论文写作过程中给予我精心指导的彭再云老师。彭再云老师渊博的知识、严谨的治学态度、不断创新的科学精神、虚怀若谷的大家风范、一丝不苟的工作作风和无私的奉献精神都影响并激励我，非常感谢彭老师给予我多方面无微不至的关心和帮助。
我还要感谢理学院的领导、老师对我们学院学院学生的培养和照顾，感谢我的父母和姐姐他们对我的理解、支持和关心，还要感谢我的同学，特别是我的同组同学，他们在许多方面给予了我真诚的帮助，他们是我的同学，更是我的朋友。是他们陪我共同经历了四年难忘而美丽的大学时光。
最后我要感谢所有帮助过我的人。
64
2010届数学与应用数学专业毕业论文
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