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二重积分的几种计算方法
二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算。求积的困难主要来自两个方面:一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下:
1) 画出积分区域D的草图;
2) 求交点;
3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算;
4) 选择积分次序;
5) 化二重积分为二次积分;
6) 计算。
一(二重积分的直接计算方法
,所谓连续函数展步在有限封闭可求积二位域内的二重积分乃是指数 fxy(,)
fxydxdyfxyxy(,)lim(,),,,,,ijij,,max0,,xij,max0,,y
其中，而其和为对所有，使的那些值来求的。 ,,,,,,xxxyyy,(x,y),,i,jijiiijjj,,11
若域,有下面的不等式所给出
a,x,b, y(x),y,y(x)12
其中和为闭区间上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的MATCH_
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_1714062663208_0计算 ,,y(x)y(x)a,b12
by(x)2 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dyij,,,,ay(x)1,
xydxdy,,2例1. 计算，其中区域D是由直线与抛物线所围成的区域。 y,xy,xD
2DD解: 积分区域如图1所示，有定义是简单区域，边界与得交y,xy,x点为和。 (0,0)(1,1)
若选择先对积分，则过轴上内的任一点作轴的平行线，该线的yxpy(0,1)
2DD与下边界交点在上，与上边界交点在上，所求积分为 y,xy,x
x11xy，， xydxdydxxydyxdx,,,2,,,,,,,00x22，，xD
11135 (),x,xdx,,0224
若选择先对积分，同理可得 x
y11y1，，2 ,,xydxdydyxydxxy,,,,,,,00y2，，yD
11135() ,y,ydx,,0224
图1
若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据，来计算。 f(x,y)dxdy,f(x,y)，f(x,y),(D,D，D)12,,,,,,DDD12
22例2. 计算D，其中是由，，及所围成xy,axy,2ax,yxydxdyy,2x,,D
。 (x,0,y,0,a,0)
DD解: 积分区域如图2所示，有定义可知为复杂区域，边界线的交点分别
a为。 A(a,2a),B(,a),C(a,a),D(2a,2a)
a
DBDBDD1BD若先对积分则连接，将分成两个简单区域，。的方程为x
，所求积分为 y,2a
xydxdy,xydxdy，xydxdy,,,,,,DD1D2
2a2aaa222y2 ,dyxydx，dyxydyay,,,,aa2y2
34432a2aya2ay,(,)dy，(,)dy ,,a2a22yy8
22aa444，，，，yay4 2,,，,InyaIny,,,,8232y，，，，aa2
34 ,aIn24
图2 图3
若先对积分，则连接,把区域D分成两个简单区域，。的方D1D2yACACAC
程为，如图3所示，所求积分应为 x,a
xydxdy,xydxdy，xydxdy,,,,,,DD1D2
422aaaa132 ,dxxydy，(2,x)dxaa,,,ax2x2
a2a44，，，，1ax44 ,,，2,xInxaInx,,,,228a，，，，a2
34 ,aIn24
在化二重积分为累次积分时还应注意:若先对积分，则第一次积分是是xx
积分变量，积分上下限应含有的表达式或常数;若先对积分，则第一次积分yy时时积分变量，积分上下限应该含有的表达式或常数。 yx
二(二重积分中的变量代换
若可微分的连续函数
x,x(u,v),y,y(u,v)
,把平面上的有限域单值惟一地映射为平面上的域雅哥比式 ,OxyOuv1
D(x,y) I,,0D(u,v)
则下之公式正确:
f(x,y)dxdy,f,,x(u,v),y(u,v)Idudv ,,,,,,1
，变换为极坐标和得情形有 特别是，根据公式r,x,rcos,,y,rsin,
f(x,y)dxdy,f(rcos,rsin)rdrd,,,,,,,,,1
2222xyxy例2 ，其积分区域是由椭圆所围的区域。 D，,11,,dxdy2222,,ababD
解: 作变化，则域D变为域，D,{0,r,1,0,,,2,}x,arcos,,y,brsin,1且。于是， I,abr
222,xy2 1,,dxdy,d,ab1,rrdr,,22,0abD
12 ,2,ab1,rrdr,0
2ab, ,3
2例3 设是常数，计算积分。 xydxdya,0,,22x，y,ax
a,，cos,,xra222{解: 设则，变成 x，y,ax0,r,,0,,,2,,sin,,yr2
a222 xydxdy,(，rcos,)rsin,,rdrd,,,,,222a，,xyax0,,r20,,,2,
5aa3242(sincossin) ,,，,,,,,rrdrd,,2128a,,r02,,,,02
三(小结
计算二重积分必须注意:能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。计
算二重积分的主要方法有:几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，
利用分域法，交换积分次序等。
参考文献:
[1] 吉米多维奇.数学分析习题集精选精解 [M]山东:山东科技出版社，2007
[2] 钱吉林.数学分析题解精粹 [M]湖北:湖北长江出版集团 2009
[3] 同济大学应用数学系.微积分(下册) [M]北京:高等教育出版社 2003
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